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(共30张PPT)
随机事件与概率
01
目录/Contents
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
随机事件及其运算
概率的定义及其性质
等可能概型
条件概率与事件的相互独立性
全概率公式与贝叶斯公式
目录/Contents
1.3
等可能概型
一、古典概型
二、几何概型
随机事件发生的可能性的大小常用区间 中的数值加以刻划. 这个数值称为概率, 记为 规定:
一、古典概型
古典概型的基本思路:
随机试验的样本空间只有有限个样本点；
每次试验中各个样本点发生的可能性相等.
A
B
记 为样本点总数, 为事件 所包含的样本点个数，则事件 的概率为
解
而总取法数（即样本点总数）为
一、古典概型
例 4
（抽奖问题）
某公司年会抽奖, 共有 张奖券,
其中只有一张有奖. 每位员工可抽取一张.
求第 位员
工中奖的概率（ ）.
不放回情形中，第 个员工抽到有奖券意味着前
个员工均没有抽到,
相应的取法个数为
这个结果和次序无关.
因此, 所求概率为
一、古典概型
二、几何概型
是古典概型的推广, 保留每个样本点发生的等可能性，样本空间放宽为无穷不可列个样本点，一般地，设样本空间 是某个区域 （直线、平面或空间）.
则事件 的概率为
这里 分别表示长度、面积或体积.
二、几何概型
例 5
碰面问题
甲、乙两人约定在中午的12时到13时在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去.求两人能碰面的概率.
解
设甲到达咖啡屋的时间为 ,乙到达时间为 ，则 ,两人能碰面的事件所对应的区域为右图中带形区域
所求概率为
目录/Contents
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
随机事件及其运算
概率的定义及其性质
等可能概型
条件概率与事件的相互独立性
全概率公式与贝叶斯公式
目录/Contents
1.4
条件概率与事件的相互独立性
一、条件概率
二、事件的相互独立性
一、条件概率
定义1
给定一个随机试验, 是它的样本空间,
任意两个事件 , 其中 ,
称
为已知事件 发生的条件下事件 发生的条件概率.
条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质, 即:
（1）公理1
非负性
（2）公理2
规范性
（3）公理3 对可列无限个两两不相容事件
可列可加性
一、条件概率
相仿可以得到如下性质:
以及
等类似七条性质.
一、条件概率
变形后有
由条件概率公式: 当 （或 ）时,
有
或
或
上式称为概率的乘法公式.
一、条件概率
乘法公式可推广到多个事件上去, 例如,三个事件的乘法公式为
注意：相互独立与互不相容有何区别
二、事件的相互独立性
称两个事件 是相互独立的, 如果
上式等价于
独立性的直观意义是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率.
独立性往往蕴含在事物的内部.
当 时.
不难计算
可见
二、事件的相互独立性
例 6
抛掷两枚均匀硬币2次,
则: 事件 与 是独立的.
解
即事件 与 是独立的.
也相互独立. 即有
相应可列出其它等式.
定义2
若事件 独立，则
二、事件的相互独立性
三个等式都成立.
定义3
称事件组 是两两独立的, 如果有
二、事件的相互独立性
四个等式都成立.
二、事件的相互独立性
定义4
称事件组 是相互独立的, 如果有
二、事件的相互独立性
独立性的定义可推广到 个事件上去.
特别地, 当事件 相互独立时, 有
一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划.
所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率.
以下讨论中, 假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的.
二、事件的相互独立性
例 7
系统可靠性问题
两个基本模型:
（1）串联系统
二、事件的相互独立性
元件的可靠度为 , 则系统的可靠度为
设一个系统由 个元件串联而成, 第 个
（2）并联系统
设一个系统由 个元件并联而成, 第 个元件的可靠度为 , 则系统的可靠度为
目录/Contents
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
随机事件及其运算
概率的定义及其性质
等可能概型
条件概率与事件的相互独立性
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
设 为随机试验, 为相应的样本空间, 为事件组, 若满足
（1）
（2）
则称该事件组为完备事件组.
完备事件组
定理1 全概率公式
全概率公式与贝叶斯公式
定理2 贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
当 时,
贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。
原因A1
原因A2
原因An
结果B
… …
求（1）取到白球的概率；
（2）已知取到的是白球，则这个白球属于第二个箱子的的概率。
全概率公式与贝叶斯公式
例 8
有三只箱子：
第一个箱子中有四个黑球和一个白球；
第二个箱子中有三个黑球和三个白球；
第三个箱子中有三个黑球和五个白球。
任取一箱, 再从中任取一个球.
且
又
全概率公式与贝叶斯公式
解
以 分别表示取到的是第 个箱子， 表示取到的是白球,
则事件组 构成一个完备事件组.
所以, 由全概率公式得
再由贝叶斯公式得
全概率公式与贝叶斯公式
例 9
某种疾病的患病率为0.1%，某项血液医学检查的误诊率为1%，即非患者中有1%的人验血结果为阳性. 患者中有1%的人验血结果为阴性。
现知某人验血结果是阳性,求他确实患有该种疾病的概率.
以 表示验血结果为阳性, 表示该人患此疾病
解
因此所求概率为
总结/summary
两个概念：随机事件与概率
基本理论：随机事件的性质与运算
随机事件的相互独立性与乘法公式
几类概率模型：等可能概型（包括古典概型、几何概率）
条件概率
全概率公式；贝叶斯公式

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