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随机变量及其分布
02
目录/Contents
2.1
2.2
2.3
2.4
随机变量及其分布
常用的离散型随机变量
常用的连续型随机变量
随机变量函数的分布
目录/Contents
2.1
随机变量及其分布
一、随机变量的定义
二、随机变量的分布函数
三、离散型随机变量及其分布律
四、连续型随机变量及其密度函数
许多随机试验的结果与实数密切联系, 也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系. 下面我们通过几个例子来引入随机变量的概念.
一、随机变量的定义
例 1
抛掷一颗均匀的骰子，出现的点数 X的取值样本空间={正面朝上, 反面朝上},样本空间不是一个数集. 但是我们可以人为地把试验结果和实数对应起来.令
样本点 X的取值
正面朝上 → 1
反面朝上 → 0
称为是（一维）随机变量.
引进随机变量后, 随机事件及其概率可以通过随机变量来表达.
一、随机变量的定义
定义1
在随机试验E中, 是相应的样本空间, 如果对 中的每一个样本点 , 有唯一一个实数 与它对应, 那么就把这个定义域为 的单值实值函数
随机变量一般用大写字母 表示.
一、随机变量的定义
如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值，则称其为离散型随机变量、
A
B
如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间（或某几个区间的并），则称其为连续型随机变量。
一、随机变量的定义
随机变量的直观解释
随机变量X是样本点的函数，这个函数的自变量是样本点，可以是数，也可以不是数，定义域是样本空间，而因变量必须是实数。这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数，也可以让多个样本点对应于一个实数。
二、随机变量的分布函数
定义2
称函数
为随机变量 的分布函数.
给定一个随机变量 , 对任意实数
对任意满足条件
的实数
, 有
例1 设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1,3个球上标有数字2，2个球上标有数字3。
二、随机变量的分布函数
从中任取一球, 记随机变量 为“取得的球上标有的数字”
（1）写出 的分布函数 ;
（2）作出分布函数 的图像.
二、随机变量的分布函数
容易得到 可取1,2,3，由古典概型的计算方法，对应的概率值分别为0.5,0.3,0.2。
解
由分布函数定义知若 则 为不可能事件, 故
所以
若 则
同理, 当 时, 有
当 时, 有
综上, 随机变量的分布函数为
二、随机变量的分布函数
分布函数的性质
二、随机变量的分布函数
设 是随机变量 的分布函数，则有
4
3
2
1
分布函数单调不减;
对任意的 , 分布函数右连续;
（1）非负性
三、离散型随机变量及其分布律
定义3
设 且
其中 满足:
（2）规范性
那么称表达式 为随机变量 的分布律或概率函数.
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
三、离散型随机变量及其分布律
设随机变量 的分布律如下：
例 2
（1）
求
解
（2） 的分布函数
四、连续型随机变量及其密度函数
那么称 为连续型随机变量 的概率密度函数.
给定一个连续型的随机变量 , 如果存在一个定义域为
的非负实值函数 , 使得 的分布函数 可以表示为
定义4
四、连续型随机变量及其密度函数
概率密度函数满足下面两个条件:
对照一下离散型随机变量的概率函数所满足的两个条件,
注意到
1
2
1
2
这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质, 即如果有实值函数具备这两条性质, 那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.
四、连续型随机变量及其密度函数
分布函数和概率密度函数的关系在几何上的体现:
四、连续型随机变量及其密度函数
设 是任意连续型随机变量, 且 与 分别是它的分布函数与概率密度函数, 则有:
有
连续型随机变量的性质
是连续函数, 且在 的连续点处, 有
1
对任意常数 ,
2
结合结论2可知:
四、连续型随机变量及其密度函数
例 3
设随机变量 的概率密度函数为
求
解
（1）
（2） 的分布函数
（1）
四、连续型随机变量及其密度函数
解 (2)

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