资源简介

与圆有关的位置关系
1. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，BO＝8，以点O为圆心，r为半径作圆．
(1)若r＝4.8，则点A与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________；
(2)若r＝6，则点A与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________；
(3)若r＝4，则点A与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________．
第1题图　　
2. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C的切线交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD，交DC的延长线于点E.
第2题图
(1)若AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径为________；
(2)若∠CAB＝30°，则∠CAE＝________，∠BCD＝________；
(3)若BD＝2，CD＝4，则⊙O的半径为________；
(4)若tan ∠BAC＝，CD＝4，则BD的长为________．
3. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AB，OA，OB，PO，PO交⊙O于点C，交AB于点D，∠OAB＝30°.
第3题图
(1)∠APB的度数为________；
(2)若OA＝4，则OP的长为________．
4. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F.
第4题图
(1)连接DE，EF，若∠A＝60°，则∠DEF的度数为________；
(2)若AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为________．
知识逐点过
考点1 　点、直线与圆的位置关系
1. 点与圆的位置(r为⊙O的半径，d为点到圆心的距离)
点在圆外 d＝OA①________r
点在圆上 d＝OB②________r
点在圆内 d＝OC③________r
2. 直线与圆的位置关系(r为⊙O的半径，d为圆心到直线的距离)
位置关系 相离 相切 相交
d与r的关系 d④______r d⑤______r d⑥______r
交点的个数 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个公共点
示意图
考点2 　切线的性质及判定
概念 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点
性质 圆的切线⑦________于过切点的半径
判定 1. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线(定义)；2. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(定理)；3. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
考点3 　切线长及切线长定理
图示
切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与⑧________之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长
切线长定理 从圆外一点可以引圆的⑨______条切线，它们的切线长⑩________，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则有PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB(探索并证明切线长定理※选学)
考点4 　三角形的内切圆
概念 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆
性质 三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离 ________
角度关系 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则∠BOC＝90°＋∠A
【温馨提示】1．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，即三角形的内心；2．直角三角形内切圆的半径为r＝(a＋b－c)(a，b为直角边，c为斜边)
教材原题到重难考法
与切线有关的证明及计算
例　
如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.求证：AT是⊙O的切线．
　例题图
变式题
1. 添加切线DE证线段关系
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接AD.求证：AE＝DE.
　第1题图
2. 改变E点位置求直径
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是AC的中点，以AB为直径的⊙O与BC边交于点D，连接AD，DE.若AD＝6，DE＝5，求⊙O的直径．
　第2题图
3. 切线结合等腰三角形
如图，以AB为直径的⊙O与△ABC相切于点A，斜边BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，连接AE并延长交BC于点F，AB＝BF，连接AD，BE.
(1)求证：∠ABE＝∠FAC；
(2)若⊙O的半径为5，sin ∠FAC＝，求DF的长．
　第3题图
真题演练
命题点 与切线有关的证明与计算
1. 如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD.
(1)求证：直线CD与⊙O相切；
(2)如图②，记(1)中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2.求tan ∠APE的值．
　第1题图
2. 如图①，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点E，连接CA′.
(1)求证：AA′⊥CA′；
(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图②，⊙O与CD相切，求证： AA′＝CA′；
②如图③，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
　第2题图
3. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.
(1)求证：ED＝EC；
(2)求证：AF是⊙O的切线；
(3)如图②，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
　第3题图
基础过关
1. 已知⊙O的直径为6，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相交或相切
2. 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为(　　)
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第2题图　
3. 如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B，若AB＝AC，则下列说法不正确的是(　　)
A. AD⊥BC B. ∠CAB＝90° C．DB＝AB D. AD＝BC
第3题图
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为__________．
第4题图　
5. 如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为__________．
第5题图
6. 如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为__________．
第6题图
7. 如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC.
(1)求证：AO∥BE；
(2)求证：AO平分∠BAC.
第7题图
综合提升
8. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°.若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为__________．
第8题图
9. 如图，以 ABOC的顶点O为圆心的圆经过点A，交OC于点D，连接AD，过点D作ED⊥AD交⊙O于点E，连接BE，交⊙O于点F，∠CAD＝∠ODE.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若tan C＝，EF＝6，求OC的长．
第9题图
10. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题．
(1)求证：∠PAO＝2∠PBO；
(2)若⊙O的半径为3，AP＝4，求BP的长．
　　
图①
　　
图②
第10题图
与圆有关的位置关系
1. (1)点A在⊙O外，相切；【解析】∵在Rt△AOB中，BO＝8，AB＝10，∴AO＝6，设点O到AB的距离为d，利用△ABC面积公式得×BO×OA＝×AB×d，解得d＝4.8.∵r＝4.8，4.8<6，∴点A在⊙O外，r＝d，∴直线AB与⊙O相切；
(2)点A在⊙O上，相交；【解析】∵r＝6，∴点A在⊙O上，∵d＝6>4.8，∴直线AB与⊙O相交；
(3)点A在⊙O外，相离．【解析】∵r＝4，∴点A在⊙O外，∵d＝4<4.8，∴直线AB与⊙O相离．
2. (1)5；【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5.
(2)30°，30°；【解析】如解图，连接CO，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∵OC＝OA，∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴∠EAD＝∠COB＝60°，∴∠CAE＝30°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB＝∠COB＝60°，∴∠BCD＝90°－60°＝30°.
第2题解图
(3)3；【解析】如解图，设⊙O的半径为r，∵∠OCD＝90°，∴OC2＋CD2＝OD2，∴r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3，∴⊙O的半径为3.
(4)2.【解析】如解图，∵∠OCB＋∠DCB＝∠OCB＋∠ACO＝90°，∴∠DCB＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠DCB＝∠ACO＝∠CAO，∵∠D＝∠D，∴△CBD∽△ACD，∴＝，∵tan ∠BAC＝＝，CD＝4，∴＝＝，∴BD＝CD＝2.
3. (1)60°；【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠APB＝60°.
(2)8.【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°，∵PO＝PO，OA＝OB，∴△APO≌△BPO，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∴OP＝2OA＝8.
4. (1)60°；【解析】如解图，连接OD，OF，由题意知，AD，AF是⊙O的切线，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∵∠A＝60°，∴∠DOF＝360°－90°－90°－60°＝120°，∴∠DEF＝∠DOF＝60°.
第4题解图
(2)5.【解析】∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵△ABC的周长为14，∴AD＋AF＋BE＋BD＋CE＋CF＝14，∴2(BE＋CE)＝10，∴BC＝5.
教材原题到重难考法
例　证明：∵∠ABT＝45°，AT＝AB，
∴∠T＝∠ABT＝45°，
∴∠BAT＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AT是⊙O的切线．
1. 证明：如解图，连接OD，
∵DE切⊙O于点D，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODA＋∠ADE＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAD＋∠DAE＝90°.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE.
第1题解图
2. 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵E是AC的中点，
∴AE＝EC＝DE，
∴DE＝AC，
∴AC＝10，
∴CD＝＝＝8，
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BAC∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
∴⊙O直径的长为.
3. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°.
∵AC为⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE＋∠BAE＝∠BAE＋∠FAC＝90°，
∴∠ABE＝∠FAC；
(2)解：∵AB为⊙O的直径，OA＝5，
∴AB＝BF＝2OA＝10，
∵AB＝BF，BE⊥AF，
∴AE＝EF，
由(1)知∠ABE＝∠FAC，
∵sin ∠FAC＝，
∴sin ∠ABE＝，
∴AE＝AB·sin ∠ABE＝4，
∴AF＝2AE＝8，
设DF＝x，则BD＝10－x，
∵BA是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∴82－x2＝102－(10－x)2，解得x＝，
∴DF＝.
知识逐点过
①>　②＝　③<　④>　⑤＝　⑥<
⑦垂直　⑧切点　⑨两　⑩相等　 相等
真题演练
1. (1)证明：如解图①，过点O作OE⊥CD于点E，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠OEC，
∵CO平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，
又∵CO＝CO，
∴△BOC≌△EOC，
∴OE＝OB，
∴OE为⊙O的半径，
又∵OE⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；(3分)
(2)解：如解图②，连接OD，OE，
由(1)得OE＝OB，
∴OE＝OA，
∵∠OAD＝∠OED＝90°，OD＝OD，
∴Rt△AOD≌Rt△EOD(HL)，
∴DE＝AD＝1，∠3＝∠4＝∠AOE，
∴∠APE＝∠AOE＝∠3，
由(1)得△BOC≌△EOC，
∴CE＝BC＝2，
∴CD＝DE＋CE＝1＋2＝3，(5分)
过点D作DF⊥BC，垂足为F，则四边形ABFD为矩形，
∴CF＝BC－BF＝BC－AD＝2－1＝1，
在Rt△DFC中，DF＝＝＝2，
∴OA＝AB＝DF＝，
∴tan ∠APE＝tan ∠3＝＝＝.(8分)
第1题解图
【一题多解】如解图③，连接BE，AE，并延长AE交BC的延长线于点F，
由题意得∠APE＝∠ABE，DE＝AD＝1，CE＝CB＝2，
∵AD∥BC，
∴＝＝，即FE＝2AE，(5分)
∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AF，
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠FBE＝90°，
∴∠BAE＝∠FBE，
∴△ABE∽△BFE，
∴＝＝，即＝，
∴tan ∠APE＝tan ∠ABE＝＝.(8分)
第1题解图③
2. (1)证明：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE∥A′C，
∴AA′⊥CA′；(3分)
(2)①证明：如解图①，设⊙O与CD的切点为F，连接FO并延长，交AB于点G，
∴FG⊥CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝OA＝BD，AB∥CD，
∴FG⊥AB，
∴∠FDO＝∠GBO，∠GAO＝∠GBO，
又∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG(ASA)，(5分)
∴OG＝OF＝OE，
由(1)知，AA′⊥BD，
∵OG⊥AB，
∴Rt△EAO≌Rt△GAO(HL)，
∴∠EAO＝∠GAO，
∴∠GBO＝∠EAO，
∵∠EAB＋∠GBO＝90°，
∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由(1)知AA′⊥CA′，
∴tan ∠EAO＝＝，
∴AA′＝CA′；(8分)
第2题解图①
②解：如解图②，设⊙O与CA′的切点为H，连接OH，
∴OH⊥CA′，
由(1)知，AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA＝OC，
∴OH∥AA′，OE∥CA′，
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∴＝＝，＝＝，
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，
∵OH＝OE，
∴AA′＝CA′，
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，
设AE＝x，则OD＝OA＝x，
∴DE＝OD－OE＝(－1)x，
在Rt△ADE中，x2＋[(－1)x]2＝12，
∴x2＝，
∴S⊙O＝π·OE2＝.(12分)
第2题解图②
3. (1)证明：如解图①，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∴ED＝EC；(2分)
第3题解图①
(2)证明：如解图②，
连接OA，OB，OC，
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴AO是BC的垂直平分线，
∴AO⊥BC，
∵由(1)已证∠2＝∠3，
∴AB∥DF，
∵AB＝AC＝CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴AO⊥AF，
∵OA为⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；(5分)
第3题解图②
(3)解：如解图③，连接AG，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∵G是△ADC的内心，
∴∠7＝∠8，
∵∠BAG＝∠5＋∠7，
∠6＝∠1＋∠8，
∴∠BAG＝∠6，
∴AB＝BG，
∵∠3＝∠3，∠1＝∠5，
∴△ABE∽△CBA，
∴＝，
∴AB2＝BE·BC＝25，
∴AB＝5(负值已舍)，
∴BG＝5.(9分)
第3题解图③
基础过关
1. D　【解析】 ∵直线l上有一点P满足PO＝3，∴点O到直线l的距离小于或等于3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交或相切．
2. B　【解析】如解图，连接OC.∵直线CD与圆相切，∴∠OCD＝90°.∵∠ACD＝50°，∴∠OCA＝40°.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA＝40°.
第2题解图
3. C　【解析】∵AC是⊙O的直径，∴AD⊥BC，故A选项正确；∵AB是⊙O的切线，∴AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，故B选项正确；∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AD⊥BC，∴CD＝DB，∴AD＝BC，故D选项正确；∵△ADB是直角三角形，AB是斜边，∴AB＞DB，故C选项错误．
4. 　【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10.∵S△ABC＝AB·r＝AC·BC，∴r＝＝＝.
5. 　【解析】如解图，连接OC.∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC(SSS)，∴∠OBC＝∠OAP＝90°.在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，∴OP＝＝＝13.∵S△OAC＋S△OCP＝S△OAP，∴OA·AC＋OP·BC＝OA·AP，∴OA·AC＋OP·BC＝OA·AP，∴5AC＋13BC＝5×12，∴AC＝BC＝.
第5题解图
6. 　【解析】 ∵OA是⊙O的半径，AE是⊙O的切线，∴OA⊥AE，∴∠A＝90°.∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，∴OD＝CD，OA＝AE.∵OA⊥BC，BC＝2，∴CD＝BC＝1，∴OD＝CD＝1，∴OC＝OD＝，∴AE＝OA＝OC＝.
7. 证明：(1)∵AF是⊙O的切线，
∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°.
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴∠OAF＝∠CBE.
∵AF∥BC，
∴∠BAF＝∠ABC，
∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE，
∴AO∥BE；
(2)∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角，
∴∠ABE＝∠ACE.
∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，
∴∠ABE＝∠OAC.
由(1)知，∠OAB＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AO平分∠BAC.
8. 62°或118°　【解析】如解图，连接AC，BC.当点C在优弧上时，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴AO⊥AP，BO⊥BP，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∵∠APB＝56°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－56°＝124°，∴∠ACB＝∠AOB＝62°；当点C′在劣弧上时，∵四边形AC′BC是圆内接四边形，∴∠C′＝180°－∠C＝118°.综上所述，∠ACB的大小为62°或118°.
第8题解图
9. (1)证明：如解图，连接OA，OE.
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠DAE＋∠AED＝90°.
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠CAD＝∠ODE，
∴∠CAD＝∠OED，
∴∠DAE＋∠CAD＝90°，
∴∠CAO＝90°，
即OA⊥AC.
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：如解图，过点O作OH⊥EF于点H，
∴∠OHE＝90°，EH＝FH＝EF.
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC∥BO，∠ACO＝∠ABO，
∴∠CAO＝∠AOB＝90°，
∴BO垂直平分线段AE，
∴∠ABO＝∠EBO.
∵∠EBO＋∠BEO＝∠EOH＋∠BEO＝90°，
∴∠EBO＝∠EOH.
∴∠ACO＝∠EOH.
∵EF＝6，∴EH＝FH＝3.
∵tan C＝，
∴tan ∠EOH＝＝，
∴OH＝2EH＝6.
在Rt△OEH中，OE＝＝＝＝3.
∵AC＝2OA＝2OE＝6，
∴OC＝＝15.
第9题解图
10. (1)证明：如解图①，连接OP，设NO的延长线与⊙O相交于点Q，
∵AP与⊙O相切，
∴OP⊥AP，
∴∠APO＝90°，
∴∠PAO＋∠POA＝90°，
∵OM⊥ON，
∴∠POQ＋∠POA＝90°，
∴∠POQ＝∠PAO，
∵点B恰好落在⊙O上，
∴∠PBO＝∠POQ＝∠PAO，
∴∠PAO＝2∠PBO；
第10题解图①
(2)解：如解图②，设NO的延长线与⊙O交于点Q，连接QP，过P作PD⊥BQ于点D，则∠PDO＝90°，
由(1)可知∠POQ＝∠PAO，∠APO＝90°，
∴∠PDO＝∠OPA，
∴△PDO∽△OPA，
∴＝＝，
∵AO2＝AP2＋OP2，⊙O的半径为3，AP＝4，
∴AO＝5，
∴＝＝，
∴PD＝，OD＝，
∴BD＝3＋OD＝3＋＝，
在Rt△PBD中，PB2＝PD2＋BD2，
∴PB2＝()2＋()2，
∴PB＝(负值已舍去).
第10题解图②

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