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随机变量的数字特征
04
目录/Contents
4.1
4.2
4.3
4.4
数学期望
方差和标准差
协方差和相关系数
其他数字特征
目录/Contents
4.2
方差和标准差
一、方差和标准差的定义
二、方差的性质
设 是一个随机变量，如果 存在，则称
一、方差和标准差的定义
定义1
为随机变量 的方差。
称方差的算术平方根 为随机变量的标准差。
当 为连续型随机变量，其概率密度为 ，如果广义积分
如果级数 收敛，则 的方差为
收敛，则 的方差为
一、方差和标准差的定义
当 为离散型随机变量，其概率函数为
在实际计算方差时，我们更多的是使用下列公式，这样更简便，
一、方差和标准差的定义
在下列三种情形下分别计算随机变量
的方差
设离散型随机变量
设连续型随机变量
设连续型随机变量
设连续型随机变量
一、方差和标准差的定义
4
3
2
1
例1
由例4知
由例7知
所以
由例5知
所以
一、方差和标准差的定义
解
01
OPTION
02
OPTION
由例5及例8知
，所以
由方差的定义得，
正态分布的方差即为参数
一、方差和标准差的定义
03
OPTION
04
OPTION
4
3
定理1 方差具有下列性质，
的充分必要条件是 即 服从参数为 的退化分布，其中 。特别地，若 为常数，则 ；
设 为随机变量， 为常数，则 ；
设 为任意两个随机变量，则
二、方差的性质
设 为相互独立的随机变量，则
1
2
那么，由方差的性质得
设随机变量 。计算 的方差 。
且 。因为,
二、方差的性质
因为 ，所以 其中 相互独立同分布，
例2
解
（2）当 时，设 ，试证明
已知 是任意的随机变量，
二、方差的性质
由方差的性质得，
（1）设 ，试证明 ；
（1）由期望的性质得，
例3
证明
（2）由期望的性质得，
通常称 为 的中心化随机变量， 为 的标准化随机变量。
二、方差的性质
由方差的性质得，
已知 与 相互独立, 且 ， 求
故
二、方差的性质
由已知及正态分布的可加性定理3.9得 服从正态分布，又由数学期望和方差的性质知，
例4
解

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