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第一章 随机事件和概率
在自然界和人们的生产实践或科学试验活动中,经常遇到各种各样的现象,这些现象大体可分为两类：一类是在一定条件下必然会发生的现象，我们称这类现象为确定性现象或必然现象．例如，重物在高处总是垂直落到地面；树上苹果成熟后，在地心引力作用下一定下落；在标准大气压下,水在100℃时必然会沸腾等．另一类则是在一定条件下可能会出现也可能不会出现的现象，称为随机现象．例如，在相同的条件下抛掷一枚硬币，可能出现正面，也可能不出现正面；掷一颗骰子，观察出现的点数可能是“1点” 、“2点”、……、“6点”，这6种结果
会出现哪一种，在投掷前是不能确定的等．
由于随机现象的结果事先不能预知，仅就一次试验或观察而言，随机现象带有不确定性，但这仅仅是随机现象的一个方面，随机现象还有规律性的另一个方面．人们发现同一随机现象大量重复出现时，它的结果呈现某种规律性．人们把随机现象在大量重复观察时，所得的结果呈现的某种规律性称为随机现象的统计规律性．概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一个数学分支，它在自然科学和社会科学的诸多领域有着广泛的应用．
第一节 随机事件
一、随机试验
要想了解随机现象的统计规律性，就要对随机现象进行重复观察．为了叙述方便，我们把对某种自然现象作一次观察或进行一次科学试验，统称为一个试验．
例如，记录某学生10次投篮投中的次数；抛一枚硬币5次，观察出现正面的次数；观察某一段时间内经过某地的车辆数等均为试验．
上述试验具有以下特征．
(1)可重复性：可以在相同条件下重复进行；
．
(2)可观察性：每次试验的可能结果不止一个，并且在试验之前能明确试验的所有可能结果；
(3)不确定性：进行一次试验之前不能预知哪一个结果会出现，但可以肯定会出现上述所有可能结果中的一个.
　　　在概率论中，我们将具有上述3个特征的试验称为随机试验，记为E .以后我们所说的试验都是随机试验．
二、样本空间
要认识一个随机试验，首先需要弄清楚它所有可能出现的结果．我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点，记为w，随机试验中所有样本点的全体称为这个
随机试验的样本空间，记为S（或Ω）．
例如:（1）在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面的试验中，所有可能出现的结果为正面或反面．则试验有两个样本点：正面、反面．样本空间为　　　　　　　 ．
（2）投掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数，则样本点为　　　　　，　　　　，　 　　　，　　　　 ，　　 　　　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　于是样本空间为
　　　　　　　　　
（3）记录某位播音员在某个播音节目中发音错误次数，其样本点为无穷多个，即 ｉ（次）
样本空间可简记为
（4）设随机试验从两个男生（记号为1,2）与三个女生（记号为3,4,5）中任选两人．
① 若观察选出两个的性别，则样本点为 　（两个男生）， 　（两个女生）， 　（一男一女），于是，样本空间为
② 若观察选出两人的号码，则样本点为 　（选出第 ｉ号与第 ｊ号）　　　 　　.于是样本空间共有 　个样本点，样本空间为
由此可见，由于所观察的随机试验不同，因而相应的样本空间可能很简单也可能很复杂，即使在同一随机试验中，由于所关心的问题的不同，对于样本空间也可以有不同的选取．
三、随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，往往还关心试验的结果是否具备某一指定的可观察的特征．在概率论中，把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件．样本空间 S是随机试验的所有可能结果的全体，每个样本点是该集合的一个元素．一个事件是由具有
该事件按所要求的特征的那些可能结果所构成的，所以一个事件是对应于 S中具有相应特征的样本点所构成的集合，它是 的一个子集．于是，任何一个事件都可以用S的某个子集来表示．我们称仅含一个样本点的事件为基本事件，含有两个或两个以上的事件为复合事件．
事件可以分为以下三类．
（1）随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．常用 A，B ，C …大写字母表示．
例如，在抛硬币的试验中，用 A表示“出现正面”这一事件，则 A是一个随机事件．
（2）必然事件：每次试验中都必然发生的事件称为必然事件．
例如，样本空间 S包含所有的样本点，它是 S自身的子集，每次试验中都必然发生，故它就是一个必然事件．
（3）不可能事件：在每次试验中都不可能发生的事件称为不可能事件．
例如，空集 不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不可能发生，故它可看成是一个不可能事件．
四、事件的关系与运算
进行一个试验，因为事件是样本空间的一个集合，故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系与运算来处理．下面我们引进事件之间的一些重要关系和运算．
(1)如果两个事件A 与B 不可能同时发生, 记为 ， 则称事件A 与B事件 是互不相容的，或称是互斥的．
例如：必然事件 与不可能事件 是互不相容的．
(2)如果事件 A发生必然导致事件 B发生，则称事件A 包含于事件B ，或称事件 B包含事件 A，记作 ．
(3)如果事件A 发生必然导致事件 B发生，且若事件 B发生必然导致事件A 发生，即 且 ，则称事件A 与事件B 相等，记作 A=B．
(4)若C 表示“事件 A与 B中至少有一个发生”这一事件，称它为 A与 B的和(或并),记为 ， 有时 也记作A+B .
类似地, 称 为 n个事件 A1，A2 ，…，An 的和事件.
(5)若 D表示“事件 A与 B同时发生”这一事件，称它为 A与B 的积（或交），记为 ．
类似地，称 为 n个事件 A1,A2 ,…,An 的积事件．
(6)若 E表示“事件A 发生而事件B 不发生”这一事件，则称为事件 A与事件B 的差，记为 ．
例如,在记录某学生10次投篮投中次数的试验中，记事件
A:“投中次数为奇数”，B :“投中次数小于5”．
则 ， ， ．
(7)若对每次试验而言，事件A 、B 中必有一个发生，且仅有一个发生，则称事件A 与事件B 互为对立事件，或称事件 A与事件B 互为逆事件．记为 且 .事件A 的对立事件记为 ，于是 ．
事件的关系与运算可用以下维恩图形象表示．若用平面上一个矩形表示样本空间，矩形内的点表示样本点，圈 A和圈 B分别表示事件 A与事件B ．( 见课本)
五、事件的运算规律
事件的运算规律与集合的运算规律相同，设 A、B 、C 为同一随机试验 E中的事件，则有：
（1）交换律 , .
（2）结合律
（3）分配律
(4)自反律
(5)对偶律 , .
上述各运算律可推广到有限个或可数个事件的情形．
例1.1 甲、乙、丙三门炮各向同一目标发射一发炮弹，设事件 A表示甲炮击中目标，事件B 表示乙炮击中目标，事件C 表示丙炮击中目标，问：
(1)和事件A+B+C 表示什么？
(2)和事件AB+AC+BC 表示什么？
(3)积事件 表示什么？
（4）和事件 表示什么？
（5）恰好有一门炮击中目标应如何表示？
（6）恰好有两门炮击中目标应如何表示？
（7）三门炮都击中目标应如何表示？
（8）目标被击中应如何表示？
解 (1)表示三门炮中至少有一门炮击中目标；
(2)表示三门炮中至少有两门炮击中目标；
(3)积事件 表示三门炮不都击中目标；
(4)表示三门炮至多有两门击中目标；
(5)恰好有一门炮击中目标:可用事件 表示；
(6)恰好有两门炮击中目标:可用事件 表示；
(7)三门炮都击中目标：可用积事件ABC 表示；
(8)目标被击中：可用和事件 A+B+C 表示．
第二节 随机事件的概率
对于一个随机试验中的各种随机事件，一般总会发现有些事件出现的可能性较大，有些事件出现的可能性较小，有些事件出现的可能性大致相同，那么这些可能性到底有多大？我们希望找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性的大小．为此，我们先引入频率的概念．
一、频率及其性质
定义1.1 在相同的条件下进行 n次试验，其中事件 A发生的次数为 m，称 m为A 发生的频数，
而 f(A)=m/n 称为事件A 的频率．
显然，频率有以下性质：
（1）0≤ f(A) ≤ 1；
（2） f(S) = 1；
（3）若 A1,A2 ,…,An为互不相容的事件，则
抛掷质地均匀的硬币,也就是假设硬币的两面是对称的，若试验次数较少，很难发现什么规律．但若试验次数增多，就可以发现规律．以下是前人做抛掷硬币试验的结果（见表1-1）。( 见课本)
从表1-1容易看出，当抛掷次数 n很大时，出现正面的频率总在0.5左右摆动．而且随着抛掷次数的逐渐增加，出现正面的频率与0.5的偏差越来越小，这说明频率具有稳定性，而频率的稳定性的事实说明了随机事件发生的可能性大小的数的存在性．
二、概率的定义
定义1.2(概率的统计定义) 在确定条件下多次重复试验中，如果A 发生的频率稳定在确定常数p ( ) 附近摆动，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，则称这个确定常数 p为事件 A的概率，记为 P(A)=p．
显然，统计概率有与频率完全相同的3条性质．
例如，事件 A发生的概率为 p, p的大小反映了在一次试验中A 发生的可能性的大小．在 n次重复试验中，事件 A发生的次数约为np ．例如，在抛掷质地均匀的硬币的试验中，正面出现的概率为 0.5，则在10000次重复试验中，出现正面的次数约为 10000*0.5=5000次．
定义1.3 (概率的公理化定义)设 E为随机试验, S为它的样本空间，对于 E的每一个事件A ，与A 对应的一个实数 P(A)，若满足
（1）非负性：有
（2）完备性： P(S) = 1；
（3）可列可加性：设 A1,A2 ,…互不相容，则有
则称 P(A)为事件A 的概率．
三、概率的性质
由概率的公理化定义可以推出概率的一些重要的性质．
性质1 　 ．
证明 令 ，则 ，且
由概率的可列可加性得
由概率的非负性知 , 所以由上式可得 ．
这个性质说明不可能事件的概率为 0，但反之不然．
性质2（有限可加性）设 A1, A2 , … , An 为n个互不相容的事件，则有
证明 令 ， ，当 时，由可列可加性
性质3 设A ,B为两个事件, 若 ，则
(1) P(B - A)=P(B) - P(A) ；
(2) ．
证明 因为 ,可知 且 ，由有限可加性知 P(B)= ，即 P(B - A)=P(B) - P(A) ；又因为 ，
所以 ．
性质4 (加法公式)对任意两个事件A，B，有
证明 因为 且 ，由性质2，性质3得
性质4可以推广到任意n个事件的并的情形：对任意n个事件A1, A2 , … , An ，由归纳法可证得
性质5 对任一事件A，有 .
证明 因为 ， ，由有限可加性知
故
性质6 对任一事件A，有 ．
证明 因为 ，由性质3得
例1.2 某公司在业余时间组织外语和计算机两个培训班，该公司80名员工中有40名参加外语班，26名参加计算机班，其中同时参加两个班学习的有10名职工，在该公司任抽取一名员工，问他是参加培训班学习的员工的概率是多少？
解 设A={参加外语学习}，B={参加计算机学习}，那么
={参加培训班学习}．则
所以
第三节 古典概型
对于事件A, 我们所关心的是在一次试验当中其发生的可能性大小, 这个可能性大小是可以度量的, 这种度量就是“概率”, 我们用符号 P(A)表示. 那么如何计算事件A的概率 呢？一般情况下，计算随机事件的概率是比较复杂的，而且对于不同类型的试验其计算事件概率的方法是不同的．在本节中我们讨论一类比较简单的随机试验，随机试验中每个样本点的出现是等可能的情形．
引例 (1)抛掷一枚质地均匀的硬币，只有“正面向上”或“反面向上”两种结果，而且这两种结果出现的
可能性相同，均为1/2．
(2)从100件同类型的产品中, 任意抽取一件进行质量检查,则有100种抽法, 且每种出现的可能性大小相同, 均是百分之一．
这一类随机试验是一类最简单的概率模型，它曾经是概率论发展初期的主要研究对象．
一、古典概型
首先我们给出古典概型定义及古典概率计算公式．
定义1.4 如果随机试验满足下述两条：
(1)随机试验只有有限个可能的结果．即样本空间可以
写成如下形式
(2)基本事件 ， ，… ， 发生的可能性相等．
则称此试验为古典概型或等可能概型．在概率论的产生和发展过程中，它是最早的研究对象，而且在实际应用中也是最常用的一种概率模型．
在古典概型中，因为每个基本事件发生的概率相等，对于有n个基本事件的样本空间，每个事件发生的概率都是 1/n，若事件A 包含 n个基本事件，则随机事件 A发生的概率为
我们称由上式给出的概率为古典概率或古典概率计算公式．
二、计算古典概率的方法——排列与组合
1．基本计数原理
(1)加法原理 设完成一件事有 m种方式，第 种方式有n 种方法，则完成该事件的方法总数为 n1+n2+…+nm．
(2)乘法原理 设完成一件事有 m个步骤，其中第 i步有 ni种方法，则必须通过 m个步骤的每一步才能完成该事件，则完成该事件的方法总数为 ．
2．排列组合方法
（1）排列公式
从 n个不同元素中任取 k 个 元素的不同排列总数为
k=n时称其为全排列
（2）组合公式
从n 个不同元素中任取 k 个元素的不同组合总数为
有时记作 ，称为组合系数．
注： ．
例1.3 一个盒子中有10把钥匙，其中3把能打开门，7把不能打开门，求：
(1)从盒子中任取一把钥匙，这把钥匙能打开门的概率；
(2)从盒子中任取两把钥匙，刚好一把能打开一把不能打开的概率以及两把都能打开的概率．
解（1）10把钥匙中任取一把，共有 种取法，10把钥匙中有3把能打开门，取得能打开门的钥匙的取法有
种，从而根据古典概率计算公式，事件A :
“取到能打开门的钥匙”的概率为
（2）10把钥匙中任取两把的取法有 种，其中刚好一把能打开一把不能打开的取法有 种，两把都能打开的取法有 种，记 B为事件“刚好一把能打开一把不能打开”,C为事件“两把均能打开”，则
例1.4 20件产品中有3件次品，现从中随机地抽取两件．求：（1）其中恰有一件次品的概率；
（2）其中至少有一件次品的概率．
解 从20件产品中任意抽取两件，基本事件总数为 ．
（1）设 A为所抽取的“2件中恰有1件是次品”的事件，则A 包含基本事件数 ，所以
（2）设B 为所抽取的两件中至少有一件是次品的事件，这包括“恰有一件是次品”和“两件都是次品”两种情况，它包含的基本事件数 ，则
例1.5 袋中有形状相同的10个小球, 其中4个红球, 6个白球, 今按下述取法连续从袋中取3个球, 分别求下列事件的概率:A=“3个都是白球”; B =“2个红球, 1个白球”.
（1）每次抽取一个，检查后放回，然后再抽取下一个， 这种抽取方法称为有返回抽样；
（2）每次抽取一个，检查后不放回，再在剩下的球中再抽取一个，这种抽取方法称为不返回抽样．
解 （1）有返回抽样
由于每次抽取出的小球看过颜色后放回袋中，因此每次都是从10个小球中抽取，由乘法原理，从10个小球中有
放回地抽取3个的所有可能的取法共有 种，若 A发生，即3次取的小球都是白球，则 A中所含样本点个数为 ，所以
若 B发生，即3次取的小球有两次取的是红球，一次取的是白球，考虑到红球出现的次序， B中所含样本点个数为
所以
（2）无返回抽样
第一次从10个小球中抽取一个，由于不再放回，因此第二次从9个小球中抽取1个，第三次从8个小球中抽取1个，因而样本空间 中的元素有 个．类似讨论可知， A中所含样本点个数为 ，所以
B中所含样本点个数为 ，所以
第四节 条件概率
一、条件概率
设A ,B 为两个事件，常常会求“B事件 发生的条件下 A发生”的概率，由于 B发生可能对 A发生的概率有影响，所以通常情况下“事件B 发生的条件下A 发生”的概率与 P(A)并不相同，我们称前者为条件概率，记为P(A|B) ．
例1.6 某班共有学生50人, 其中男生26人, 男生中有3人是三好学生, 女生中有4人是三好学生，现从该班任意抽取1人, 设 A表示“抽到三好学生”, B表示“抽到男生”.
求 P(A), P(B), P(AB), P(A|B) .
解 由古典概率定义可得
若已知B 发生，即已知抽到的为男生，则总的基本事件数为26．故由古典概率的定义可得 P(A|B) =3/26 ．
显然 P(A|B) ,且有P(A|B) = ．
例1.7 抛掷一枚均匀的骰子，求下列事件的概率：
（1）出现4点的概率；
（2）已知出现的是偶点，求出现4点的概率．
解 设A ={出现4点}， B={出现偶点}．
(1) P(A) = 1/6;
(2)已知出现偶点事件 B已经发生,则样本空间 S = {2,4,6},所以在事件 B发生条件下事件A 发生的概率 P(A|B) = 1/3 .
显然 P(A|B) ,且有 P(A|B) = ．
下面我们给出条件概率的定义．
定义1.5 设A,B为两个事件，且 P(B)>0，则事件 B发生的条件下A 发生的条件概率定义为 P(A|B) = ．
注意，计算 P(A)是在整个样本空间 S上考察 A事件发生的概率，而计算 P(A|B)是仅局限于 B事件发生的范围来考察A 事件发生的概率．所以一般 P(A|B) ．
由AB=BA 可知 ．
容易验证条件概率具有下列性质：
（1）（非负性）对任一事件A ， ；
（2）（规范性） P(S|B) = 1 ；
（3）（可列可加性）设A1,A2 ,…，An 互不相容，则
除这3条性质外，前面证过的概率的其他性质也适用于条件概率．
例1.8 有10件产品，其中一等品8件，二等品2件，随机取2次，1次1件做不放回抽样，设 A={第一次取到一等品}，
B={第二次取到一等品}，求 P(B|A) ．
解 方法一：由条件概率的定义
所以P(B|A) = = .
方法二：第一次取到一等品事件发生了，余下9件产品，其中有7件一等品，这时 P(B|A) = ．
例1.9 10道考题中有3道难题，甲，乙不放回地依次各抽取一道，求甲没有抽到难题时乙抽到难题的概率．
解 设 A={甲抽到难题}， B={乙抽到难题}．
方法一
所以
方法二 甲没有抽到难题事件发生了，此时样本空间中还有9道题，其中3道难题，此时乙抽到难题的概率 ．
二、乘法公式
由条件概率的公式可得 P(AB) = P(B)P(A|B) (P(B)>0) ，而AB=BA ，所以 P(AB) = P(A)P(B|A) (P(A)>0) ，这两个等式称为乘法公式．它表明：两个事件同时发生的概率
等于其中一个事件的概率与另一个事件在此事件发生下的条件概率的乘积．利用乘法公式计算两个事件同时发生的概率在概率计算中有广泛的应用．
乘法公式可以推广到多个事件的情形．例如，3个事件的乘法公式是 ,
一般地, 当 时用归纳法可以证明:若 则
例1.10 一批灯泡共100只，次品率为10%，不放回地任取3只，求第3次才取到合格品的概率．
解 设 Ai={第i 次取得合格品}， i=1,2,3，显然要求的概率
为 , 因为 ， ，
，所以
例1.11 袋中有 个白球和 个黑球, 从袋中随机地取一个球.然后放回，并同时放进与取出的球同色的球 个，再从袋中取出一个球，这样下去共取3次，求：
(1)前两次取的球均为白球的概率；
(2)前两次取出的球为白球, 第3次取出的球是黑球的概率.
解 设 Ai={第i 次取得合格品}， i=1,2,3，
(1)因为 ， ，所以
(2)因为 ，所以
三、全概率公式
对于一些简单的事件，我们可以用概率的性质及公式计算其概率，对于复杂事件的概率，计算过程中我们往往把它分解为若干个互斥的简单事件之和，先求出这些简单事件的概率，再利用有限可加性及乘法公式得到所求事件的概率，这就是全概率公式的思想．
定义1.6 如果n 个事件 A1,A2,…,An ,满足 ，
，则称 A1,A2,…,An 构成一个完备事件组．
定理1.1 (全概率公式)设 A1,A2,…,An 是一个完备事件组，且 i = 1,2,…,则对任一事件 B有
证明(见课本)
注意，若取 =2，并将 A1记为 A，则 A2就是 ，此时可知 P(B) = P(A)P(B|A)
例1.12 某基金公司精选了10只股票，其中有3只金融类股票．他们第一次随机买入2只股票，第二次在余下的8只股票中再随机买1只股票，求第二次买入的股票不是金融类股票的概率．
解 设 B={第二次买入的股票不是金融类股票}，由题意，事件 B的发生必与第一次买入的2只股票有关，虽然不确定第一次买入了几只金融股，但 必是与几种情况的其中之一同时发生，所以设Ai ={第一次买入的股票有 i只金融股}， i=0,1,2，显然 ，A1, A2, A3是样本空间的一个完备事件组．
由全概率公式，得
例1.13 假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量分别占全厂产量的45%，35%，20%．如果各车间的次品率分别为4%，2%，5%．现从将出厂产品中任取一个螺钉，试求它是次品的概率．
解 设B ={取到的是次品}, A1={取到的是甲车间产品}， A2={取到的是乙车间产品}, A3 ={取到的是丙车间产品}．
显然， A1, A2, A3 构成完备事件组．由全概率公式得
四、贝叶斯（Bayes）公式
定理1.2 设 A1, A2, …An , …是一完备事件组，则对任一事件 B ( P(B) > 0 )，有
(i,j=1,2,…)
上述公式称为贝叶斯公式．
由条件概率的定义及全概率公式即可证明．
贝叶斯公式与全概率公式都是求复杂事件概率的重要公式，两个公式所求的概率虽然不同，但两者之间有密切
的联系. 在全概率公式中, 如果把 Ai看做导致事件 B发生的“原因”, 则全概率公式是一个由因求果的问题. 在这里, P(Ai) > 0 是事先已经知道的,可根据经验或分析得到,通常被称为“先验概率”.在贝叶斯公式中,“结果”事件 B已经发生, 而需要找到使 发生的“原因”, 所以是一个“溯果求因”问题． 是得到信息 后确定的，被称为“后验概率”.从贝叶斯公式可以看到，后验概率 的计算是以先验概率 为基础的．
例1.14 某种商品成箱出售, 每箱20只, 设每箱含0,1,2只次品的概率分别为 0.8, 0.1和 0.1, 一位顾客打算购买一箱,
而顾客开箱随机查看4只, 若无次品, 则买下该箱商品, 否则退回. 求顾客买下的这箱商品中, 确实没次品的概率．
解 设B ={顾客买下此箱商品}，由题意，这箱商品可能含0,1,2只次品，设 Ai ={这箱商品有 i只次品}, i =0,1,2, 则 A0,A1,A2构成了完备事件组．且
P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1, P(B|A0)=1,
则由贝叶斯公式得
P(A0|B)=
第五节 事件的独立性
由上节的例子可知，条件概率和无条件概率往往是不同的．一般来讲，一个事件A 对另一个事件 B是否发生的影响往往是由这两个事件的关系来决定．在许多实际问题中，常会遇到两个事件中任何一个事件发生都不会对另一个事件发生的概率产生影响，像这种影响不存在即为本节所讨论的事件的独立性．
一、两个事件的独立性
定义1.7 若两事件A,B 满足
则称A, B 为相互独立的随机事件．
事件的独立性是概率论中一个独特的概念，事件 A与事件B 相互独立的直观含义为 A,B 发生互不影响．
定理1.3 设A, B 是两个事件，如果 P(A)>0，则事件 A, B 相互独立的充分必要条件是
P(B|A) = P(B)
证明 由条件概率公式
若 A, B 相互独立，则
从而
反之，若
则
从而
所以，事件 A, B 相互独立．
定理1.4 设事件A, B 相互独立，则事件 A与 ， 与 B， 与 也相互独立．( 证明见课本 )
例1.15 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求甲、乙各放一炮而击中敌机的概率．
解 设A ={甲击中敌机}, B={乙击中敌机}，则P(A)=0.6 ， P(B)=0.5 ，由题意知 A与B 是相互独立的，故敌机被击中的概率为
另解 应用定理1.4, 由 A与B 相互独立, 可得 与 也独立,于是
注：在实际应用中，常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立．
二、有限个事件的独立性
定义1.8 设A, B, C 为3个事件，如果满足等式：
则称事件 A, B, C 相互独立．
若上面4个等式中成立前3个，则表明事件 A, B, C 中任意两个都相互独立，此时称事件 A, B, C两两独立．注意：事件 A, B, C 相互独立与事件 A, B, C 两两独立是不同的概念．
对n 个事件的独立性，可类似地定义．( 见课本)
定义1.10 设A1,A2,…,An 是 n个事件，若其中任意两个之间均相互独立，则称 A1,A2,…,An两两独立．
多个相互独立事件具有如下性质．
性质1 若事件A1,A2,…,An (n>1)相互独立，则其中任意
个事件也相互独立
性质2 若 n个事件A1,A2,…,An (n>1) 相互独立，则将 A1,A2,…,An (n>1)中任意 个事件换成它们的对立事件，所得的 m个事件仍然相互独立．
例1.16 将一个均匀的正四面体的第一面染成红、黄、蓝三色，将其他三面分别染上红色、黄色、蓝色，设 A, B, C 分别表示掷一次四面体红色、黄色、蓝色与桌面接触的事件，则显然
说明事件 A, B, C两两独立，但是 A, B, C 不相互独立．
例1.17 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击, 设击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7, 如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落．求飞机
被击落的概率．
解 设 A, B, C分别表示甲、乙、丙击中飞机, D表示飞机被击落，飞机被击落有以下3种可能性．
一人击中：
两人击中：
三人击中：
在事件 E1中 ， ， 两两互不相容且 A, B, C 相互独立，所以有
类似地，
由题意 ， ， , 并且 E1,E2,E3 两两互不相容，从而根据全概率公式得飞机被击落的概率为
三、伯努利概型
如果随机试验的基本事件只有两种, 即只有两个事件 A及 , 且 ， ,称这样的试验为伯努利（Bernoulli）试验．将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行 n次，称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验或简称为伯努利概型．
定理1.5（伯努利定理） 对于伯努利概型，事件A 在 n次试验中出现 k次的概率为
其中 p为一次试验中 A出现的概率．
证明 由伯努利概型可知，事件 A在指定 k次发生，而其余 n-k次试验中不发生，如前 k次试验中 发生，而后 n-k次试验中不发生的概率为
又由组合理论，这样的方式共有 种, 且这 种排列对应的 个事件互不相容．
由概率的加法公式得， A发生k 次的概率为 ．
例1.18 中日围棋对抗赛各派5名棋手出场，进行5盘棋的比赛，假设对阵的两名棋手水平相当，而且要分出胜负
求：（1）中方恰好获胜3盘的概率；
（2）中方取得这次对抗赛胜利的概率．
分析 将5名棋手进行5场比赛视为5次重复试验，在每次试验中，只有两种可能：中国胜利或中国失败，而且五人的胜败与否彼此独立，这样本问题便可利用伯努利概型解决．
解 设 A={中方在一盘棋中获胜}，依题意得P(A) = 0.5.
（1）又设B ={中方恰好获胜3盘棋}，则它相当于“事件 A在5次试验中恰好发生3次”，所以
(2)又设 C ={中方取得这次对抗赛胜利}，则 C 相当于“事件A 在5次试验中至少发生3次”. 所以

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