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(共22张PPT)
多维随机变量及其分布
03
目录/Contents
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
多维随机变量及其联合分布
常用的多维随机变量
边缘分布
条件分布
二维随机变量函数的分布
目录/Contents
3.5
二维随机变量函数的分布
一、二维离散型随机变量函数的分布
二、二维连续型随机变量函数的分布
设 与 相互独立, 则
⑴设 ，且 与 相互独立，则
⑵ 设 , 且 与 相互独立，则
定理1可推广到 个相互独立的随机变量的和.
一、二维离散型随机变量函数的分布
定理 1
（分布的可加性）
一、二维离散型随机变量函数的分布
（1）因为
，那么，
与
分别表示
与
，则
。
由 重贝努利试验的独立性及重复性知，这里
相互独立同分布，
也相互独立同分布。又因为
，
相互独立。那么，
表示着
重的贝努利试验中“成功”的次数，由此得到，
相互独立，所以
与
重贝努利试验中
证明
“成功”的次数。可设
一、二维离散型随机变量函数的分布
(2) 因为
所以
在第一节例2中，讨论得优的科目数
的分布情况，求 的分布律
直接在 的联合分布律表格中每格左上角标
出 的值，有
一、二维离散型随机变量函数的分布
将 取值相同格子中的概率相加，即得
例1
解
一、二维离散型随机变量函数的分布
因此，有如下结论。
如果二维离散型随机变量 的联合分布律为
则随机变量 的函数 的分布律为
且取相同 值对应的那些概率应合并相加。
设二维随机变量 的联合密度函数为
求 的密度函数.
其余
二、二维连续型随机变量函数的分布
（1）因为
则 时
例2
解
二、二维连续型随机变量函数的分布
整理得
当 时
设随机变量 的联合密度函数为 ,
则随机变量 的函数 的密度函数为
特别地，当 与 相互独立时, 上式成为
该公式称为卷积公式.
或
或
二、二维连续型随机变量函数的分布
定理 2
二、二维连续型随机变量函数的分布
对任意的
，
由
的任意性知
同理得
显然，当随机变量
与
相互独立时，
，
证明
正态分布的可加性:
设 ,且 与 相互独立,
则
更一般地, 有
其中 均为常数, 且 不全为零.
二、二维连续型随机变量函数的分布
定理 3
二、二维连续型随机变量函数的分布
由卷积公式得
令
代入课前导读中的公式结论得
所以，
定理3可推广至 个独立正态分布随机变量的情形。
证明
例3
由第三节定理1得
又由定理3得， ，所以
已知
的密度函数.
,求
二、二维连续型随机变量函数的分布
， 由第三节的定理4可知， 与 相互独立.
因为
解
(1) 的分布函数为
(2) 的分布函数为
设 与 相互独立, 且 的分布函数为 ，
的分布函数为 ，则
二、二维连续型随机变量函数的分布
定理 4
由分布函数的定义及 与 相互独立得
二、二维连续型随机变量函数的分布
二、二维连续型随机变量函数的分布
定理4可推广至
个相互独立的随机变量情形。
，则
（2）随机变量
的分布函数为
互相独立，且
的分布函数为
，
设连续型随机变量
的分布函数为
（1）随机变量
二、二维连续型随机变量函数的分布
例4
记
设 与 是相互独立的随机变量,
求 ， 的密度函数.
，分别
二、二维连续型随机变量函数的分布
因为
，那么由定理4得，当
时，
所以
知
，
因为
，那么由定理4得
故
解
总结/summary
理解 二维随机变量的定义
了解 二维随机变量的联合分布函数的定义、性质及计算
掌握 联合概率函数和联合密度函数的定义、性质及计算
掌握 二维随机变量相关事件概率的计算
掌握 二维随机变量的边缘分布函数的定义及计算
熟练 两个随机变量相互独立的定义及判别方法
了解 个随机变量相互独立的定义及判别方法
理解 随即变量独立的概念
掌握 随机变量独立的判断方法
掌握 二维随机变量的条件分布函数的定义及计算
掌握 二维随机变量函数分布的计算
熟练 相互独立的随机变量的最大值最小值分布函数的计算
了解 二维正态分布的密度函数
理解 二维正态分布的密度函数中参数的概率意义。
掌握 二维正态分布的性质
谢谢观赏

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