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3.1 二维随机变量 3.2 分布律 3.3 随机变量及其分布函数 3.4 随机变量的独立性与条件分布 3.5 n维随机变量
第三章 随机变量的联合概率分布
3.1 二维随机变量
定义3.1 设X,Y是随机变量，则称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量。
如果将二维随机变量(X,Y)视为平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在点(x,y)处的函数值就是随机点落在以点(x,y)为顶点且位于该点左下方的无界矩形域内的概率.
二维随机变量联合分布函数的性质
性质1 F(x,y)分别关于x和y单调不减.
性质3 F(x,y)关于x右连续,关于y右连续.
注:如果一个二元函数具有上述四条性质，则该函数一定可以作为某个二维随机变量的分布函数.
例3.1 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany) 求常数A,B,C.
本节结束
3.2 分布律
定义3.3 若二维随机变量的所有可能取值为有限对或可列无限多对时，则称为二维离散型随机变量.
注2: 二维随机变量(X,Y)的分布律可以用如下的表格来表示，称为联合概率分布表.
注3: 二维随机变量(x,y)关于x和关于y的边缘分布律放在联合概率分布表中.
例3.2 箱子中装有10件产品，其中4件是次品，6件是正品，不放回地从箱子中任取两次产品，每次一个.定义随机变量
求(X,Y)的分布律以及分布函数.
(X,Y)的分布律为
(X,Y)的分布函数.
例3.3 已知(X,Y)的分布律为
求(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.
解P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j)
于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为
本节结束
3.3 随机变量及其分布函数
定义3.6 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使得对于任意的实数x,y都有
则称(X,Y)的二维连续型随机变量，f(x,y)称为联合密度函数.
定义3.7 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，称
为二维随机变量关于X的边缘概率密度.称
为二维随机变量关于Y的边缘概率密度.
注：若在平面有界区域G内任取一点，用(X,Y)表示该点的坐标，则(X,Y)服从区域上二维均匀分布.
二维随机变量函数的分布
1. 二维离散型随机变量函数的分布
2. 二维连续型随机变量函数的分布
问题:设(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.
积的分布
例3.13 假设一电路装有三个同类电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为
的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，求电路正常工作时间T的密度函数.
本节结束
3.4 随机变量的独立性与条件分布
例3.14 设二维随机变量(X,Y)的分布律如下
判断X,Y的独立性.
注: 两个独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量，且其两个参数恰好为原来两个正态随机变量相应参数之和，利用数学归纳法，不难将此结论推广到n个独立正态随机变量之和的情形.
本节结束
3.5 n维随机向量
一、联合分布与边缘分布
定义3.10 n维随机向量(X1，X2，…，Xn)
定义3.11 n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为
F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}
记FXi(xi)=Fi(xi)=P{Xi≤xi}为关于Xi的边缘分布函数。
定义3.12 离散型n维随机向量(X1,X2, …,Xn)的联合概率函数为
p(x1,x2,…,xn)=P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}
记pXi(xi)=pi(xi)=P{Xi=xi}为关于Xi的边缘概率函数。
定义3.13 连续型n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合密度函数为
f(x1,x2,…,xn)
记 fXi(xi)=fi(xi) 为关于Xi的边缘密度函数。
二、独立性
定义3.14 对于n维随机向量(X1，X2，…，Xn)，如果对任意的xi∈R,都有
F(x1, x2, …, xn)=FX1(x1)FX2( x2) …FXn(xn)
则称X1，X2，…，Xn 相互独立。
①对于离散型n维随机向量(X1，X2，…，Xn)，则 X1,X2,…,Xn 相互独立的充分必要条件是：对于任意的 x1,x2,…,xn，有
P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}=P{X1=x1}P{X2=x2}…P{Xn=xn}
②对于连续型n维随机向量(X1，X2，…，Xn) ，则 X1,X2, …,Xn 相互独立的充分必要条件是：对于任意的 x1,x2,…,xn，有
f(x1,x2,…,xn)= fX1(x1)· fX2(x2)… fXn(xn)
即联合密度函数等于各个边缘密度函数之积。
定义3.15 (独立同分布的随机变量序列)
若随机向量序列X1,X2,…,Xn…中任意n个随机变量(n=2,3,…,)都相互独立，且每个随机变量Xi都服从同一种分布，则称X1,X2,…,Xn,…独立同分布的随机变量序列。
例3.20 设X1,X2,…,Xn相互独立且同分布，分布函数均为F(x)，Y=max{X1,X2,…,Xn}，Z=min{X1,X2,…,Xn}，分别求随机变量Y和Z的分布函数。
解：FY(x)=P{Y≤x}=P{max{X1,X2,…,Xn}≤x}
=P{X1≤x,X2≤x,…,Xn≤x}
=P{X1≤x} P{X2≤x}…P{Xn≤x}=[F(x)]n
P{Z>x}=P{min{X1,X2,…,Xn}>x}
=P{X1>x,X2>x,…,Xn>x}
=P{X1>x} P{X2>x}…P{Xn>x}=[1-F(x)]n
∴FZ(x)=P{Z≤x}=1-P{Z>x}=1-[1-F(x)]n
本节结束

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