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概率论与数理统计（慕课版）
第1讲 随机变量的数学期望
第4章 数字特征与极限定理
01 数学期望的定义
02 常见分布的数学期望
本 讲 内 容
问甲、乙两人谁的技术好些？
3
01 数学期望的定义
甲、乙两工人用相同的设备生产同一种产品, 设
例1
两人各生产10组产品, 每组中出现的废品件数分别记为
X、Y, 废品件数与相应的组数记录如下：
甲的每组平均废品数为
乙的每组平均废品数为
从每组的平均废品数看, 乙的技术优于甲!
X 0 1 2 3
组数 4 3 2 1
Y 0 1 2
组数 3 5 2
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
4
用分布律表示
01 数学期望的定义
其和为 X 的数学期望, 记作 E( X ), 即
若无穷级数
绝对收敛,
则称
5
设X 为离散型随机变量. 其分布列为
定义1
数学期望的定义
01 数学期望的定义
若广义积分
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望记作E(X),
6
数学期望的定义
设连续型随机变量X 的密度为
定义2
即
01 数学期望的定义
7
前例
01 数学期望的定义
8
X ~ P (λ), 求 E( X ) .
例2
01 数学期望的定义
X ~ E (λ) , 求 E( X ) .
分部积分法
9
例3
01 数学期望的定义
01 数学期望的定义
02 常见分布的数学期望
本 讲 内 容
分布
期望
0-1分布
p
B(n, p)
np
P( )

(a, b)上的均匀分布
E( )
N( , 2)
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常见分布的数学期望
02 常见分布的数学期望
柯西(Cauchy)分布的密度函数为
但
发散
它的数学期望不存在!
不是所有的随机变量都有数学期望！
12
注意
例如
02 常见分布的数学期望

13
应用——平均利润问题
例4
解
因为X服从指数分布, 故分布函数为
则设备在一年内损坏的概率为
02 常见分布的数学期望
Y -200 100
P
设Y表示出售一台设备的净赢利, 则分布律为
厂方出售一台设备净赢利的数学期望
14
售出一台设备赢利100元, 调换一台设备需花费300元
02 常见分布的数学期望
15
解
求下列连续型随机变量的数学期望：
例5
(1) 指数分布； (2) 正态分布.
02 常见分布的数学期望
16
则
02 常见分布的数学期望
学海无涯, 祝你成功！
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