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多维随机变量及其分布
03
目录/Contents
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
多维随机变量及其联合分布
常用的多维随机变量
边缘分布
条件分布
二维随机变量函数的分布
目录/Contents
3.3
边缘分布
一、边缘分布函数
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
四、随机变量的相互独立性
称
设二维随机变量 的联合分布函数为
为随机变量 的边缘分布函数;
为随机变量 的边缘分布函数.
一、边缘分布函数
定义1
设二维随机变量 的联合密度函数为
分别计算 边缘分布函数.
一、边缘分布函数
例1
在第一节例4中已得 的联合分布函数，
一、边缘分布函数
解
在第一节例4中已得 的联合分布函数，
故 与 的边缘分布函数分别为
一、边缘分布函数
解
定义 2
，称概率
设二维离散型随机变量 的联合分布律为
为随机变量 的边缘分布律，记为 ，并有
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
在第一节例3中计算 与 的边缘分布律。
直接在 联合分布律表格中计算行和、列和得
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
例2
解
所以 的边缘分布律为
所以 的边缘分布律为
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
则随机变量 的边缘密度函数为
类似地，随机变量 的边缘密度函数为
设二维随机变量 的联合密度函数为
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
定义 3
试求第一节例3中随机变量 的边缘密度函数.
首先确定 的值域 ,当 时
所以 的边缘密度函数为:
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
例3
解
然后，确定 的值域 ,当 时
所以 的边缘密度函数为:
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
设 , 则
, 由边缘密度函数的定义得
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
定理 1
所以 ，同理 .
证明
已知 , 求
的密度函数 .
由定理1知 ，又由正态分布的线性变换仍是正态分布知
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
例4
解
所以
都有
设 为二维随机变量，若对任意的
与
相互独立.
四、随机变量的相互独立性
成立，则称随机变量
定义 4
的一切公共连续点上都有
相互独立的充分必要条件是对任意的
设 为二维连续型随机变量，那么， 与
相互独立的充分必要条件是在
四、随机变量的相互独立性
定理 2
设 为二维离散型随机变量，那么， 与
都有
成立.
定理 3
四、随机变量的相互独立性
例5
（1）由二维离散型随机变量边缘分布律定义得
所以 与 的边缘分布律分别为
四、随机变量的相互独立性
解
在第一节例 4 中， 是否相互独立？为什么？
不相互独立. 的联合密度函数及边缘
密度函数如下
四、随机变量的相互独立性
例6
解
在它们的公共连续点 处 ,
因此 不相互独立.
四、随机变量的相互独立性
设 , 那么 与
相互独立的充分必要条件是
充分条件 当 时
所以，对任意 ，都有
因此 相互独立.
四、随机变量的相互独立性
定理 4
证明
所以
必要条件 当 相互独立时, 对任意的 都有
特别地，当 时
四、随机变量的相互独立性
该等式也成立,
四、随机变量的相互独立性
对多维随机变量独立性的定义如下：
定义 5
的一切公共连续点上成立。
都有
那么就称随机变量
连续型随机变量有
设 为 维随机变量 ，若对任意的
相互独立。
对多维随机变量独立性的定义如下：
四、随机变量的相互独立性
，都有
相互独立的充要条件是在
当 为离散型随机变量 时，随机变量
当 为连续型随机变量 时，随机变量
的一切公共连续点处都有
相互独立的充要条件是对任意的
成立.

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