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第八章 假 设 检 验
上一章讨论的是通过样本来估计总体参数问题，它是统计推断的一种重要的形式．本章将介绍统计推断的另一类问题——假设检验．根据样本观测值，推断总体参数或分布的假设是否正确，这就是假设检验问题．
第一节　假设检验的基本概念
一、假设检验的基本思想和基本步骤
为了对假设检验有一个初步的了解，先来看以下一个例子．
例8.1　设某工厂生产的电灯泡的寿命X 服从正态分布
, 已知其标准差 为150小时, 现从该厂生产的一批灯泡中随机抽取25个, 测得其平均寿命为1528小时，能否认为该批灯泡的寿命均值为1600小时？
解　由题意知, X～ , 其中,样本均方差 , 样本均值 =1528．
能否认为该批灯泡的寿命均值为1600小时,就是检验假设.
是否正确．即检验以下假设
(8.1)
通常称假设 H0为原假设，称与H0 对立的假设H1 为备择假设．检验的目的是在原假设 H0和备择假设 H1中选择一个，若检验结果是原假设 H0正确，就接受H0 ，否则拒绝 H0 ，而接受 H1 ．
我们知道，样本均值 是总体均值 的无偏估计，如果原假设 H0 成立，则观测值 与 的偏差 应该比较小．反之，若 H0不成立，则 就应该比较大．因此， 的大小可以用来检验原假设 H0是否成立．
由于当 H0为真时，统计量
~N(0,1)
故可以把衡量 的大小归结为衡量 的大小．|u| 太大就拒绝原假设 H0 . 给定一个很小的正数 ,根据标准正态分布分位点的定义，有
即事件 为一小概率事件．根据“小概率
事件在一次试验中是不可能发生”的实际推断原理，若 H0正确，该事件在一次试验中实际上是不可能发生的，因此，若样本值满足
即在一次试验中小概率事件发生了，我们就应怀疑原假设H0 的正确性．故拒绝 H0 ；反之，若样本值满足
此时没有理由拒绝 H0 ，故只能接授H0 ．
在例8.1中，若取 ，则 ．
即 ．已知 n = 25， .
从而
小概率事件在一次实验中发生了，因此拒绝 H0 ．即不能认为该批灯泡的寿命均值为1600小时．
统计量 　 称为检验统计量．
给定的数 称为显著性水平．对于各种不同的问题，显著性水平 的选择可以不一样，为查表方便起见，通常
选取 =0.1，0.05，0.01，0.005等值．
若当检验统计量取某个区域中的值时，我们就拒绝原假设H0 ，则称该区域为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点．如例8.1中的拒绝域为
（8.2）
而接授域为 和 为临界点．
二、双侧检验与单侧检验
例8.1中的备择假设是 , 它表示只要 与
有一个成立，就可以拒绝H0 ．由于拒绝域分别
位于 的两侧，所以称这类假设检验为双侧检验．
但有时还需要用到单侧假设检验．比如，对于一批灯泡，我们关心的主要是它的寿命均值 不应太低．因此就会提出以下问题：“是否可以认为这批灯泡的寿命均值 不小于 ？”，这样就是要求检验如下的假设：
, ． （8.3）
形如（8.3）的假设检验称为左侧检验．类似地，有时还需要作如下的假设检验：
：, ，　　 （8.4）
形如（8.4）的假设检验称为右侧检验．
左侧检验（8.3）有时也写为
(8.5)
右侧检验（8.4）有时也写为
(8.6)
可以证明，在同一显著性水平 下，(8.3)与(8.5)的检验方法是一样的，(8.4)与(8.6)的检验方法也是一样的．左侧检验与右侧检验统称为单侧检验．
下面讨论当 已知时，形如(8.4)的右侧检验问题
的拒绝域．
由于 ～N(0，1)，取定显著性水平 ，得
．　 , 当H0成立时，有不等式
从而有事件
　因此 　 ．
故拒绝域为 (8.7)
类似的讨论，可得左侧检验的拒绝域为
（8.8）
由前面的讨论可得出假设检验的一般步骤如下．
(1)根据实际问题提出原假设 H0和备择假设 H1;
(2)根据原假设H0 , 选取合适的统计量，并在原假设H0 成立时确定该统计量的分布；
(3)选取适当的显著性水平 , 并根据统计量的分布查表 ,
给出对应于 的临界值，并确定拒绝域；
(4)由样本观测值计算统计量的观测值,并与临界值比较；
(5)作结论: 若检验统计量的值落入拒绝域, 就拒绝 ; 否则接受 . 但要注意, 若检验统计量的值接近临界值, 实际中应再抽一个样本来作进一步分析，然后下结论．
三、两类错误
假设检验是在原假设 为真的前提下，导出一个小概率事件，它在一次试验中几乎不可能发生，但我们不能断定它完全不发生，因而用假设检验方法作出的判断并不完全可靠，有时可能犯错误，通常有两类可能性的错误．
(1) 原假设H0 是正确的, 而我们错误地拒绝了它, 称之为第一类错误或弃真错误．由于仅当小概率事件发生时才拒绝 H0, 因而犯第一类错误的概率就是显著性水平 ，即
(2) 原假设 H0实际上是不正确的, 而我们错误地接受了它, 称之为第二类错误或纳伪错误．犯第二类错误的概率记为 ．即
我们希望犯这两类错误的概率越小越好，但当样本容量给定时，犯这两类错误的概率不可能同时被控制．因此通常采用的做法是：控制犯第一类错误的概率不超过事
先给定的 ，而使犯第二类错误的概率 尽可能地小．如果在检验中只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为显著性检验．
第二节　单个正态分布总体参数的假设检验
设总体X～N , X1,X2,…Xn 为来自X 的样本， 分别为样本均值与样本方差．
一、单个正态总体均值的假设检验
1．方差 已知时，关于均值 的检验
在第一节中已经讨论过，当 已知，显著性水平为 时,
关于 的双侧检验、单侧检验的拒绝域均已得到, 见式(8.2),(8.7)，(8.8)．在这些检验中，我们都是利用统计量
的值来确定拒绝域的，故通常称为u检验法．
例8.2 某车间用一台包装机包装葡萄糖，规定标准为每袋0.5kg．设包装机称得袋糖X～ ,且已知 =0.015.某天开工后, 为检查包装机工作是否正常, 随机抽取9袋，称得质量为：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.511，0.510，0.515，0.512．按显著性水平 =0.10，检验
包装机工作是否正常？
解　由题意知，需检验假设
由于方差 已知，而需要检验均值 ，故用U检验法．此时拒绝域为式（8.2）．
由样本观测值算得样本均值
对于水平 =0.10, 查标准正态分布临界值表, 得
计算统计值，得
可见 |u| 的值在拒绝域内．因此，拒绝 H0，即认为包装机工作不正常．
2．方差 未知时，关于均值 的检验
考虑假设
(8.9)
由于 未知，而S 2是 的无偏估计量，自然想利用S 代替 ，又由于 H0为真时，统计量　
～t ( n - 1)，
因此用T 作为检验统计量．当检验统计量T 的值 | t | 过分大时就拒绝 ．故拒绝域的形式为 ．
取定显著性水平 ，则
由 t 分布的双侧 分位点, 得 ．从而此检验问题的拒绝域为
(8.10)
上述利用统计量T的值得到的检验法称为 t 检验法．
例8.3　用一仪器间接测量温度5次, 得到数据为1250,1265, 1245, 1260, 1275(℃)．而用另一种精密仪器测得温度为1277℃(可看作真值)．设测量的温度服从正态分布，问用此仪器测量温度有无系统偏差？（取 =0.05）
解　由题意知，需检验假设
由于方差 未知，而要检验均值 ，故用 t 检验法．此时拒绝域为式(8.10)．经计算得　 =1259, s2 =142.5，又n = 5， ．
因此有
故拒绝 H0．即认为此仪器测量温度有系统偏差．
二、单个正态分布总体方差的假设检验
设 为已知常数， 未知．考察待检验的假设为
(8.11)
由于S2 是 的无偏估计，当 H0为真时，观测值 S2与 的比值应接近于1，故当 的值过分大于1或小于1时，就应该拒绝 H0 ．又当 H0为真时
～
我们取 为检验统计量．从而拒绝域的形式为
　 或 　 ．
给定显著性水平 ，取
由 分布的分位点定义，得
或 (8.12)
同样可以讨论 的单侧检验问题．如果要检验假设
(8.13)
当 H0成立时， ，因此 应该比较小，拒绝域的形式为
给定显著性水平 ，取
由 分布的分位点知 ,于是得拒绝域为
　　　　　　　　　　 （8.14）
类似地，对于左侧检验
　　　　　　　 （8.15）
可得拒绝域为
　　　　　　　　　　 （8.16）
由于以上所用的检验统计量服从 分布,故称为 检验法.
例8.4 某厂生产的铜丝的折断力服从标准差为8kg的正态分布，今从某日的产品中任意抽取10根检查折断力，测得数据如下（单位：kg）：
578 572　570　568　572　570　572　596　584　570
问该日生产的铜丝的折断力的标准差是否仍为8kg？（取 = 0.05）
解　由题意知，要检验的假设为
　　
由于 未知，而 已知，故检验 时应用 检验法．
由样本值算得　 =575，S2 =75.73，故
查 分布表，得
拒绝域为
由于 , 可见 , 不在拒绝域内，故接受 H0．即在 =0.05下，就认为该日生产的铜丝的折断力标准差为8kg．
例8.5 用包装机包装洗衣粉，在正常情况下，每袋标准质量为1000g，标准差 不能超过15g．假设洗衣粉质量服从正态分布．某天检验包装机工作情况，从已包装好的袋中随机抽取10袋，测得质量（单位：g）分别为
1020，1030，968，994，1014，998，976，982，950，1048．问按标准差衡量，这天机器工作是否正常
（取 =0.05）？
解　按题意，要检验的假设为
由于 未知，要对 作检验，用 检验法．
选择检验统计量： ,此检验属于右侧检验.
故拒绝域的形式为 ．
查 分布临界值表，得　
由样本观测值算得
进而得 的统计值为
所以拒绝原假设 H0 ： ．即认为这天包装机工作不正常．
单个正态总体均值、方差的检验法如表8-1所示 (见课本146-147页)
第三节　两个正态总体参数的假设检验
设有两个正态总体X～N ，Y～N ，X与Y相互独立，X1,X2,…,Xn 与 Y1,Y2,…,Yn分别是取自总体X和Y的样本， 分别是X和Y的样本均值， 分别是X和Y的样本方差．
一、两个正态总体均值的假设检验
关于两个正态总体均值 和 的假设检验通常有以下3种．
（1） 　　　　　　 （8.17）
（2） 　　　　　　 （8.18）
（3） （8.19）
类似于以上讨论，有以下结论．
1．若 和 已知, 在 H0成立的前提下, 选择检验统计量
～N（0，1）．
对于检验问题(1), H0 的拒绝域为 ；　　　 （8.20）
对于检验问题(2), H0 的拒绝域为 ；　　　　 （8.21）
对于检验问题(3), H0 的拒绝域为 ．　　　　 （8.22）
2． 和 未知，但 ．
在H0 成立的前提下，构造检验统计量
～ ，
其中
对于检验问题(1), H0 的拒绝域为 ；
（8.23）
对于检验问题(2), H0的拒绝域为 ；
（8.24）
对于检验问题(3), H0的拒绝域为 :
（8.25）
例8.6　从甲, 乙两厂生产的钢丝总体X, Y中各取50截1m长的钢丝做拉力强度试验．测得 .设钢丝的抗拉强度服从正态分布, 且 . 问甲，乙两厂钢丝的抗拉强度是否有明显差别(取 =0.05)？
解　设甲, 乙两厂钢丝的抗拉强度的总体均值分别为 和
．考虑检验假设
由题意知 ， ， =0.05．
查N(0，1)分布表，得 ．由于
故拒绝H0 ，即在显著性水平 =0.05下，认为两厂钢丝的抗拉强度有明显差别．
二、两个正态总体方差的假设检验
关于两个正态总体方差在 ， 和 均未知的情形下的假设检验，通常有以下3种．
（1） 　　　　　 （8.26）
（2） 　　　　　　 （8.27）
（3） 　　 　　　　　　 （8.28）
现在先来讨论检验问题（1）．
要检验 和 是否相等，自然想到用它们的无偏估计来比较. 考虑 当H0 为真时，F 接近1的可能性很大．为此，若F很大或很小时，则有理由拒绝 H0 ，认为
．由定理6.5知
～
当 H0为真时，有　 ～ ．
取 为检验统计量，拒绝域的形式为
对于给定的显著性水平 ，有
根据F分布的上侧分位点知
得拒绝域为
　 (8.29)
这种检验两正态总体方差是否相等的检验称为方差齐性检验．
其次考虑单侧假设检验问题（2）．
与前面类似的分析，取检验统计量为
拒绝域为 ，在给定的显著性水平 时 ，有
当 时，有 F～F(n1-1,n2-1) ．
因此得拒绝域为
　　　　　　　　　　 （8.30）
同理可得相应于假设检验问题（3）的拒绝域为
(8.31)
例8.7　两化验员A，B对同一种矿砂的含铁量独立地用同一种方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.432和0.506，若A，B两个测量值均服从正态分布，其方差分别为 和 ，试在显著性水平 =0.05下，检验假设
　　
解　依题意知 , 而 和 未知，故采用统计量 进行检验．通过计算得
而　
由于 　 ，可知 F 落在拒绝域的外部，故可接授 H0．
两个正态总体均值、方差的假设检验法如表8-2所示.
（见课本149-150页）
第四节　总体分布的假设检验
前面我们讨论的是在已知总体分布时关于未知参数的假设检验，如果总体分布是未知的，则需要对总体分布进行推断，即对总体分布做假设检验．例如我们要考察某一产品的质量指标是否服从正态分布，考察一枚骰子
是否均匀，即考察各个点数出现是不是等可能的．检验分布函数的方法较多，我们仅介绍最常用的 检验法，亦称为皮尔逊-- 拟合检验法．
设总体X的分布函数F(x)未知，(x1,x2,…,xn) 是总体X的样本，现在需在显著性水平 下，检验假设
　 　　　　　　　 （8.32）
其中F0(x) 为某已知分布函数或者是某一已知类型中的分布函数．
皮尔逊 拟合检验法的步骤如下．
设总体X的可能取值都落在区间(a，b)内，a可以为 ∞,
b可以为 + ∞, 将区间(a，b)分成 m 个小区间, 不妨设第 i个小区间为 (当i =1时，第1个小区间应为开区间，以下将不再声明)，设样本落入第 i个小区间中的个数为 个．
设当 H0为真时, 总体X落入第 i个小区间 的概率为 pi , 则有
(8.33)
根据大数定律，当 H0成立时,“理论频数” ( npi或 )与“实际频数” 的差异不应太大．根据这个思路，皮尔逊构造了一个统计量
(8.34)
称为皮尔逊 统计量．
根据以上分析，当 H1为真时， 往往偏大．从而拒绝域的形式应取为 ．
皮尔逊还证明了下面定理．
定理8.1 若n充分大( n ≥ 50 ), 则当 H0为真时(不论 F0(x)属于什么分布),统计量
近似地服从自由度为 m-1的 分布，于是由
可得拒绝域为 　　　　　　　　　 （8.35）
如果在原假设 H0中只确定了总体分布的类型，但是分布中还含有若干个未知参数，则我们不能将上述定理作为检验的理论依据，因为此时皮尔逊 统计量中的 pi无法确定．费歇证明了如下定理，从而解决了含未知参数情形的分布检验问题．
定理8.2　设 是总体 的真实分布，其中
为k个未知参数．在
在 中用 的极大似然估计
代替 ．令
(8.36)
则当n很大时，统计量
近似地服从自由度为m-k-1的 分布.
此时假设检验（8.32）的拒绝域为
　　　　　 （8.37）
注：当F0(x) 是离散型随机变量的分布函数时，其分组可直接
以可能的取值中的一个或若干个组成一组而完成．
皮尔逊 统计量可用下式计算
（8.38）
这是因为
在式(8.38)中将 pi改成 等式也成立．
例8.8 在一批灯泡中抽取300只做寿命试验，其结果如下
寿命t（小时）
灯泡数 121 78 43 58
在水平 =0.05下检验假设H0: 灯泡寿命服从参数为0.005的指数分布, H1 : 灯泡寿命不服从参数为0.005的指数分布．
解　题中已将样本分成4组，且落入各组的个数分别为121，78，43，58. 利用皮尔逊 检验法(n = 300较大)检查假设的拒绝域为
其余可类似地算出，其结果由下表列出．(见课本151页)
查表有 ，故可接受 H0．即可以认为灯泡寿命服从参数为0.005的指数分布．

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