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7．2.2　复数的乘、除运算
第七章　复　数
学习指导 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2.理解复数乘法的运算律． 1.数学抽象：复数乘、除运算的运算法则及运算律．
2.数学运算：复数的四则运算代数式．
01
必备知识　落实
知识点一　复数的乘法
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________________．
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝________
结合律 (z1z2)z3＝__________________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3

复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
　 　计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；
【解】　(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i
＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i
＝(4－i2)(1＋2i)－5i
＝5(1＋2i)－5i
＝5＋10i－5i＝5＋5i.
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4.
【解】　(1－i)2(1＋i)2＋4＝－2i·2i＋4＝4＋4＝8.
(1)两个复数代数表达式乘法运算的一般方法
首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
[注意]　in(n∈N)的性质：
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
　　　　
1．复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
√
2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，
又此点在第二象限，

√

对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
√
√
02
关键能力　提升
方法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此式代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
　　　 　 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
解：因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根，
且b，c为实数，
所以(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，

(2)试判断1－i是不是方程的根．
解：由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立．
所以1－i是方程的根．
03
课堂巩固　自测
√
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－1＋i
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04
课后达标　检测
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[A　基础达标]
1．已知i为虚数单位，复数z＝(3－i)(2＋i)，则z的虚部为(　　)
A．i B．1
C．7i D．7
解析：因为z＝(3－i)(2＋i)＝7＋i，所以z的虚部为1.故选B.
√
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7．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝__________．
解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)
＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)
＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.
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－5－15i
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－3
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12．若A＝{x|x＝i2n＋i－2n，n∈N*}，i为虚数单位，则集合A的子集的个数为(　　)
A．3 B．4
C．8 D．16
解析：当n＝1时，x＝i2＋i－2＝－1＋(－1)＝－2，当n＝2时，x＝i4＋i－4＝1＋1＝2，当n＝3时，x＝i6＋i－6＝－2，当n＝4时，x＝i8＋i－8＝2.因此A＝{2，－2}，故集合A有4个子集．
√
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[C　拓展冲刺]
15．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
√
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16．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根．
(1)求p＋q的值；
解：由题意，可知关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的另一个根是2－i.
根据根与系数的关系，可得p＝－4，q＝5.
所以p＋q＝1.
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16中小学教育资源及组卷应用平台
7．2.2　复数的乘、除运算
学习指导 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2.理解复数乘法的运算律． 1.数学抽象：复数乘、除运算的运算法则及运算律． 2.数学运算：复数的四则运算代数式．
知识点一　复数的乘法
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
2．运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
　计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4.
【解】　(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i
＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i
＝(4－i2)(1＋2i)－5i
＝5(1＋2i)－5i
＝5＋10i－5i＝5＋5i.
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝－2i·2i＋4＝4＋4＝8.
(1)两个复数代数表达式乘法运算的一般方法
首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
[注意]　in(n∈N)的性质：
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
1．复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选B.因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，
又此点在第二象限，
所以解得a＜－1.
知识点二　复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
　计算：
(1)；
(2)；
(3).
【解】　(1)＝＝＝－i.
(2)＝＝＝－2＋i.
(3)＝＝＝＝＋i.
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
(2)常用公式
①＝－i；②＝i；③＝－i.
1．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积是(　　)
A． B．－
C．i D．－i
解析：选A.因为＝＝＋i，
所以的实部与虚部之积是.
2．(2022·高考北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　)
A．1 B．5
C．7 D．25
解析：选B.方法一：依题意可得z＝＝＝－4－3i，所以|z|＝＝5，故选B.
方法二：依题意可得i2·z＝(3－4i)i，所以z＝－4－3i，则|z|＝＝5，故选B.
考点　在复数范围内解方程
　在复数范围内解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
【解】　(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5.
又因为(i)2＝(－i)2＝－5，所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i.
(2)方法一：因为x2＋4x＋6＝0，
所以(x＋2)2＝－2.
因为(i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
方法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因为b≠0，
所以
解得a＝－2，b＝±.
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
复数范围内实系数一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此式代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
解：(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根，
且b，c为实数，
所以(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
所以解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立．
所以1－i是方程的根．
1.(2022·新高考卷Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选D.因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝＋＝2.故选D.
2．复数z＝－i5在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.因为z＝－i5＝－i＝－i＝－－i，所以z在复平面内对应的点为，位于第三象限．故选C.
3．若复数z满足方程i＝1－i，则z＝________．
解析：由题意可得＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i.
答案：－1＋i
4．计算：
(1)(1＋i)2 020；
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i).
解：(1)原式＝[(1＋i)2]1 010＝(1＋2i＋i2)1 010＝(2i)1 010＝21 010·i1 010＝21 010·(i2)505＝－21 010.
(2)原式＝＝
＝＝＋i.
[A　基础达标]
1．已知i为虚数单位，复数z＝(3－i)(2＋i)，则z的虚部为(　　)
A．i B．1
C．7i D．7
解析：选B.因为z＝(3－i)(2＋i)＝7＋i，所以z的虚部为1.故选B.
2．设复数z＝，则z在复平面内对应的点的坐标为(　　)
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，－1) D．(－1，－1)
解析：选D.z＝＝＝＝－1－i，则z在复平面内对应的坐标为(－1，－1).故选D.
3．设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则复数＋z2＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．2＋i D．2－i
解析：选A.＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝1＋i－2i＝1－i.故选A.
4．已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.因为i4＝1，所以i2 021＝i505×4＋1＝i，i2 022＝i505×4＋2＝－1，
所以z＝＝－i，则＝＋i，故在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.
5．已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为(　　)
A．2 B．1
C．－2 D．i
解析：选B.由题意，化简得z＝＝＝＝2＋i，所以复数z的虚部为1.故选B.
6．(多选)在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则(　　)
A．复数z＝1＋i
B．||＝
C．复数z对应的点位于第一象限
D．复数的实部是－1
解析：选BD.复数＝＝＝－1－i对应的点的坐标为(－1，－1).
因为复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，
所以复数z对应的点的坐标为(－1，1)，
所以复数z＝－1＋i.故A，C均错．
＝－1－i，||＝，的实部是－1，B，D正确．
7．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝________．
解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)
＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)
＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.
答案：－5－15i
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________．
解析：因为a，b∈R，且＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，所以所以所以|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
答案：
9．复数z＝a＋2i，a∈R，若＋1－3i为实数，则a＝___________．
解析：因为＋1－3i＝＋1－3i＝＋1－3i＝3－(a＋3)i，因为＋1－3i∈R所以a＋3＝0，即a＝－3.
答案：－3
10．计算：
(1)(2－i)(3＋i)；
(2).
解：(1)(2－i)(3＋i)＝(7－i)
＝＋i.
(2)＝
＝＝＝
＝－2－2i.
[B　能力提升]
11．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
解析：选D.因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.
12．若A＝{x|x＝i2n＋i－2n，n∈N*}，i为虚数单位，则集合A的子集的个数为(　　)
A．3 B．4
C．8 D．16
解析：选B.当n＝1时，x＝i2＋i－2＝－1＋(－1)＝－2，当n＝2时，x＝i4＋i－4＝1＋1＝2，当n＝3时，x＝i6＋i－6＝－2，当n＝4时，x＝i8＋i－8＝2.因此A＝{2，－2}，故集合A有4个子集．
13．(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是(　　)
A．|z|2＝z
B．z2＝|z|2
C．若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D．若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
解析：选ACD.对于A：z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以|z|2＝a2＋b2，而z＝a2＋b2，所以|z|2＝z成立；
对于B：z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2 不成立；
对于C：|z|＝1可以看作以O(0，0)为圆心，1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取|z＋i|的最大值为2；
对于D：|z－1|＝1可以看作以M(1，0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点距离，故O，N重合时，|z|＝0最小，当O，M，N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.故选ACD.
14．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i，i为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，求|z|.
解：(1)＝＝＝＝－1＋5i.
(2)因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i.
因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，所以b＝1，
所以z＝1＋i，所以|z|＝.
[C　拓展冲刺]
15．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
解析：选C.令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，得
当b＝0时，a2－4|a|＋3＝0，a＝±1或a＝±3；
当a＝0时，b2＋4|b|－3＝0，|b|＝－2＋或|b|＝－2－(舍)，即b＝±(－2).
综上，原方程在复数集内共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±(－2)i.故选C.
16．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根．
(1)求p＋q的值；
(2)若复数ω满足z·ω是实数，且|ω|＝2，求复数ω.
解：(1)由题意，可知关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的另一个根是2－i.
根据根与系数的关系，可得p＝－4，q＝5.
所以p＋q＝1.
(2)设ω＝a＋bi(a，b∈R).
由z·ω＝(2＋i)(a＋bi)＝(2a－b)＋(a＋2b)i∈R，
得a＋2b＝0.
又|ω|＝2，所以a2＋b2＝20，
所以a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，
因此ω＝4－2i或ω＝－4＋2i.
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7．2.2　复数的乘、除运算
学习指导 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2.理解复数乘法的运算律． 1.数学抽象：复数乘、除运算的运算法则及运算律． 2.数学运算：复数的四则运算代数式．
知识点一　复数的乘法
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
2．运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
　计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4.
(1)两个复数代数表达式乘法运算的一般方法
首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
[注意]　in(n∈N)的性质：
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
1．复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
知识点二　复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
　计算：
(1)；
(2)；
(3).
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
(2)常用公式
①＝－i；②＝i；③＝－i.
1．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积是(　　)
A． B．－
C．i D．－i
2．(2022·高考北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　)
A．1 B．5
C．7 D．25
考点　在复数范围内解方程
　在复数范围内解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
复数范围内实系数一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此式代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
1.(2022·新高考卷Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2．复数z＝－i5在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若复数z满足方程i＝1－i，则z＝________．
4．计算：
(1)(1＋i)2 020；
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i).
[A　基础达标]
1．已知i为虚数单位，复数z＝(3－i)(2＋i)，则z的虚部为(　　)
A．i B．1
C．7i D．7
2．设复数z＝，则z在复平面内对应的点的坐标为(　　)
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，－1) D．(－1，－1)
3．设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则复数＋z2＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．2＋i D．2－i
4．已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为(　　)
A．2 B．1
C．－2 D．i
6．(多选)在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则(　　)
A．复数z＝1＋i
B．||＝
C．复数z对应的点位于第一象限
D．复数的实部是－1
7．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝________．
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________．
9．复数z＝a＋2i，a∈R，若＋1－3i为实数，则a＝___________．
10．计算：
(1)(2－i)(3＋i)；
(2).
[B　能力提升]
11．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
12．若A＝{x|x＝i2n＋i－2n，n∈N*}，i为虚数单位，则集合A的子集的个数为(　　)
A．3 B．4
C．8 D．16
13．(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是(　　)
A．|z|2＝z
B．z2＝|z|2
C．若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D．若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
14．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i，i为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，求|z|.
[C　拓展冲刺]
15．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
16．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根．
(1)求p＋q的值；
(2)若复数ω满足z·ω是实数，且|ω|＝2，求复数ω.
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