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随机变量的数字特征
04
目录/Contents
4.1
4.2
4.3
4.4
数学期望
方差和标准差
协方差和相关系数
其他数字特征
目录/Contents
4.4
其他数字特征
一、 阶矩
二、变异系数
三、分位数和中位数
是随机变量 的 阶中心矩
定义1
设 是随机变量， 是正整数，则称
是随机变量 的 阶原点矩
是随机变量 的 阶中心矩
是随机变量 的 阶原点矩
一、 阶矩
设 试证明
所以
一、 阶矩
例1
证明
例2
设 试计算
因为 ，所以
一、 阶矩
解
维正态分布的密度函数的表示
对 维随机向量 ，设 为 的期望向量
为 的协方差矩阵。
一、 阶矩
定义
其中
可以验证二维正态分布
的密度函数可表示为
一、 阶矩
定义2
设随机变量 的数学期望 ，方差 存在，那么称
是随机变量 的变异系数
二、变异系数
定义3
设 连续型随机变量 的分布函数为 ，密度函数为 ，
则称 是随机变量 的 分位数。
特别地，当 时，称 为中位数
三、分位数和中位数
例3
已知随机变量 ，求 的分位数 和中位数 。
因为 ，得 ，所以
其中 为标准正态分布的 分位数。查表得 ,
三、分位数和中位数
因此 , , 那么
同理 。由密度函数的轴对称性，知 。
三、分位数和中位数
定义4
设 为离散型随机变量 ，其分布律为 ，，
如果存在实数 ,使得
成立，那么称 为 （或 所服从的分布）的众数。
三、分位数和中位数
总结/summary
理解 离散型、连续型随机变量的数学期望的定义及其概率含义
熟悉 数学期望的性质
掌握 随机变量函数的期望公式
熟练 常用随机变量的数学期望
理解 随机变量方差的定义及方差的概率含义
熟悉 方差的性质
掌握 随机变量的方差计算公式
熟练 常用随机变量的方差
理解 随机变量协方差、相关系数的定义及概率含义
熟悉 协方差、相关系数的性质
掌握 协方差、相关系数的计算
理解 阶矩的定义掌握 正态分布的 阶原点矩的计算公式
了解 期望向量、协方差矩阵的定义
了解 期望向量、协方差矩阵的简单计算
了解 变异系数、分位数、中位数及众数的定义及简单计算

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