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4.1 随机变量的数学期望 4.2 随机变量的方差 4.3 常见分布的数学期望与方差 4.4 协方差与相关系数 4.5 分布的其他数字特征
第四章 随机变量的数字特征
4.1 随机变量的数学期望
(一) 离散型随机变量的数学期望
例4.1 已知随机变量X的分布律如下,求X的数学期望E(X).
X 2 0 1 4 5
p 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1
例4.2 一工厂生产的某件设备的寿命X（以年计）服从指数分布，其密度函数为
工厂规定，出售的设备若在一年内损坏可以调换，若工厂出售一台设备获利润100元，调换一台设备厂方需花费300元．求厂方出售一台设备获利的数学期望．
解 设Y表示厂方出售一台设备所获利润，则Y的分布律为
(二) 连续型随机变量的数学期望
(三) 随机变量函数的期望
定理4.1 设Y=h(X)是随机变量X的一个已知函数． （1）如果X是离散型随机变量,且其分布律为
（2）如果X是连续型随机变量,且密度函数为f(x)．
例4.4 设随机变量X的分布律为如下,求E(X2).
X 2 0 1 4 5
p 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1
例4.9 假定在国际市场上每年对我国某种商品的需求量X服从区间[2000,4000]上的均匀分布（单位：吨）．设每售出1吨这种商品可获利3万元，如若销售不出而囤积于仓库，则每吨需花保管费1万元．问需组织多少货源，才能获利最大？
当x=3500时上式取得最大值，故当组织3500吨货源时获利最大．
(四) 数学期望的性质
性质1 设C为一常数，则 E(C)=C.
证明 设随机变量X=C．即X是一个只取一个值的随机变量， 所以 P(X=C)=1,E(X)=C.
本节结束
4.2 随机变量的方差
(一) 方差的定义
(三)切比雪夫（Chebyshev）不等式
定理4.3 设随机变量X的方差存在，则对任意常数ε>0，有
本节结束
4.3 常见分布的数学期望和方差
(一) 常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布的数学期望方差
设X的分布列为：
X 0 1
P q p
本节结束
4.4 协方差与相关系数
对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差只反映了X与Y各自离开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息.
但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的统计规律,也包含有X与Y之间关系的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系.
协方差的性质
1.证明 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
= E[(Y-E(Y)) (X-E(X))]
= Cov(Y,X)
2.证明 Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]
=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}
=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=abCov(X,Y)
3证明 Cov(X+Y,Z)
=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]
= E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}
= E{[X-E(X)][Z-E(Z)] +[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}
=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]} +E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}
=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是
Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:
再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.
定义4.5 设二维随机变量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称
为随机变量X与Y的相关系数.
相关系数的性质
性质1 随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.
性质2 |ρXY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得
P{Y=a+bX}=1.
性质3 若X与Y相互独立,则ρXY=0.
性质1 随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.
性质2 |ρXY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得 P{Y=aX+b}=1
性质2 |ρXY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得 P{Y=aX+b}=1
性质3 若X与Y相互独立,则ρXY=0.
证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y),
又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
定义4.6 若X,Y的相关系数ρXY=0, 则称X,Y不相关.
注：性质3说明，若X与Y相互独立,则X与Y一定不相关．但反之未必成立．
这时有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即ρ=0.
从而X与Y不相关,没有线性关系;但是X与Y存在另一个函数关X2+Y2=1,从而X与Y是不独立的.
本节结束
4.5 分布的其他数字特征
定义4.7 设X和Y是随机变量,
(1)若E(Xk)(k=1,2,…)存在,则称它为X的k阶原点矩.
(2)若E{[X-E(X)] k} (k=1,2,…)存在,则称它为X的k阶中心矩.
(3)若E(XkYl) (k,l=1,2,…)存在,则称它为X和Y的k+l阶混合矩.
(4)若E{[X-E(X)] k[Y-E(Y)] l} (k,l=1,2,…)存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.
(1)若偏度系数等于零，则分布是对称的；若偏度系数不为零，则分布是不对称；偏度系数大于零时，分布是右偏的; 偏度系数小于零时，分布是左偏的． (2)若峰度系数大于零，则分布的尾部比正态分布粗；若峰度系数小于零，则分布的尾部比正态分布细；若峰度系数等于零，则分布的尾部和正态分布相当． (3)偏度系数和峰度系数都是随机变量分布的形状特征数,偏度系数刻画的是分布的对称性,而峰度系数刻画的是分布的陡峭性．
本节结束

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