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5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理
“概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。
中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币
正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的
废品率
……
5.1 大数定律
定义5.1
依概率收敛序列的性质
证明
时，恒有：
即：
[证毕]
关于贝努利定理的说明:
故而当n很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.
辛钦大数定律表明：个独立同分布的随机变量的算术平均值依概率收敛于随机变量的数学期望，这为实际问题中算术平均值的应用提供了理论依据.
所以,随机变量序列满足切比雪夫大数定理的条件,
服从大数定理.
解
独立性依题意可知,
检验是否具有数学期望？
例5.3
说明每一个随机变量都有数学期望,
检验是否具有有限方差？
说明离散型随机变量有有限方差,
故满足契比雪夫定理的条件.
解
由辛钦定理知
例5.4
本节结束
5.2 中心极限定理
在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似地服从正态分布.”
例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产生的误差X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X3;…显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和.
一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:
我们关心的是当n→∞时,随机变量和∑Xi的极限分布是什么 由于直接研究∑Xi的极限分布不方便,故先将其标准化为:
再来研究随机变量序列{Yn}的极限分布.
定义5.3 设{Xk}为相互独立的随机变量序列,有有限的数学期望E(Xk)=μk和方差D(Xk)=σk2,令
若对于一切实数x,有
则称随机变量序列{Xk}服从中心极限定理.
注：在许多实际问题中,所考察的随机变量如果可以表示成很多个独立的随机变量的和,则它们都近似服从正态分布．
例5.5 某射击运动员在一次射击中所得的环数X具有如下的概率分布 ,求在100次独立射击中所得环数不超过930的概率.
例 5.6 某车间有150台同类型的机器，每台出现故障的概率都是0.02，假设各台机器的工作状态相互独立，求机器出现故障的台数不少于2的概率.
例 5.7 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，平均每箱重千克，标准差千克.若用最大载重量为吨的卡车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于？
例5.8 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：
(1)保险公司亏本的概率有多大？
(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？
解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(10000, 0.006),
设Y表示保险公司一年的利润，
Y=10000 12-1000X
于是由中心极限定理
(1)P{Y<0}=P{10000 12-1000X<0}
=1 P{X 120} 1 (7.75)=0;
P{Y>60000}=P{10000 12-aX>60000}
=P{X 60000/a} 0.9;
（2）设赔偿金为a元，则令
由中心极限定理,上式等价于
解: 设X为10000个新生儿中男孩个数则X服从B(n,p)，其中n=10000，p=0.515
由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为
本节结束

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