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2.1 离散型随机变量 2.2 随机变量的分布函数 2.3 连续型随机变量及其概率密度 2.4 随机变量函数的分布函数
第二章 随机变量及其概率分布
(一) 随机变量的概念
2.1 离散型随机变量
定义2.1 设随机试验E的样本空间为S，如果对于每一个w∈S，都有唯一的实数X(w)与之对应，则称X(w)为随机变量.
（1）将一枚硬币抛掷4次，用表示正面出现的次数，则是 一个随机变量，它的所有可能取值为1,2,3,4. （2）某篮球队员投篮，投中记2分，未投中记0分.用表示篮球队员一次投篮的得分，则是一个随机变量，它的所有可能取值为0,2.
(二)离散型随机变量及其分布律
定义2.2 如果离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k=1,2, …)，并且取到各个可能值的概率为
则称Pk为离散型随机变量X的概率分布律，简称为分布律.
容易验证，离散型随机变量的分布律满足下列性质：
例2.1 甲、乙、丙三人独立射击同一目标.已知三人击中目标的概率依次为0.8，0.6，0.5，用X表示击中目标的人数，求随机变量X的分布律.
解 X的所有可能取值为0,1,2,3.设A1, A2 , A3分别表示事件“甲击中目标”， “乙击中目标”，“丙击中目标”， 则依题意A1, A2 , A3相互独立，且
例2.2 设袋中有3个白球和2个黑球，从中任取两球，设X为取到的黑球数, 求随机变量X的分布律.
例2.3 设随机变量的分布列P{X=i}=c(2/3)i,(i=1,2,3), 求常数c的值.
（三）常见的离散型随机变量
定义2.3（0-1分布） 如果随机变量X只可能取0和1两个值，其分布律为
定义2.4 如果随机变量X的分布律满足
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记作X~B(n,p)
则称随机变量X服从参数为p的0-1分布（或两点分布）.
例2.4 某射手射击的命中率为0.6，在相同的条件下独立射击7次，用X表示命中的次数，求随机变量X的分布律.
例2.5 从学校乘汽车到火车站的途中有个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.25,设为途中遇到红灯的次数X，求X的分布律以及最多遇到一次红灯的概率.
定义2.5 如果随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…，且
注2: 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布.
例2.6 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内恰有一辆车通过的概率和恰有两辆车通过的概率相等，求在一分钟内至少有三辆车通过的概率.
定理2.1（泊松定理）
由泊松定理知道，当n很大时，有下面的近似公式
例2.7 设一批产品共2000个，其中有40个次品，每次任取1个产品做放回抽样检查，求抽检的100个产品中次品数X的分布律.
次品数 X 二项分布 泊松分布
0 0.1326 0.1353
1 0.2707 0．2707
2 0.2734 0.2707
3 0.1823 0.1804
4 0.0902 0.0902
5 0.0353 0.0361
6 0.0114 0.0120
7 0.0031 0.0034
8 0.0007 0.0009
9 0.0002 0.0002
例2.8 在400毫升的水中随机游动着200个菌团，从中任取1毫升水，求其中所含菌团的个数X不少于3的概率.
解: 观察1个菌团，它落在取出的1毫升水中的概率为
定义2.6(几何分布) 如果随机变量X的分布律为
则称随机变量X服从参数为p的几何分布，记作X~G(p)
例2.10 一段防洪大堤按照抗百年一遇洪水的标准设计，求在建成后的第5年，首次发生百年一遇大洪水的概率.
解:设在大堤建成后的第X年发生百年一遇大洪水，则，从而X~G(0.01)
定义2.7(超几何分布) 如果随机变量X的分布律为
则称随机变量X服从超几何分布，记作X~H(n,M,N)
注:当N较大,而n较小时,可以用二项分布近似表达超几何分布，即
例2.11 在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同. 游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
本节结束
2.2 随机变量的分布函数
(一)分布函数的定义
定义2.8 设X是一个随机变量,x为任意实数，函数
称为随机变量X的分布函数.
(二)分布函数的性质
称为随机变量X的分布函数.
注: 如果一个函数满足上述三条性质，则该函数一定可以作为某一随机变量的分布函数.
例2.12 已知随机变量X的分布律为
求随机变量X的分布函数.
注: 此分布函数是一个阶梯函数，这一特征是所有离散型随机变量分布函数的共同特征.反过来，如果一个随机变量的分布函数为阶梯函数，那么一定是离散型随机变量.
例2.13 设随机变量的分布函数为
例2.14 向数轴上的闭区间上投掷随机点，假设随机点落在区间上任意一点的可能性相等，用X表示随机点的坐标，求X的分布函数.
本节结束
2.3 连续型随机变量及其密度函数
(一)连续型随机变量及其概率密度
定义2.9 设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负可积函数f(x)，使得对任意实数x，都有
则称X为连续型随机变量,并称函数f(x)为的概率密度函数.
注1:由微积分理论知，连续型随机变量的分布函数是连续函数，并且概率密度具有下列性质：
注2: 满足性质（1）和性质（2）的函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数.
(二)概率密度的性质
例2.15 已知随机变量的概率密度为
例2.16 设连续型随机变量的分布函数为
解(1):利用连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0,x=1处均连续,从而
(三) 常见的连续型随机变量
定义2.10(均匀分布) 如果连续型随机变量X的概率密度为
则称X在[a,b]服从均匀分布，记作X~U(a,b)
例2.17 某机场每隔分钟向市区发一辆班车，假设乘客在相邻两辆班车间的分钟内的任一时刻到达候车处的可能性相等，求乘客候车时间X在5~10分钟之内的概率.
例2.18 设随机变量在[0,5]上服从均匀分布，求关于的方程4t2+4Xt+X+2=0有实根的概率.
定义2.11(指数分布 ) 如果连续型随机变量的概率密度为
注2: 指数分布在实际问题中有着广泛的应用，例如，电子元件的寿命，顾客要求某种服务（在售票处购票，到银行取款等）需要等待的时间等都可以认为服从指数分布.
例2.19 某仪器装有只独立工作的同型号的电子元件，其寿命（单位：小时）都服从参数为1/600的指数分布.求在仪器使用的最初小时内，至少有只元件损坏的概率.
例2.20 某城市饮用水的日消耗量X（单位：百万升）服从参数为1/3的指数分布. （1）求饮用水的日消耗量不超过百万升的概率； （2）求该城市在夏季的天中饮用水的日消耗量至少有天突破百万升的概率.
例2.21 某城市饮用水的日消耗量X（单位：百万升）服从参数为1/3的指数分布. （1）求饮用水的日消耗量不超过百万升的概率； （2）求该城市在夏季的天中饮用水的日消耗量至少有天突破百万升的概率.
解(2)饮用水的日消耗量突破百万升的概率为e-3=0.0498. 设Y表示“夏季的天中饮用水的日消耗量突破百万升的天数”，则 Y~B(100, 0.0498).
定义2.12(正态分布) 如果连续型随机变量X的概率密度为
正态分布的背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸、直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.
正态分布密度函数图像
定义2.13(标准正态分布) 如果连续型随机变量X的概率密度为
例2.22 设X~N(0,1),计算 (1)P{X≤-1.24}; (2)P{|X|≤2}; (3)P{|X|>1.96}.
一般正态与标准正态分布之间的关系
正态分布的3σ原则
|X－μ| > 3σ 的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在[ μ- 3σ，μ+ 3σ ]区间内
广泛应用:
产品质量控制
判断异常情况
……
图3-12 常用的正态概率值
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 z
-3σ -2σ -σ +σ +2σ +3σ
x
99.73%
95.45%
68.27%
例2.23 设随机变量X~N(1,4),计算(1)P{X>0}; (2)P{|X-2|<1}.
例2.24 某地抽样调查结果表明，考生的数学成绩X（百分制）服从正态分布
且分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生的数学成绩在至分之间的概率.
标准正态分布的上分位点
本节结束
(一) 离散型随机变量函数的分布律
2.4 随机变量函数的分布函数
例2.26 设随机变量X的分布律为
求Y=(X-1)2的分布律.
(二) 连续型随机变量函数的概率密度
例2.28 已知X~N(0,1),求Y=X2的概率密度.
求随机变量Y=2X+8的概率密度.
解 先求Y=2X+8的分布函数FY(y).
于是得Y=2X+8的概率密度为
例2.30 设随机变量X具有概率密度
解 先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数:
即Y~
本节结束

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