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(共33张PPT)
随机变量及其分布
02
目录/Contents
2.1
2.2
2.3
2.4
随机变量及其分布
常用的离散型随机变量
常用的连续型随机变量
随机变量函数的分布
目录/Contents
2.3
常用的连续型随机变量
一、均匀分布
二、指数分布
三、正态分布
密度函数图形如右图:
其余
一、均匀分布
设随机变量 的概率密度函数为
则称 服从区间 上的
均匀分布, 记作
计算可得分布函数为：
分布函数图形
如右所示:
一、均匀分布
我们考察一下这个分布函数, 若 , 则
这恰好是区间 和取值总区间的长度比, 只与区间长度d有关，与区间位置c无关.
一、均匀分布
例 9
解
二、指数分布
如果随机变量 的密度函数为
其余
则称 服从参数为 的指数分布,
其分布函数为
记为
指数分布的密度函数图形如下:
指数分布的分布函数图形如下:
由定义易得服从指数分布的随机变量的概率计算公式:
设 ,
则
证明
例 10
二、指数分布
三、正态分布
设随机变量 的概率密度函数为
则称 服从参数为 的正态分布, 记为
服从正态分布的随机变量统称为正态随机变量.
正态分布的密度函数曲线图形
三、正态分布
三、正态分布
正态分布概率密度函数的曲线特征:
密度函数 的图形关于 对称;
1
3
当 时, ;
2
在 处取得最大值 ;
三、正态分布
正态分布概率密度函数的曲线特征:
4
当 较大时曲线比较平坦, 当 较小时曲线比较陡峭.
时的正态分布称为标准正态分布.其概率密度函数和分布函数分别为
标准正态分布密度函数图形
三、正态分布
三、正态分布
关于标准正态分布有以下结果:
特别地, 有 ;
当 时, 的值可以查概率函数值表得到, 且
1
3
若 , 则
特别地
当 时, 由密度函数对称性可得 ,
2
⑴ 查表并计算可得
例 11
设随机变量 , 查表求下列概率值:
解
(2) 同样地
三、正态分布
一般地, 有下列结论:
三、正态分布
设随机变量 , 则
特别地
若 , 则
查表并计算可得
三、正态分布
例 12
设 , 试求概率
解
三、正态分布
例 13
设随机变量 服从标准正态分布 , 为何值时才能满足
解
由 , 查附录4知
右图为分位数的几何意义
设
对给定的 若 数 满足
称 为随机变量X的 分位数
▲▲▲
三、正态分布
标准正态分布的分位数概念:
某学校规定划分考生成绩的等级方法如下：考试成绩的实际考分在前10%的为A等，考分在前10%以后但在前50%的为B等，考分在前50%以后但在前85%的为C等，考分在后10%的为D等.某次期末考试中，设考生的成绩X服从正态分布 ，经计算可知 ， ，求这次期末考试等级划分的具体分数线。
例 14
三、正态分布
解
由题意可知 , 则
又
又
综述所求，可知，在此次考试中，分数在88.384以上的，为等级A，分数在73至88.384之间的，为等级B，分数在57.616至73之间的，为等级C，分数在57.616以下的，为等级D。
三、正态分布
目录/Contents
2.1
2.2
2.3
2.4
随机变量及其分布
常用的离散型随机变量
常用的连续型随机变量
随机变量函数的分布
目录/Contents
2.4
随机变量函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布
二、连续型随机变量函数的分布
设随机变量 ，定义一个函数 ,则 是随机变量 的函数，也是一个随机变量。问题：已知 的分布, 如何求 的分布.
一、离散型随机变量函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布
例 15
设随机变量 的分布律为
1
求 的分布律;
2
求 的分布律。
由此得到相应的分布律:
一、离散型随机变量函数的分布
解
(1) 随机变量 的取值为 且
(2) 随机变量 的取值为
同理可得对应的分布律为:
二、连续型随机变量函数的分布
例 16
解
二、连续型随机变量函数的分布
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
的分布函数与密度函数求解的一般步骤：
二、连续型随机变量函数的分布
1
3
2
4
二、连续型随机变量函数的分布
例 17
解
二、连续型随机变量函数的分布
定理 1
定理 2
二、连续型随机变量函数的分布
例 18
解
总结/summary

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