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随机变量的数字特征
04
目录/Contents
4.1
4.2
4.3
4.4
数学期望
方差和标准差
协方差和相关系数
其他数字特征
目录/Contents
4.3
协方差和相关系数
一、协方差
二、相关系数
协方差是随机变量 和 的函数 的期望，由随机变量函数的期望计算公式，就可以得到 和 的协方差。
设 是二维随机变量，如果 存在，则称
在实际计算协方差时，更多的是使用下列公式，
一、协方差
为随机变量 和 的协方差。
定义 1
当 即为 时， 。当 或 时， 。
设 为常数，则 ；
一、协方差
定理1 协方差具有下列性质：
设 为任意两个随机变量，则 ；
设 为任意两个随机变量， 为常数，则 ；
1
2
3
4
一、协方差
证明
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
由协方差的计算式及期望的性质得
因此， 个随机变量 线性组合的方差为
一、协方差
04
OPTION
例1
解
二、相关系数
例1续
二、相关系数
例1续
二、相关系数
定义2
二、相关系数
P97例9续
解：由0-1分布的期望和方差公式得
使用随机变量函数的期望计算公式得
二、相关系数
解
例3
二、相关系数
例3续
二、相关系数
定义3
二、相关系数
定理3
二、相关系数
证明
二、相关系数
二、相关系数
定义4
二、相关系数
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
04
OPTION
05
OPTION
随机变量相互独立和线性无关都刻画了随机变量之间的关系，它们两者有什么联系与区别呢？相互独立时一定线性无关，但反之不一定成立，例如下面的例子。
二、相关系数
例4
解
二、相关系数
例5
解
二、相关系数
相互独立与线性无关、线性相关之间的关系
二、相关系数
定理4
二、相关系数
证明
定理给出了不相关与相互独立相统一的例子，这样的例子不是唯一的。可以这样说，独立是从整体也即分布的角度刻画随机变量之间的关系，它意味着两个随机变量无任何关系，而不相关仅仅是从数字特征角度刻画随机变量之间的关系，它意味着两个随机变量之间无线性关系，但不意味着两个随机变量之间无其它关系。
二、相关系数

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