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10．1　随机事件与概率
10.1.2　事件的关系和运算
第十章　概　率
学习指导 核心素养
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义． 2．能结合实例进行随机事件的并、交运算． 1.数学抽象：明确事件间的关系、事件的并事件和交事件的含义．
2．逻辑推理：事件的运算及事件间关系的判断．
01
必备知识　落实
知识点一　事件的关系
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B______发生，称事件B______事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
一定
包含
定义 符号 图示
相等 关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B____A且A____B，则称事件A与事件B相等 A＝B


　　　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．
请判断下列两个事件的关系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G．
【解析】　因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
(1)B________H；
【答案】　
(2)D________J；
【答案】
(3)E________I；
【答案】
(4)A________G．
【答案】　＝
包含关系、相等关系的判定
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似．
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
　　　　　掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系．
解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A C，B C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系．
综上，事件A，B，C之间的包含关系为A C，B C.
知识点二　事件的运算
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B______有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
至少
定义 符号 图示
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B______发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ________ (或______)
同时
A∩B
AB
　　　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
【解】　对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【解】　对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
事件间运算的方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
　　　　　在投掷骰子的试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如A＝“出现1点”，B＝“出现3点或4点”，C＝“出现的点数是奇数”，D＝“出现的点数是偶数”．求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6个样本点，记作Ai＝{i}(其中i＝1，2，…，6)，则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
A∩B＝ ，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{1，3，4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{1，2，4，6}，
B∩D＝A4＝{4}，
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{1，3，4，5}．
知识点三　互斥事件与对立事件
1．互斥(互不相容)
定义 一般地，如果事件A与事件B______________，也就是说________是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 ____________
图形表示
不能同时发生
A∩B
A∩B＝
2.互为对立
定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且____________，那么称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记为_____
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 ___________且A∩B＝
图形表示
A∩B＝
A∪B＝Ω
　　　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；
【解】　由于事件C “至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)B与E；
【解】　事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)B与D；
【解】　事件B “至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)B与C；
【解】　事件B “至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)C与E.
【解】　由(4)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
辨析互斥事件与对立事件的思路
(1)从事件发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生．
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2)从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
　　　　　　已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．F与G互斥 B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥 D．E与G对立
√
解析： 由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确；
事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B不正确，D正确．
02
课堂巩固　自测
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．A B B．A∩B＝{出现的点数为6}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B对立
解析：由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为6}．
√
2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
解析：设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3.
√
3．一个人在打靶过程中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是(　　)
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
解析：对立事件的定义是A，B两件事件不能同时发生，但必须有一件发生，则A，B是对立事件，事件“至少有一次中靶”包括“恰有1次中靶”和“2次都中靶”，所以对立事件是“2次都不中靶”．故选C．
√
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A
解：在“图书室中所有数学书都是2021年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.
04
课后达标　检测
[A　基础达标]
1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，i＝0，1，2，3，那么事件A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部击中 B．至少击中1发
C．都未击中 D．至多击中1发
解析：A1表示击中1发，A2表示击中2发，A3表示击中3发，则A1∪A2∪A3表示至少击中1发．故选B．
√
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是(　　)
A．C＝A∩B B．C＝A∪B
C．C A D．C B
解析：记事件D＝{1枚硬币正面朝上}，E＝{2枚硬币正面朝上}，F＝{3枚硬币正面朝上}，则A＝D∪E∪F，B＝C∪D∪E，显然C≠A∩B，C≠A∪B，C B，C不包含于A. 故选D．
√
3．某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥但不对立事件是(　　)
A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶
C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶
√
解析：至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，A选项，至少一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；
B选项，三次都不中靶也都包含在两个事件中，故不是互斥事件，B错误；
C选项，恰有两次中靶，与题干事件不可能同时发生，也不对立，属于互斥不对立事件，C正确；
D选项，为对立事件，故D错误．故选C．
4．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为(　　)
A．1，6 B．4，2
C．5，1 D．6，1
√
解析：从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．
其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．
所以事件A＋B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个．
事件AB包含的样本点有： (2，4)，共1个. 故选C．
√
6．在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是(　　)
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
√
解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，
故四个事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余
三个事件的和事件互为对立事件，任何两个事件的和事件与其
余两个事件的和事件互为对立事件，故只有D中的说法正确．
7．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为________．(填序号)
①一个是5点，另一个是6点；
②一个是5点，另一个是4点；
③至少有一个是5点或6点；
④至多有一个是5点或6点．
解析：设两枚骰子分别为甲、乙，同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点，且不是6点”包含16个结果，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”．
答案：③
答案：出现2，4，6点　出现2，4点
9．掷一枚质地均匀的骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；
解：A∩B＝ ，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B，B＋C；
解：A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}．
[B　能力提升]
10．(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红球、绿球和蓝球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有(　　)
A．2个小球不全为红球 B．2个小球恰有1个红球
C．2个小球至少有1个红球 D．2个小球都为绿球
√
√
解析： 从装有红球、绿球和蓝球各2个的口袋中，一次任意取出2个小球，这两个球可能为2个红球、2个绿球、2个蓝球、1个红球1个蓝球、1个红球1个绿球、1个蓝球1个绿球共6种情况．则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有B，2个小球恰有1个红球；D，2个小球都为绿球；而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红球是对立事件；2个小球至少有1个红球包括2个红球、1个红球1个蓝球、1个红球1个绿球．故选BD .
11．(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”．下列结论正确的有(　　)
A．A＝B B．B C
C．D∩E＝ D．C∩D＝ ，C∪D＝Ω
√
√
√
解析：事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；
至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B C，故B正确；
至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；
此时C，D是对立事件，所以C∩D＝ ，C∪D＝Ω，故D正确. 故选ABD．
√
√
13．某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人．考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”．
(1)事件A1含有多少个样本点？
解：用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含有12个样本点．
(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？
解：事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2.
[C　拓展冲刺]
14．某人忘了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过的号码不再重复，若用Ai＝“第i次拨号接通电话”，i＝1，2，3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为________，拨号不超过3次而接通电话可表示为__________________．
15．A，B，C，D四个元件组成一个电路，如图，每个元件可能正常或失效，设事件A＝“A元件正常”，B＝“B元件正常”，C＝“C元件正常”，D＝“D元件正常”．
(1)写出四个元件工作状态的样本空间；
解：用x1，x2，x3，x4分别表示A，B，C，D四个元件的状态，则可用(x1，x2，x3，x4)表示这个电路的状态，以1表示元件正常，0表示元件失效，
则样本空间为Ω＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，1，0，0)，(1，0，1，1)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(1，0，0，0)，(0，1，1，1)，(0，1，1，0)，(0，1，0，1)，(0，1，0，0)，(0，0，1，1)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，0，0，0)}．
(2)用集合的形式表示事件A∩C.
解：因为C＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，0)，(0，1，1，0)，(0，0，1，1)，(0，0，1，0)}，
A＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(1，0，0，0)}．
用集合的形式表示事件A∩C＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，0，1，1)，(1，0，1，0)}．中小学教育资源及组卷应用平台
10．1.2　事件的关系和运算
学习指导 核心素养
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义． 2．能结合实例进行随机事件的并、交运算． 1.数学抽象：明确事件间的关系、事件的并事件和交事件的含义． 2．逻辑推理：事件的运算及事件间关系的判断．
知识点一　事件的关系
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等 关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．
请判断下列两个事件的关系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G．
【解析】　因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
【答案】　(1) 　(2) 　(3) 　(4)＝
包含关系、相等关系的判定
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似．
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系．
解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A C，B C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系．
综上，事件A，B，C之间的包含关系为A C，B C.
知识点二　事件的运算
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【解】　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
事件间运算的方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
在投掷骰子的试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如A＝“出现1点”，B＝“出现3点或4点”，C＝“出现的点数是奇数”，D＝“出现的点数是偶数”．求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6个样本点，记作Ai＝{i}(其中i＝1，2，…，6)，则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
A∩B＝ ，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{1，3，4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{1，2，4，6}，
B∩D＝A4＝{4}，
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{1，3，4，5}．
知识点三　互斥事件与对立事件
1．互斥(互不相容)
定义 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 A∩B＝
图形表示
2.互为对立
定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记为
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 A∪B＝Ω且A∩B＝
图形表示
　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
【解】　(1)由于事件C “至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B “至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B “至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
辨析互斥事件与对立事件的思路
(1)从事件发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生．
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2)从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G对立
解析：选D． 由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确；事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B不正确，D正确．
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．A B B．A∩B＝{出现的点数为6}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B对立
解析：选B．由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为6}．
2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A B B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3
解析：选C．设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3.
3．一个人在打靶过程中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是(　　)
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
解析：选C．对立事件的定义是A，B两件事件不能同时发生，但必须有一件发生，则A，B是对立事件，事件“至少有一次中靶”包括“恰有1次中靶”和“2次都中靶”，所以对立事件是“2次都不中靶”．故选C．
4．从某大学数学系图书室中任选一本书，设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2021年后出版的书}. 问：
(1)A∩B∩表示什么事件？
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A
(3) B表示什么意思？
解：(1)A∩B∩＝{2021年或2021年前出版的中文版的数学书}．
(2)在“图书室中所有数学书都是2021年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.
(3) B表示2021年或2021年前出版的书全是中文版的．
[A　基础达标]
1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，i＝0，1，2，3，那么事件A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部击中 B．至少击中1发
C．都未击中 D．至多击中1发
解析：选B．A1表示击中1发，A2表示击中2发，A3表示击中3发，则A1∪A2∪A3表示至少击中1发．故选B．
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是(　　)
A．C＝A∩B B．C＝A∪B
C．C A D．C B
解析：选D． 记事件D＝{1枚硬币正面朝上}，E＝{2枚硬币正面朝上}，F＝{3枚硬币正面朝上}，则A＝D∪E∪F，B＝C∪D∪E，显然C≠A∩B，C≠A∪B，C B，C不包含于A. 故选D．
3．某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥但不对立事件是(　　)
A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶
C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶
解析：选C．至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，A选项，至少一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；B选项，三次都不中靶也都包含在两个事件中，故不是互斥事件，B错误；C选项，恰有两次中靶，与题干事件不可能同时发生，也不对立，属于互斥不对立事件，C正确；D选项，为对立事件，故D错误．故选C．
4．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为(　　)
A．1，6 B．4，2
C．5，1 D．6，1
解析：选C．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．
其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．
所以事件A＋B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个．
事件AB包含的样本点有： (2，4)，共1个. 故选C．
5．如果事件A，B互斥，那么(　　)
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．与一定互斥
D．与一定不互斥
解析：选B．如图所示，
因为事件A，B互斥，
所以∪＝I是必然事件，故选B．
6．在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是(　　)
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
解析：选D．由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故四个事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立事件，故只有D中的说法正确．
7．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为________．(填序号)
①一个是5点，另一个是6点；
②一个是5点，另一个是4点；
③至少有一个是5点或6点；
④至多有一个是5点或6点．
解析：设两枚骰子分别为甲、乙，同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点，且不是6点”包含16个结果，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”．
答案：③
8．在随机抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，设事件A＝“出现不大于4的偶数点”，事件B＝“出现小于6的点数”，则事件A∪的含义为__________________，事件A∩B的含义为____________________．
解析：易知＝“出现6点”，则A∪＝“出现2，4，6点”，A∩B＝“出现2，4点”．
答案：出现2，4，6点　出现2，4点
9．掷一枚质地均匀的骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)，C，∪C，＋.
解：(1)A∩B＝ ，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}．
(3)＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，
C＝BC＝{出现2点}，
∪C＝A∪C＝{出现1，2，3或5点}，
＋＝{出现1，2，4或5点}．
[B　能力提升]
10．(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红球、绿球和蓝球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有(　　)
A．2个小球不全为红球 B．2个小球恰有1个红球
C．2个小球至少有1个红球 D．2个小球都为绿球
解析：选BD． 从装有红球、绿球和蓝球各2个的口袋中，一次任意取出2个小球，这两个球可能为2个红球、2个绿球、2个蓝球、1个红球1个蓝球、1个红球1个绿球、1个蓝球1个绿球共6种情况．则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有B，2个小球恰有1个红球；D，2个小球都为绿球；而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红球是对立事件；2个小球至少有1个红球包括2个红球、1个红球1个蓝球、1个红球1个绿球．故选BD .
11．(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”．下列结论正确的有(　　)
A．A＝B B．B C
C．D∩E＝ D．C∩D＝ ，C∪D＝Ω
解析：选ABD．事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝ ，C∪D＝Ω，故D正确. 故选ABD．
12．(多选)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝{向上的一面出现奇数点}，事件B＝{向上的一面出现的点数不超过2}，事件C＝{向上的一面出现的点数不小于4}，则下列说法中正确的有(　　)
A．B＝
B．C＝{向上的一面出现的点数大于3}
C．A＋C＝{向上的一面出现的点数不小于3}
D．＝{向上的一面出现的点数为2}
解析：选BC．由题意知事件A包含的样本点为向上的一面出现的点数为1，3，5；
事件B包含的样本点为向上的一面出现的点数为1，2；
事件C包含的样本点为向上的一面出现的点数为4，5，6.
所以B＝{向上的一面出现的点数为2}，故A错误； C＝{向上的一面出现的点数为4或5或6}，故B正确；A＋ C＝{向上的一面出现的点数为3或4或5或6}，故C正确；＝ ，故D错误，故选BC．
13．某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人．考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”．
(1)事件A1含有多少个样本点？
(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？
(3)判断事件A2与事件2∪A0是什么关系？
解：(1)用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含有12个样本点．
(2)事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2.
(3)因为A2与A0∪A1是对立事件，所以2＝A0∪A1，所以2∪A0＝A0∪A1，所以事件A2与事件2∪A0是对立事件．
[C　拓展冲刺]
14．某人忘了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过的号码不再重复，若用Ai＝“第i次拨号接通电话”，i＝1，2，3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为________，拨号不超过3次而接通电话可表示为__________________．
解析：事件第3次拨号才接通电话代表第1次第2次都没接通，分别为1，2，第3次接通表示为A3，故事件第3次拨号才接通电话表示为12A3；
不超过3次接通代表第1次接通或第1次没有接通第2次接通或第1次、第2次没接通第3次接通，分别表示为A1，1A2，12A3，故拨号不超过3次接通可表示为A1∪1A2∪12A3.
答案：12A3　A1∪1A2∪12A3
15．A，B，C，D四个元件组成一个电路，如图，每个元件可能正常或失效，设事件A＝“A元件正常”，B＝“B元件正常”，C＝“C元件正常”，D＝“D元件正常”．
(1)写出四个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A∩C.
解：(1)用x1，x2，x3，x4分别表示A，B，C，D四个元件的状态，则可用(x1，x2，x3，x4)表示这个电路的状态，以1表示元件正常，0表示元件失效，
则样本空间为Ω＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，1，0，0)，(1，0，1，1)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(1，0，0，0)，(0，1，1，1)，(0，1，1，0)，(0，1，0，1)，(0，1，0，0)，(0，0，1，1)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，0，0，0)}．
(2)因为C＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，0)，(0，1，1，0)，(0，0，1，1)，(0，0，1，0)}，
A＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(1，0，0，0)}．
用集合的形式表示事件A∩C＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，0，1，1)，(1，0，1，0)}．
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10．1.2　事件的关系和运算
学习指导 核心素养
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义． 2．能结合实例进行随机事件的并、交运算． 1.数学抽象：明确事件间的关系、事件的并事件和交事件的含义． 2．逻辑推理：事件的运算及事件间关系的判断．
知识点一　事件的关系
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等 关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．
请判断下列两个事件的关系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G．
包含关系、相等关系的判定
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似．
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系．
知识点二　事件的运算
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
事件间运算的方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
在投掷骰子的试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如A＝“出现1点”，B＝“出现3点或4点”，C＝“出现的点数是奇数”，D＝“出现的点数是偶数”．求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
知识点三　互斥事件与对立事件
1．互斥(互不相容)
定义 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 A∩B＝
图形表示
2.互为对立
定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记为
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 A∪B＝Ω且A∩B＝
图形表示
　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
辨析互斥事件与对立事件的思路
(1)从事件发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生．
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2)从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G对立
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．A B B．A∩B＝{出现的点数为6}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B对立
2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A B B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3
3．一个人在打靶过程中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是(　　)
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
4．从某大学数学系图书室中任选一本书，设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2021年后出版的书}. 问：
(1)A∩B∩表示什么事件？
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A
(3) B表示什么意思？
[A　基础达标]
1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，i＝0，1，2，3，那么事件A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部击中 B．至少击中1发
C．都未击中 D．至多击中1发
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是(　　)
A．C＝A∩B B．C＝A∪B
C．C A D．C B
3．某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥但不对立事件是(　　)
A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶
C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶
4．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为(　　)
A．1，6 B．4，2
C．5，1 D．6，1
5．如果事件A，B互斥，那么(　　)
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．与一定互斥
D．与一定不互斥
6．在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是(　　)
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
7．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为________．(填序号)
①一个是5点，另一个是6点；
②一个是5点，另一个是4点；
③至少有一个是5点或6点；
④至多有一个是5点或6点．
8．在随机抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，设事件A＝“出现不大于4的偶数点”，事件B＝“出现小于6的点数”，则事件A∪的含义为__________________，事件A∩B的含义为____________________．
9．掷一枚质地均匀的骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)，C，∪C，＋.
[B　能力提升]
10．(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红球、绿球和蓝球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有(　　)
A．2个小球不全为红球 B．2个小球恰有1个红球
C．2个小球至少有1个红球 D．2个小球都为绿球
11．(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”．下列结论正确的有(　　)
A．A＝B B．B C
C．D∩E＝ D．C∩D＝ ，C∪D＝Ω
12．(多选)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝{向上的一面出现奇数点}，事件B＝{向上的一面出现的点数不超过2}，事件C＝{向上的一面出现的点数不小于4}，则下列说法中正确的有(　　)
A．B＝
B．C＝{向上的一面出现的点数大于3}
C．A＋C＝{向上的一面出现的点数不小于3}
D．＝{向上的一面出现的点数为2}
13．某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人．考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”．
(1)事件A1含有多少个样本点？
(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？
(3)判断事件A2与事件2∪A0是什么关系？
[C　拓展冲刺]
14．某人忘了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过的号码不再重复，若用Ai＝“第i次拨号接通电话”，i＝1，2，3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为________，拨号不超过3次而接通电话可表示为__________________．
15．A，B，C，D四个元件组成一个电路，如图，每个元件可能正常或失效，设事件A＝“A元件正常”，B＝“B元件正常”，C＝“C元件正常”，D＝“D元件正常”．
(1)写出四个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A∩C.
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