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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册重难点检测卷
一、选择题
1．已知 =(2，3)， =(3，t)， =1，则 =（　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
2．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知样本数据的平均数为9，则另一组数据的平均数为（　　）
A． B． C．4 D．3
4．已知事件，，且，，如果与互斥，那么，如果与相互独立，那么，则，分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱内切球的体积是圆柱体积的 ，且球的表面积也是圆柱表面积的 .已知表面积为 的圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知棱长为的正方体中，点在正方体的棱、、上运动，平面，垂足为，则点形成图形中的各线段长度之和是（　　）
A．2 B． C． D．
7．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（　　）
A．平面
B．该二十四等边体的体积为
C．ME与PN所成的角为
D．该二十四等边体的外接球的表面积为
8．已知函数 ， 图像上每一点的横坐标缩短到原来的 ，得到 的图像， 的部分图像如图所示，若 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知向量，，则下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．向量与夹角的取值范围是
C．与共线的单位向量为
D．存在，使得
10．已知为点，为直线，为平面，则下列命题成立的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，且，，则
D．若，，，则
11．如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（　　）
A．∥ B．∥面
C．∥面 D．三棱锥的体积不变
三、填空题
12．已知复数为纯虚数，则　 　.
13． 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则C=　 　.
14．某同学次上学途中所花的时间单位：分钟分别为，，，，已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为　 　．
四、解答题
15．为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间，，…，分成8组，得到如下的频率分布直方图：
（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.
16．大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求两人在两轮活动中都答对的概率；
（2）求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；
（3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．
17．如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，求．
18．如图，正四棱台中，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求异面直线与所成的角的余弦值.
19．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且．
（1）已知点在上，且，证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A,B,D
10．【答案】B,C
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在，的频率分别为，，，，，，，，由，解得，
则样本落在，的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.3，0.15，0.1，0.05，0.05，所以月用电量的平均值为
，
（2）解：为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；
的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数.
因为，
则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，
于是.
又，
所以对应的用电量为350.
所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.
16．【答案】（1）解：依题意，设事件 “小张两轮都答对问题”， “小李两轮都答对问题”，
所以，．因为事件相互独立，
所以两人在两轮活动中都答对的概率为
（2）解：设事 “甲第一轮答对”， “乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”， “乙第二轮答对”， “两人在两轮活动中至少答对3道题”，
则，
由事件的独立性与互斥性，可得
，
故两人在两轮活动中至少答对3道题的概率为．
（3）解：设事件，分别表示甲三轮答对2个，3个题目，，分别表示乙三轮答对2个，3个题目，
则，，，，
设事件 “两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2”，
则，且，，，分别相互独立，
所以．
所以两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为．
17．【答案】（1）解：因为，，，由余弦定理得，
所以，即，解得，
所以．
（2）解：设，
在中，由正弦定理得，所以①，
在中，，，
则，即②
由①②得：，即，∴，
整理得，所以．
18．【答案】（1）解：∵正四棱台中，，，
∴，又∵，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴，又∵平面，平面，
∴平面，
∵，平面，平面，∴平面，
又∵，平面，平面，
∴平面平面，
∵平面，∴平面.
（2）解：在等腰梯形中作交于点，
由（1）知，，∴，
∴就是异面直线与所成的角，
∵，，
∴中，，，
∴，
∴异面直线与所成的角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：由且，可知是等腰直角三角形，
且，
又因为四边形为直角梯形，且，，则，
所以，，
因为，，，
所以，，，
又因为，即，且，
所以，四边形为平行四边形，即，
又因为，故，
因为底面，底面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，因此，平面平面.
（2）解：取的中点，连接，
因为，，则四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为平面，平面，所以，，
又因为，，、平面，所以，平面，
取的中点，连接，
因为、分别为、的中点，所以，，所以，平面，
又因为，所以，点到平面的距离为，
所以，点到平面的距离为.
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