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(共57张PPT)
9．1　随机抽样
9．1.2　分层随机抽样
第九章　统　计
学习指导 核心素养
1.通过案例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性． 2．掌握各层样本量比例分配的方法． 3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值． 4．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题． 1.数学抽象：分层随机抽样的概念．
2．数据分析、数学建模：会用分层随机抽样方法解决简单的应用问题．
01
必备知识　落实
知识点一　分层随机抽样
(1)定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行______________，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为________，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为____．
简单随机抽样
总样本
层
(2)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小________，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
成比例
　　　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用的时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
√
【解析】　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样．C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样．B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．
使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[注意]　分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．
　　　　　某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样法 B．抽签法
C．随机数法 D．分层随机抽样法
解析：样本由差异较大的两部分组成，每层样本量与层的大小比例相等，即为分层随机抽样法．
√
　　　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
分层随机抽样的步骤
　　　　　某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝()
A．9 B．10
C．12 D．13
√
　　　某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体数学成绩平均值为(　　)
A．110 B．125
C．95 D．105
√
　　　　　为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为(　　)
A．1.57 m B．1.56 m
C．1.55 m D．1.54 m
√
02
课堂巩固　自测
1．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是(　　)
A．①简单随机抽样，②分层随机抽样
B．①分层随机抽样，②简单随机抽样
C．①②都用简单随机抽样
D．①②都用分层随机抽样
√
解析：在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层随机抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样．故选B．
2．下列抽样调查中，宜用分层随机抽样的是(　　)
A．为了研究班级同学父母的受教育状况，从班级的40名同学中抽取10名同学，调查他们的父母受教育状况
B．为了研究全校同学的肺活量，从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50名同学，调查他们的肺活量
C．质量检验员从同一批产品中抽取10%进行质量检查
D．园林绿化人员调查一块的草坪土质，在草坪中提取部分泥土进行检验
√
解析：A．班级的40名同学没有明显差异，不宜用分层随机抽样；
B．全校三个年级的1 500名同学有明显的差异，宜用分层随机抽样；
C．同一批的产品，没有明显差异，不宜用分层随机抽样；
D．同一块的草坪土质没有明显差异，不宜用分层随机抽样；故选B．
3．“民以食为天，食以安为先”，食品安全是关系人们身体健康的大事，某粮油店经营A，B，C三类品牌的食用油，其中A类品牌的食用油40桶，B类品牌的食用油30桶，C类品牌的食用油20桶，为防止“地沟油”，要从中抽取一个容量为9的样本，若用分层随机抽样抽取，且在各层中按比例分配样本，则在A，B，C三类品牌的食用油中各抽取的桶数分别为(　　)
A．3，3，3 B．4，3，2
C．4，2，3 D．3，2，4
√
03
课后达标　检测
[A　基础达标]
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这3个年级学生的课业负担情况，拟从这3个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
解析：根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知，最合理的抽样方法为分层随机抽样．
√
√
3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
√
4．2022年北京冬奥会于2月4日开幕，某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长(单位：min)，采用样本量比例分配的分层随机抽样，分别抽取了男生60人、女生40人，其平均收看时长分别为120 min和90 min，据此估计本校全体学生的平均收看时长为(　　)
A．90 min B．105 min
C．108 min D．120 min
√
5．某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取20%的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是(　　)
A．10 B．11
C．20 D．21
√
6．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆、6 000辆和 2 000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(　　)
A．应采用分层随机抽样方法抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
√
√
√
7．某校高一、高二、高三共有2 800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层随机抽样的方法抽取一个容量为56的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19，则该校高二学生人数为________．


答案：950
8．某校为了解学生的学习情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4，抽取的样本中高一学生有120人，则k的值为________．


答案：6
9．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为________万元．



答案：9.2
10．某网站针对“2023年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁)人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
(2)从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
[B　能力提升]
11．某公司为了调查消费者对旗下软件的真实评价，采用分层随机抽样的方法在甲、乙、丙三个城市共抽取了3 600 人进行问卷调查，若在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，则乙城市抽取的人数为(　　)
A．800 B．1 000
C．1 200 D．1 500
√
12．(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有(　　)
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
√
√
√
解析：因为各年级的年龄段不一样，所以应采用分层随机抽样法，故A正确；
由题意可知D正确．故选ABD．
13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020 小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________时．
解析：由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件).由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命约为 1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(时).
答案：50　1 015
14．某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平．
√
√
√
16．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据比例分配的分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：


由于疏忽，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息，可得C产品有________件．
答案：800中小学教育资源及组卷应用平台
9．1.2　分层随机抽样
学习指导 核心素养
1.通过案例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性． 2．掌握各层样本量比例分配的方法． 3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值． 4．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题． 1.数学抽象：分层随机抽样的概念． 2．数据分析、数学建模：会用分层随机抽样方法解决简单的应用问题．
知识点一　分层随机抽样
(1)定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用的时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[注意]　分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．
某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样法 B．抽签法
C．随机数法 D．分层随机抽样法
　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
分层随机抽样的步骤
某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝(　　)
A．9 B．10
C．12 D．13
知识点二　样本平均数的计算公式
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为，，总体的样本平均数为，则＝ ＋ ＝＋，我们可以用样本平均数估计总体平均数.
　某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体数学成绩平均值为(　　)
A．110 B．125
C．95 D．105
分层随机抽样的相关计算常用的3个关系
(1)＝.
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：＝＋＝＋ .
为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为(　　)
A．1.57 m B．1.56 m
C．1.55 m D．1.54 m
1．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是(　　)
A．①简单随机抽样，②分层随机抽样 B．①分层随机抽样，②简单随机抽样
C．①②都用简单随机抽样 D．①②都用分层随机抽样
2．下列抽样调查中，宜用分层随机抽样的是(　　)
A．为了研究班级同学父母的受教育状况，从班级的40名同学中抽取10名同学，调查他们的父母受教育状况
B．为了研究全校同学的肺活量，从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50名同学，调查他们的肺活量
C．质量检验员从同一批产品中抽取10%进行质量检查
D．园林绿化人员调查一块的草坪土质，在草坪中提取部分泥土进行检验
3．“民以食为天，食以安为先”，食品安全是关系人们身体健康的大事，某粮油店经营A，B，C三类品牌的食用油，其中A类品牌的食用油40桶，B类品牌的食用油30桶，C类品牌的食用油20桶，为防止“地沟油”，要从中抽取一个容量为9的样本，若用分层随机抽样抽取，且在各层中按比例分配样本，则在A，B，C三类品牌的食用油中各抽取的桶数分别为(　　)
A．3，3，3 B．4，3，2
C．4，2，3 D．3，2，4
[A　基础达标]
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这3个年级学生的课业负担情况，拟从这3个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
2．从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是(　　)
A． B．
C． D．
3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
4．2022年北京冬奥会于2月4日开幕，某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长(单位：min)，采用样本量比例分配的分层随机抽样，分别抽取了男生60人、女生40人，其平均收看时长分别为120 min和90 min，据此估计本校全体学生的平均收看时长为(　　)
A．90 min B．105 min
C．108 min D．120 min
5．某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取20%的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是(　　)
A．10 B．11
C．20 D．21
6．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(　　)
A．应采用分层随机抽样方法抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
7．某校高一、高二、高三共有2 800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层随机抽样的方法抽取一个容量为56的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19，则该校高二学生人数为________．
8．某校为了解学生的学习情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4，抽取的样本中高一学生有120人，则k的值为________．
9．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为________万元．
10．某网站针对“2023年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁)人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
(2)从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
[B　能力提升]
11．某公司为了调查消费者对旗下软件的真实评价，采用分层随机抽样的方法在甲、乙、丙三个城市共抽取了3 600 人进行问卷调查，若在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，则乙城市抽取的人数为(　　)
A．800 B．1 000
C．1 200 D．1 500
12．(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有(　　)
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020 小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________时．
14．某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平．
[C　拓展冲刺]
15．(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是(　　)
A．甲应付51钱
B．乙应付32钱
C．丙应付16钱
D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
16．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据比例分配的分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于疏忽，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息，可得C产品有________件．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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9．1.2　分层随机抽样
学习指导 核心素养
1.通过案例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性． 2．掌握各层样本量比例分配的方法． 3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值． 4．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题． 1.数学抽象：分层随机抽样的概念． 2．数据分析、数学建模：会用分层随机抽样方法解决简单的应用问题．
知识点一　分层随机抽样
(1)定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用的时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
【解析】　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样．C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样．B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．
【答案】　B
使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[注意]　分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．
某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样法 B．抽签法
C．随机数法 D．分层随机抽样法
解析：选D．样本由差异较大的两部分组成，每层样本量与层的大小比例相等，即为分层随机抽样法．
　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
【解】　抽样过程如下：
第一步，确定抽样比．样本量与总体数量的比为＝；
第二步，确定分别从3类人员中抽取的人数．从行政人员中抽取16×＝2(人)，从教师中抽取112×＝14(人)，从后勤人员中抽取32×＝4(人)；
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人；
第四步，把抽取的人数组合在一起构成所需样本．
分层随机抽样的步骤
某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝(　　)
A．9 B．10
C．12 D．13
解析：选D．由分配比例可得，＝，解得n＝13.
知识点二　样本平均数的计算公式
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为，，总体的样本平均数为，则＝ ＋ ＝＋，我们可以用样本平均数估计总体平均数.
　某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体数学成绩平均值为(　　)
A．110 B．125
C．95 D．105
【解析】　总体数学成绩平均值为＝105.
【答案】　D
分层随机抽样的相关计算常用的3个关系
(1)＝.
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：＝＋＝＋ .
为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为(　　)
A．1.57 m B．1.56 m
C．1.55 m D．1.54 m
解析：选B．因为从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m，从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m，所以这500名13岁男孩的平均身高是＝1.56(m)，据此可估计我国13岁男孩的平均身高为1.56 m．
1．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是(　　)
A．①简单随机抽样，②分层随机抽样 B．①分层随机抽样，②简单随机抽样
C．①②都用简单随机抽样 D．①②都用分层随机抽样
解析：选B．在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层随机抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样．故选B．
2．下列抽样调查中，宜用分层随机抽样的是(　　)
A．为了研究班级同学父母的受教育状况，从班级的40名同学中抽取10名同学，调查他们的父母受教育状况
B．为了研究全校同学的肺活量，从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50名同学，调查他们的肺活量
C．质量检验员从同一批产品中抽取10%进行质量检查
D．园林绿化人员调查一块的草坪土质，在草坪中提取部分泥土进行检验
解析：选B．A．班级的40名同学没有明显差异，不宜用分层随机抽样；B．全校三个年级的1 500名同学有明显的差异，宜用分层随机抽样；C．同一批的产品，没有明显差异，不宜用分层随机抽样；D．同一块的草坪土质没有明显差异，不宜用分层随机抽样；故选B．
3．“民以食为天，食以安为先”，食品安全是关系人们身体健康的大事，某粮油店经营A，B，C三类品牌的食用油，其中A类品牌的食用油40桶，B类品牌的食用油30桶，C类品牌的食用油20桶，为防止“地沟油”，要从中抽取一个容量为9的样本，若用分层随机抽样抽取，且在各层中按比例分配样本，则在A，B，C三类品牌的食用油中各抽取的桶数分别为(　　)
A．3，3，3 B．4，3，2
C．4，2，3 D．3，2，4
解析：选B．分配比例为＝，
则A类油中抽取的桶数为40×＝4，
B类油中抽取的桶数为30×＝3，
C类油中抽取的桶数为20×＝2.
[A　基础达标]
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这3个年级学生的课业负担情况，拟从这3个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
解析：选C．根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知，最合理的抽样方法为分层随机抽样．
2．从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．因为在简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性相等，所以选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性仍为.
3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C．四类食品的种数比为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的种数为20×＝2，抽取的果蔬类的种数为20×＝4，二者种数之和为6，故选C．
4．2022年北京冬奥会于2月4日开幕，某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长(单位：min)，采用样本量比例分配的分层随机抽样，分别抽取了男生60人、女生40人，其平均收看时长分别为120 min和90 min，据此估计本校全体学生的平均收看时长为(　　)
A．90 min B．105 min
C．108 min D．120 min
解析：选C．依题意估计本校全体学生的平均收看时长为＝108(min)，故选C．
5．某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取20%的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是(　　)
A．10 B．11
C．20 D．21
解析：选B．因为甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，各班按男，女生分层抽取20%的学生进行某项调查，所以甲班需抽取(30＋20)×20%＝10(人)，其中男生抽取10×＝6(人)，乙班需抽取(25＋25)×20%＝10(人)，其中男生抽取10×＝5(人).则两个班共抽取男生人数是6＋5＝11.故选B．
6．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(　　)
A．应采用分层随机抽样方法抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
解析：选ACD．由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样抽取，A正确．
因为总体量较大，故不宜采用抽签法，所以B错误．
设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆，
则有
解得
所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确．
由分层随机抽样的意义可知D也正确．
7．某校高一、高二、高三共有2 800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层随机抽样的方法抽取一个容量为56的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19，则该校高二学生人数为________．
解析：设该校高二学生人数为x，则＝，解得x＝950.
答案：950
8．某校为了解学生的学习情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4，抽取的样本中高一学生有120人，则k的值为________．
解析：由题意可得，＝，解得k＝6.
答案：6
9．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为________万元．
解析：因为甲、乙两地人口之比为2∶3，所以甲、乙两地的人均年收入为×8＋×10＝9.2(万元).
答案：9.2
10．某网站针对“2023年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁)人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
(2)从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
解：(1)由题意得
＝，解得n＝40.
(2)35岁以下的人数为×5＝4，35岁以上(含35岁)的人数为×5＝1.
[B　能力提升]
11．某公司为了调查消费者对旗下软件的真实评价，采用分层随机抽样的方法在甲、乙、丙三个城市共抽取了3 600 人进行问卷调查，若在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，则乙城市抽取的人数为(　　)
A．800 B．1 000
C．1 200 D．1 500
解析：选C．因为在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，所以乙城市抽取的人数占抽取的总人数的，所以乙城市抽取的人数为3 600×＝1 200.故选C．
12．(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有(　　)
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
解析：选ABD．因为各年级的年龄段不一样，所以应采用分层随机抽样法，故A正确；因为比例为＝，所以高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人，故B正确；甲、乙被抽到的可能性都是，故C错误；由题意可知D正确．故选ABD．
13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020 小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________时．
解析：由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件).由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命约为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(时).
答案：50　1 015
14．某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平．
解：该武警大队共有30＋30＋40＝100(人)，
按比例分配得第一中队参加考核人数为×30＝9；
第二中队参加考核人数为×30＝9；
第三中队参加考核人数为×30＝12.
所以参加考核的30人的平均射击环数为
×8.8＋×8.5＋×8.1＝8.43，
所以估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环．
[C　拓展冲刺]
15．(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是(　　)
A．甲应付51钱
B．乙应付32钱
C．丙应付16钱
D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
解析：选ACD．依题意，由分层随机抽样可知，
100÷(560＋350＋180)＝，
则甲应付：×560＝51(钱)；
乙应付：×350＝32(钱)；
丙应付：×180＝16(钱).
16．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据比例分配的分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于疏忽，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息，可得C产品有________件．
解析：设C产品的数量为x，则A产品的数量为(1 700－x)，C产品的样本量为a，则A产品的样本量为(10＋a)，由比例分配的分层随机抽样的定义知＝＝，解得x＝800.故C产品有800件．
答案：800
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