资源简介

与圆有关的计算
1. 请回答以下问题：
(1)若扇形的半径为2，圆心角为120°，则扇形的弧长为________，扇形的面积为________，围成的圆锥底面圆的半径为________，圆锥的高为________；
(2)若扇形的半径为2，弧长为2π，则扇形的圆心角为________，扇形的面积为________，围成的圆锥底面圆的面积为________；
(3)若圆锥底面圆的半径为2，母线长为4，则侧面展开图的圆心角为________．
2. 如图，四边形AOBC是边长为1的正方形，以O为圆心，OC长为半径 的弧CD交OA的延长线于点D，则图中阴影部分的面积等于________．
第2题图　　
3. 如图，⊙O的半径为2 cm，AB为⊙O的弦，C为弧AB的中点，连接AC，若∠CAB＝30°，则阴影部分的面积为________．(结果保留π与根号)
第3题图
知识逐点过
考点1 　弧长与扇形面积的有关计算
圆周长 C＝①______ r为圆(扇形)的半径；n°为弧所对的圆心角的度数；l为扇形的弧长
扇形弧长 l＝②________
圆面积 S＝③________
扇形面积 S扇形＝④__________＝rl
考点2 圆锥的有关计算
相关计算 1. 圆锥的侧面展开图是扇形；2. 圆锥的母线长l为扇形的⑤______；3. 圆锥底面圆的周长2πr为扇形的⑥______；4. 圆锥的高为h，则r2＋h2＝l2；5. 圆锥的底面圆周长：C＝2πr；6. 圆锥的底面圆面积：S＝πr2；7. 圆锥的侧面积：S＝πrl r为底面圆半径l为圆锥的母线长
真题演练
方法归纳
方法一　公式法
所求阴影部分的面积是规则图形，例如三角形、特殊四边形、扇形．
S阴影＝S扇形MEN
方法二　直接和差法
所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形、特殊四边形面积相加减．
方法三　构造和差法
先设法将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算，如图：
方法四　等积转化法
通过图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件．
(CD为半圆上任意两点，且CD∥AB，P为直径AB上任意一点)
S阴影＝S扇形COD(辅助线作法：连接OC，OD)
命题点1 圆锥的有关的计算
1. 如图，从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为________m.
第1题图
命题点2 与扇形面积有关的计算
2. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积(结果保留π)为________．
3. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为________．
第3题图
4. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为________.(结果保留π)
　
第4题图
5. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F.
(1)求△ABC三边的长；
(2)求图中由线段EB，BC，CF及所围成的阴影部分的面积．
　第5题图
拓展训练
6. 如图，AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切，连接AC，与⊙O交于点D，D是的中点，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为________.
第6题图　　　　
7. 如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则AE长为________.
第7题图
8. 如图，以矩形ABCD的对角线AC为直径画圆，点D，B在该圆上，再以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点E.若AC＝2，∠BAC＝30°，则图中阴影部分的面积和为________(结果保留根号和π).
第8题图
基础过关
1. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为(　　)
A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π
第1题图
2.如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径OA＝20 cm，圆心角∠AOB＝90°，则＝(　　)
A. 20π cm B. 10π cm C. 5π cm D. 2π cm
图① 图②
第2题图
3. 如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB(阴影部分)的面积是(　　)
A. 12π B. 6π C. 4π D. 2π
第3题图
4. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形，如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于(　　)
A. π B. 3π C. 2π D. 2π－
第4题图　
5. 如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为________.
第5题图
6. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳__________名观众同时观看演出．(π取3.14，取1.73)
第6题图
7.如图，AB为半圆O的直径，CD与半圆O相切于点C，且CD＝AB，连接AC，BD，已知AC＝BD＝2，则图中阴影部分的面积为__________．
第7题图
综合提升
8. 某款“不倒翁”(如图①)的主视图是图②，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10 cm，∠P＝60°，则主视图的面积为________cm2.　
图①　　　　　图②
第8题图
9. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O均在小正方形的顶点上，点C为半圆O的中点，点P为半圆O上的一动点，连接AP，PB，则图中阴影部分面积的最小值为__________．
第9题图
10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥AB交AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径作圆交AC于点E，连接BE，交CD于点F.
(1)求证：直线BE为⊙A的切线；
(2)若∠A＝60°，AD＝2，求阴影部分的面积．
第10题图
11.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA＝1.5 km，则这段圆曲线的长为(　　)
第11题图
A. km B. km C. km D. km
与圆有关的计算
1. (1)π，π，，
【解析】∵扇形的半径为2，圆心角为120°，∴R＝2，n＝120，∴扇形的弧长为l＝＝＝π，扇形的面积为S＝＝＝π，围成的圆锥底面圆的半径为r＝＝＝，圆锥的高为h＝＝＝.
(2)180°，2π，π　【解析】∵扇形的半径为2，弧长为2π，∴R＝2，l＝2π，∴扇形的圆心角n＝＝180，扇形的面积S＝＝＝2π，围成的圆锥底面圆的半径为r＝＝＝1，围成的圆锥底面圆的面积为πr2＝π.
(3)180°　【解析】∵圆锥底面圆半径为2，母线长为4，∴r＝2，∴底面圆展开弧长l＝4π，侧面展开图的半径为R＝4，∴侧面展开图的圆心角为n＝＝180°.
2. －　【解析】∵四边形AOBC是边长为1的正方形，∴AC＝AO＝1，∠OAC＝90°，∴OC＝，∠AOC＝45°，∴S阴影＝S扇形COD－S△AOC＝－×1×1＝－.
3. (π－)cm2　【解析】如解图，连接OA，OC，OC交AB于点M，∵C为弧AB的中点，∴AB⊥OC，∵OA＝OC，∠CAB＝30°，∴∠AOC＝60°，OA＝OC＝AC＝2 cm，∴OM＝CM＝OC＝1 cm，∵∠AMO＝90°，∴AM＝＝＝ cm，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－×2×＝(π－) cm2.
第3题解图
知识逐点过
①2πr　②　③πr2　④
⑤半径　⑥弧长
真题演练
1. 　【解析】设圆锥的底面圆半径为R m，根据扇形的弧长等于底面圆周长，可得到＝2πR，解得R＝.
2. π　【解析】扇形面积为＝π.
3. 4－π　【解析】在等腰直角三角形ABC中，∵∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC＝BC＝2，∵BC＝4，∴BE＝CE＝BC＝2，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BDE－S扇形CEF＝×2×2－－＝4－π.
4. π　【解析】如解图，连接OE交BD于点F，则四边形OECD是正方形，易得△ODF≌△EBF，∴S△ODF＝S△EBF，∴S阴影＝S扇形OED＝＝π.
第4题解图
5. 解：(1)根据题图可知AB2＝22＋62＝40.
∴AB＝2，(1分)
∵AC2＝22＋62＝40，
∴AC＝2，(2分)
∵BC2＝42＋82＝80，
∴BC＝4；(3分)
(2)如解图，连接AD，由(1)知AB2＋AC2＝BC2，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．(4分)
∵以点A为圆心的与BC相切于点D，
∴AD⊥BC.
∴AD＝BC＝2，(5分)
∵S△ABC＝BC·AD＝×4×2＝20，
S扇形EAF＝π×(2)2＝5π，(6分)
∴S阴影＝S△ABC－S扇形EAF＝20－5π.(7分)
第5题解图
6. 2＋π　【解析】如解图，连接OD，BD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵点D为的中点，∴AD＝BD，∴OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，△DAO为等腰直角三角形，∴S△AOD＝AO·OD＝×2×2＝2，∵S扇形BDO＝＝π，∴S阴影部分＝S扇形BOD＋S△AOD＝2＋π.
第6题解图
7. 6　【解析】设正六边形的边长为r，正六边形的内角为＝120°，∵阴影部分的面积为24π，∴＝24π，解得r＝6(负值已舍去)，则正六边形的边长为6，如解图，连接AE，过点F作FH⊥AE于点H，∵FA＝FE，∴∠AFH＝∠AFE＝60°，AH＝EH，∴AH＝AF·sin 60°＝6×＝3，∴AE＝2AH＝6.
第7题解图
8. π－　【解析】设AC的中点为O，连接OB，∵AC＝2，∴OA＝OC＝OB＝1，∴S△AOB＝×1××1＝，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∴S扇形BOC＝＝，∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝30°.AC＝2，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝1，CD＝AC＝，∴S△ADC＝×1×＝，∴S阴影＝S半圆－S△ADC＋S△AOB＋S扇形BOC－S扇形ABE＝π－＋＋－＝π－＋＋－＝π－.
第8题解图
基础过关
1. C　【解析】 由题意得，的长为2π×4＝8π.
2. B　【解析】由扇形的弧长公式可知，的长为＝10π(cm).
3. B　【解析】 ∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°.∵OA＝OB＝6＝R，∴S扇形＝＝＝6π.
4. B　【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，∴＝＝.∵的长为＝π，∴“莱洛三角形”的周长为3π.
5. π　【解析】由题意得，正方形ABCD对角线相交于点O，∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC，∴阴影部分的面积＝扇形DBE的面积．∵正方形的边长为2，∴由勾股定理得BD＝2，∠DBC＝45°，∴阴影部分的面积＝×π·(2)2＝π.
6. 184　【解析】如解图，过点O作AB的垂线，交AB于点C.∵圆心O到栏杆AB的距离是5 m，∴OC＝5.∵OC⊥AB，OB＝10，∴sin ∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30°，∴AB＝2BC＝2AC＝2×＝10.∵OA＝OB，∴∠AOB＝180°－2∠OBA＝120°，∵每平方米可以坐3名观众，∴阴影部分面积×3＝3×(S扇形AOB－S△AOB)＝3×－×10×5)≈184.25，∴最多可容纳184名观众同时观看演出．
第6题解图
7. 6－π　【解析】 如解图，连接CO.∵AB＝CD，AC＝BD，∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB∥CD.∵CD与半圆O相切于点C，∴OC⊥CD，∴∠DCO＝∠BOC＝∠AOC＝90°.在Rt△AOC中，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴OA＝OC＝AC·cos ∠OAC＝2×＝2，∴AB＝2OA＝4，∴S阴影＝S ABDC－S扇形BOC－S△AOC＝4×2－－＝6－π.
第7题解图
8. (100＋)　【解析】如解图，设圆心为O，连接OP，OA，OB.∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，∴OA⊥AP，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∠AOP＝∠BOP＝60°，∴对应的圆心角为360°－120°＝240°，∠APO＝∠BPO＝30°.∵该圆半径为10 cm，∴PB＝PA＝OA＝10 cm，∴主视图的面积为S△PAO＋S△PBO＋S扇形AMB＝2××10×10＋＝(100＋)cm2.
第8题解图
9. 2π－4　【解析】 ∵S阴影＝S半圆O－S△APB，∴当S△APB最大时，S阴影最小，即当点P与点C重合时，S△APB最大．如解图，连接OC.∵点C为半圆O的中点，∴AB⊥OC.由题意知AB＝4，OC＝2，则当点P与点C重合时，S阴影＝S半圆O－S△ACB＝×π×22－×4×2＝2π－4，∴图中阴影部分面积的最小值为2π－4.
第9题解图
10. (1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°.
由题意可得AE＝AD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°.
∴AE⊥BE.
又∵AE为⊙A的半径，
∴直线BE为⊙A的切线；
(2)解：如解图，连接AF.
第10题解图
在Rt△ADF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)，
∴∠DAF＝∠EAF＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴DF＝AD·tan 30°＝2×＝2，
∴S△AEF＝S△ADF＝AD·DF＝×2×2＝2，
∴S阴影部分＝S△AEF＋S△ADF－S扇形DAE＝2＋2－＝4－2π.
11. B 　【解析】∵过点A，B的两条切线相交于点C，∴AO⊥AC，BO⊥BC.∵∠α＝60°，AO＝1.5 km，∴∠ACB＝120°.又∵∠CAO＝∠CBO＝90°，∴∠AOB＝60°，∴的长为π×1.5＝ km.

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