资源简介

(共34张PPT)
随机变量的数字特征
04
目录/Contents
4.1
4.2
4.3
4.4
数学期望
方差和标准差
协方差和相关系数
其他数字特征
目录/Contents
4.1
数学期望
一、数学期望的定义
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
例1
设甲、乙两班各40名学生, 概率统计成绩及得分人数如表所
甲班 分数 60 70 80 90 100 乙班 分数 40 60 70 80 90 100
人数 2 9 18 9 2 人数 3 1 8 13 8 7
频率 频率
示, 成绩以10的倍数表示.
甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？
解：班级平均成绩=总分÷总人数
甲班平均成绩
同理，乙班平均成绩=80(分)
一、数学期望的定义
定义1
设 是离散型随机变量，其分布律为
一、数学期望的定义
当级数 绝对收敛 时, 称 为随机变量 的数学期望
（或期望、均值）, 记作 .
绝对收敛， 才有定义。
物理含义 : 单位质量的细棒,
重心坐标
量取值的平均，有直观含义。
当 服从某个分布时,也称 是
注：
为保证无穷级数 的值不因改变求和次序而变，要求级数
1
2
3
这个分布的期望 。期望刻画随机变
*
一、数学期望的定义
复习：
1
2
3
若 收敛, 则称 绝对收敛;
若 绝对收敛，则级数 求和唯一.
若 绝对收敛，则 一定收敛;
若 收敛, 但 不收敛, 则称 条件收敛;
3
4
一、数学期望的定义
（1）因为 发散，
所以 的数学期望不存在。
例2
解
设随机变量 的分布律分别为
在三种情形下，试问 的数学期望 是否存在吗？为什么？
一、数学期望的定义
（2）因为 发散，
所以 的数学期望不存在。
（3）因为 收敛，
所以 的数学期望存在。
一、数学期望的定义
-2 1
0.2 0.8
解
设离散型随机变量 的分布律如下, 计算
例3
一、数学期望的定义
连续型随机变量的情形
一、数学期望的定义
设 是连续型随机变量，其密度函数为 , 如果广义积分
绝对收敛 , 则称
为连续型随机变量 的数学期望, 也称作期望或均值 。
定义2
一、数学期望的定义
密度函数为 单位质量细棒
重心坐标
*
物理含义 :
一、数学期望的定义
解
设连续型随机变量 的密度函数如下, 问 是否存在
例4
一、数学期望的定义
同理
所以 发散.
由此 不存在.
一、数学期望的定义
解
设有离散型随机变量 ，在下列三种情况下计算随机变量 的数学期望
例5
（1）因为 ，所以
一、数学期望的定义
解
（2）因为 ，所以
由期望的定义得
一、数学期望的定义
解
（3）因为 ，所以
由期望的定义得
一、数学期望的定义
解
设有连续型随机变量 ，在下列三种情况下计算随机变量 的数学期望
例6
（1）因为 ，
所以 的密度函数为
一、数学期望的定义
解
由期望的定义得
一、数学期望的定义
解
（2）因为 ，
所以 的密度函数为
由课前导读中的积分公式1 得
或
一、数学期望的定义
解
（3）因为 ，
所以 的密度函数为
由期望的定义得
上式使用了密度函数的规范性
一、数学期望的定义
二、随机变量函数的数学期望
例7 已知 的分布律为
,
解 由 的分布律可得到 及 的分布律为
1 4
概率 3/4 1/4
-1 1 8
概率 1/4 1/2 1/4
计算
-1 1 2
概率 1/4 1/2 1/4
二、随机变量函数的数学期望
(2)设 为连续型随机变量, 其密度函数为 ，如果广义积分 绝对收敛，则 的一元函数 的数学期望为
定理1（随机变量一元函数的期望公式）
如果级数 绝对收敛，则 的一元函数 的数学期望为
(1)设 为离散型随机变量, 其分布律为
定理2（随机变量二元函数的期望公式）
(1)设 是二维离散型随机变量, 其联合分布律为
则 的二元函数 的数学期望为
如果级数 绝对收敛，
二、随机变量函数的数学期望
(2)设 是二维连续型随机变量, 其联合密度函数为
则 的二元函数 的数学期望为
如果广义积分 绝对收敛，
二、随机变量函数的数学期望
例8
已知二维随机变量 的联合分布律为
计算（1） ， 的期望 ；（2） 的数学期望 。
二、随机变量函数的数学期望

，
方法二 不必计算 和 的边缘概率函数
解： 方法一 略
二、随机变量函数的数学期望
定理3 数学期望的性质：
设 为相互独立的随机变量，且 和 存在，则
设 为随机变量，且 存在， 为常数，则 ；
设 为任意两个随机变量，且 和 存在，则
设 为常数， 则
三、数学期望的性质
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
04
OPTION
（1）由书本P98上的补充说明知 ，
性质（2）、（3）、（4）只给出连续型情形的证明，离散型情形类似。
（2）由随机变量一元函数的期望公式及积分的性质得，
三、数学期望的性质
三、数学期望的性质
（3）由随机变量二元函数的期望公式及期望的定义得
（4）因为 为相互独立的随机变量，由随机变量二元函数的期望公式及密 度函数的规范性得，
三、数学期望的性质
公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用2.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在2.2到3万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用3万小时后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。
例9 某公司生产的机器其无故障工作时间 (单位：万小时)的密度函数为
表示每台机器的获利（单位：百元），则
解
三、数学期望的性质
是
的函数，令
由随机变量函数的数学期望公式得平均获利为
故，该公司售出每台机器的平均获利为1394元.
三、数学期望的性质

展开更多......

收起↑