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概率论与数理统计
第3讲 行列式的基本概念 (1)
第1章 行列式
01 概率的公理化定义
02 概率的运算性质
本 讲 内 容
历史上概率
的三次定义
③ 公理化定义
② 统计定义
① 古典定义
概率的最初定义.
基于频率的定义.
1933年由苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出.
研究随机现象，我们不仅要关心会出现哪些事件，更关心这些事件出现的可能性大小，所谓事件的概率就是度量事件出现可能性大小的数值.
3
概率的公理化定义
什么是概率？
01 概率论的公理化定义
通过规定概率应具备的基本性质来定义
4
历史上概率的三次定义
古典定义
不足：仅适用于等可能概型.
统计定义
概率的统计定义:
在大量重复试验中，若事件A 发生的
频率
稳定在某一常数p的周围，
发生的概率，并记
不足：不精确不严格不便使用.
公理化定义
概率.
01 概率论的公理化定义
则称该常数p 为事件A
5
概率的公式化定义
（1）非负性
（2）规范性
（3）可列加性
设随机试验E 的样本空间为S， 若对E 的每一事件A 都有一个实数P(A)与之对应，并且满足下列三条公理，则称P(A) 为事件A 的概率.
对每一个事件A，有
对任意个两两互不相容事件.
01 概率论的公理化定义
它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.
6
01 概率论的公理化定义
有
01 概率的公理化定义
02 概率的运算性质
本 讲 内 容
8
概率的运算性质
三条公理
（1）非负性
（2）规范性
基本性质
（3）可列加性
加法公式.
对任意个两两互不相容事件
02 概率的运算性质
有
9
加法公式
若事件A,B互斥，则，
若事件A1, A2, , An 两两互斥，则，
性质1
02 概率的运算性质
对任一事件A，有
如果正面计算事件 A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以使用性质2.
Ａ
A
10
逆事件公式
性质2
注
02 概率的运算性质
设Ａ、B是两个事件，若 , 则有 　　　　　　　　　　　　
A
B
11
减法公式
性质3
注
对任意两个事件A, B, 有
02 概率的运算性质
对任意两个事件A、B，有 　　　　　　　　　　　　
再由性质 3得证 .
12
广义加法公式
性质2
02 概率的运算性质
右端共有 项.
13
推广：
一般：
02 概率的运算性质
设有50件产品，其中有3 件不合格品，从中任取4 件，求至少有一件不合格品的概率.
例1
14
解法1
设A表示至少有一件不合格品，Ai 表示恰好有i件不合格品，则：
性质1
02 概率的运算性质
.
15
解法2
因为 表示全是合格品，则
性质2
计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以利用性质2.
02 概率的运算性质
对某高校学生移动支付使用情况进行调查，使用支付宝的用户占45%，使用微信支付的用户占35%，同时使用两种移动支付的占10%. 求至少使用一种移动支付的概率和只使用一种移动支付的概率.
例2
16
解
记“使用支付宝”为事件A，“使用微信支付”为
事件B，
而“只使用一种移动支付”可表示为
且易知
则“至少使用一种移动支付”可以示为A∪B，
02 概率的运算性质
17
至少使用一种移动支付的概率：
只使用一种移动支付的概率：
02 概率的运算性质
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率.
求“至少有两人同生日”的概率.
恰有 k 个盒子中各有一球
18
例 “分房模型”的应用
02 概率的运算性质
.
例3
A,B是两个事件，已知
19
解
求
而
因此
02 概率的运算性质
例4
20
解
则事件A,B,C都不发生的概率为
02 概率的运算性质
因为A,B互不相容,所以
21
例5
设
(1)若A,B互斥，则
则
(2)若
02 概率的运算性质
.
第3讲 行列式的基本概念（1）
22
到目前为止，我们学习了样本空间、随机事件等概念，
给出了概率的公理化定义及概率的性质，
知识我们就可以求一般的随机事件的概率。
下一讲我们将学习一种新的概率——条件概率.
家多做练习，熟练掌握.
利用这些
希望大
学海无涯，祝你成功！
概率论与数理统计（慕课版）

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