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辅助圆问题
一、构造辅助圆
方法一　定点定长作圆
方法归纳
条件：如图，在平面内，A为定点，B为动点，且AB长度固定．
动点轨迹：动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆(依据的是圆的定义，圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合).
推广：在折叠、旋转、对称问题中，有时会利用“定点定长作圆”确定动点的运动轨迹
1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BDC＝22°，若求∠BAC的度数．
第1题图
(1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图；
(2)计算：∠BAC＝________°.
2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△DEC.
(1)请在图中画出点A运动到点D过程中点A的轨迹；
第2题图
(2)计算：点A运动的路径长为________．
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E为AB边的中点，点F在AD边上运动，将△AEF沿EF翻折，点A对应点为A′.
(1)请在图中画出在点F从A运动到D过程中点A′的轨迹；
第3题图
(2)计算：点A′运动的路径长为________．
方法二　定弦定角作圆(含直角对直径)
方法归纳
条件：如图，在△ABC中，∠C为定角(∠C＝α)，所对的弦AB长度固定．
情形1：∠C为直角
动点轨迹：如图①，点C在以点O为圆心，AB为直径的圆上运动(不包含点A，B)；
图①
情形2：∠C为锐角
动点轨迹：如图②，点C在以点O为圆心，圆心角为2α的优弧上运动(O，C在AB同侧，不包含点A，B)；
图②　
情形3：∠C为钝角
动点轨迹：如图③，点C在以O为圆心，圆心角为(360°－2α)的劣弧上运动(O，C在AB异侧，不包含点A，B).
图③
4. 已知正方形ABCD.
(1)如图①，点P为正方形内一动点，若∠BPC＝90°，请在图中画出点P运动时圆的草图；
第4题图①
(2)如图②，点P为正方形外一动点，若∠BPC＝45°，请在图中画出点P运动时圆的草图；
第4题图②
(3)如图③，点P为正方形外一动点，若∠BPC＝135°，请在图中画出点P运动时圆的草图．
第4题图③
方法三　四点共圆
方法归纳
情形1：如图①②，在以A，B，C，D四点构成的四边形中，∠ACB＝∠ADB＝90°.
图① 图②
【结论】点A，B，C，D在以AB为直径的圆上．
【依据】直径所对的圆周角为90°.
情形2：如图③，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＜90°.
图③
【结论】点A，B，C，D在同一个圆上．
【依据】同弧所对的圆周角相等．
5. 如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接CD，∠ABC＝55°，若求∠CDB的度数．
(1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图；
第5题图
(2)∠CDB＝________°.
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内一点，且∠CDB＝∠A，若求点D所在圆的半径．
(1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图；
第6题图
(2)该辅助圆的半径为________．
二、利用辅助圆求最值
方法一　点圆最值
方法归纳
已知：点E为⊙O上一动点，D为平面内不在⊙O上的一点．
计算：DE的最大、最小值．
　
作辅助线：作直线OD交⊙O于两点E′，E″.
　
【结论】DE′即为DE的最小值，DE″即为DE的最大值．
【依据】直径是圆中最长的弦．
7. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC边上的一点，F为矩形ABCD内一点，且BE＝EF＝1.
(1)请在图中画出使得DF值最小的点F的位置；
第7题图
(2)线段DF的最小值为________．
方法二　线圆最值
方法归纳
已知：点Q为⊙O上一动点，直线l在平面内且不与⊙O相切．
计算：点Q到直线l距离的最大、最小值．
　
作辅助线：作过点O且垂直于l的直线，交⊙O于Q′，Q″两点，交直线l于点M.
　
【结论】当直线l与⊙O相交时，点Q到直线l距离的最小值为0，最大值为Q″M；当直线l与⊙O相离时，点Q到直线l距离的最小值为Q′M，最大值为Q″M.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，E是△ABC外一动点(点B，E位于AC异侧)，∠AEC＝120°.
(1)请分别在图中画出点E到AB，AC边距离最大的位置时点E1，E2的位置；
第8题图
(2)点E到AB边的距离最大值为________；点E到AC边的距离最大值为________．
9. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，BC＝4，P是平面内一点，且∠BPC＝90°.
(1)请在图中画出点P到AD距离最小时点P的位置P′；
第9题图
(2)点P到AD的最小距离为________．
基础过关
1.如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(　　)
A. B. 2 C. 4＋2 D. 4－2
第1题图　　　　　
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F分别在AB，BC上，P为对角线BD上一动点，PE⊥PF，连接EF，则tan ∠EFP的值为(　　)
A. B. C. D.
第2题图
3. 如图，等腰△ABC两腰长为5，底边长为6，以点A为圆心，2为半径作圆，则圆上动点P到BC的距离最小值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第3题图
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P为△ABC所在平面内一点，连接AP，CP，AP⊥CP，点D为AB的中点，连接DP，则DP的最大值为__________．
第4题图　　　
5. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝4，P为AC上一点，且AP＝AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点A的对应点为D，点B的对应点为E，在旋转过程中，PD的最大值为__________．
第5题图
6. 如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是__________．
第6题图
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为__________；DP的最大值为__________．
第7题图
辅助圆问题
1. 解：(1)辅助圆的草图如解图所示；
(2)44.
第1题解图
2. 解：(1)点A的运动轨迹如解图所示；
第2题解图
(2).【解法提示】∵△DEC是△ABC绕点C逆时针旋转30°所得到的，∴∠DCA＝30°，CD＝CA＝3，∴点A运动的路径长为＝＝.
3. 解：(1)点A′的运动轨迹如解图所示；
(2)如解图，连接ED，点M为点F与点D重合时，点A对应的点，由折叠的性质得AD＝MD，∠AED＝∠MED，点A′在以点E为圆心，AE为半径的圆弧上运动，在Rt△AED中，∵AE＝1，AD＝，∴tan ∠AED＝＝，∴∠AED＝60°，∴∠AEM＝120°，当点F从点A到点D的运动过程中，点A′运动的路径长＝＝.
第3题解图
4. 解：(1)点P运动时圆的草图如解图①所示(不包含点B，C)；
第4题解图①
(2)点P运动时圆的草图如解图②所示(不包含点B，C)；
　
第4题解图②
(3)点P运动时圆的草图如解图③所示(不包含点B，C).
　
第4题解图③
5. 解：(1)辅助圆的草图如解图所示；
(2)35.【解法提示】∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，D四点共圆．如解图，AB的中点为O，以点O为圆心，AB长为直径作圆，∴∠CDB＝∠CAB，∵∠ABC＝55°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝35°，∴∠CDB＝35°.
第5题解图
6. 解：(1)辅助圆的草图如解图所示；
(2).【解法提示】如解图，∵∠CDB＝∠A，∠ACB＝90°，∴A，D，B，C四点共圆，圆心为AB的中点O，且AB为⊙O的直径，∴点D在⊙O的优弧上运动．∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴该辅助圆的半径为AB＝.
第6题解图
7. 解：(1)点F的位置如解图所示；
(2)－1.【解法提示】∵四边形ABCD是矩形，AD＝2AB＝4，∴∠C＝90°，BC＝4，DC＝2，∵BE＝EF＝1，∴EC＝3，∴ED＝＝，∴DF＝DE－EF＝－1.
第7题解图
8. 解：(1)点E1的位置如解图①所示，点E2的位置如解图②所示；
(2)2，1.【解法提示】∵∠ACB＝90°，∠B＋∠AEC＝180°，∴A，E，C，B四点共圆且AB为直径，如解图①，取AB的中点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆，当OE1⊥AB时，点E1到AB的距离最大，∴OE1＝AB，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2，∴AB＝4，∴OE1＝2，∴点E到AB边的距离最大值为2；如解图②，当OE2⊥AC于点G时，点E2到AC的距离最大，∠AGO＝∠AGE2＝90°，∵∠OGA＝∠ACB＝90°，∴OG∥BC，∴∠AOG＝60°，∵O是AB的中点，∴AG＝CG，∴∠CE2G＝∠AE2G＝60°，∵AG＝AG，∴△AGE2≌△AGO，∴GE2＝OG＝OE2＝1，点E到AC边的距离最大值为1.
图① 图②
第8题解图
9. 解：(1)点P′的位置如解图所示；
第9题解图
(2)2－2.【解法提示】∵∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的圆上运动，如解图，取BC的中点O，以点O为圆心，BC长为直径作⊙O，过点O作OM⊥AD于点M，交⊙O于点P′，此时点P到AD的距离最小，∵BC＝4，∴OP′＝OC＝BC＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴△OCD是直角三角形，∴OD＝2，∴DP′＝OD－OP′＝2－2，即点P到AD的最小距离为2－2.
基础过关
1. D　【解析】 如解图，连接OA，OB，延长OB交⊙O于点E.∵四边形ABCD是正方形，点O是四边形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∴OA2＋OB2＝AB2＝16，解得OB＝2(负值已舍去).由题意得，圆上的点到正方形边上的距离最小为BE，最小值为4－2.
第1题解图
2. A　【解析】 如解图，∵四边形ABCD是矩形，BC＝8，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝8.∵PE⊥PF，∴B，F，P，E四点共圆，∴∠PFE＝∠ABD，∵AB＝6，∴tan ∠EFP＝tan ∠ABD＝＝.
第2题解图
3. B　【解析】 如解图，过点A作AH⊥BC于点H，交⊙A于点P，此时点P到BC的距离最小．∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝3，∴AH＝＝＝4.∵PA＝2，∴PH＝AH－AP＝2，∴圆上动点P到BC的距离的最小值为2.
第3题解图
4. 2　【解析】 如解图，连接CD.∵AP⊥CP，∴点P在以AC为直径的圆上．∵△ABC为等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴∠ADC＝90°，∴点D在以AC为直径的圆上，∴DP的最大值为圆的直径，∵AC＝2，∴DP最大值＝AC＝2.
第4题解图
5. 　【解析】 由题意得∠A＝30°，BC＝4，∴AC＝8.∵AP＝AC，∴AP＝，∴CP＝8－＝.∵△DEC是由△ABC旋转得到的，∴CD＝AC＝8，∴点D在以点C为圆心，CA长为半径的圆上运动，∴当P，C，D三点共线时，PD最大，如解图，点D运动到点D′时，此时PD′＝CP＋CD′＝＋8＝.
第5题解图
6. 4＋　【解析】如解图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，∴AB＝2CB＝4，CE＝AB＝2＝AE，AC＝BC＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°.如解图，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝.又∵在旋转的过程中，点F在以点A为圆心，AB的长为半径的圆上运动，AF＝AB＝4，∴G，A，F三点共线时，点F到直线CE的距离的最大，最大值为4＋，∴△CEF面积的最大值为CE×(4＋)＝×2×(4＋)＝4＋.
第6题解图
7. 10；2　【解析】由题意可得△CDP的面积等于矩形ABCD面积的一半，∴△CDP的面积为AB·AD＝×5×4＝10；在Rt△APD中，PD＝，∴当AP最大时，DP最大．由题意可得点N在以点D为圆心，4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，AP最大，此时C、N、M三点共线，如解图．由题意可得AD＝ND，∠MND＝∠BAD＝∠B＝90°，∴∠NDC＋∠DCN＝90°，∠DCN＋∠MCB＝90°，∴∠NDC＝∠MCB.∵AD＝BC，∴DN＝BC，∴△NDC≌△BCM，∴CN＝BM＝＝3，∴AP＝AB－BP＝2.在Rt△APD中，PD＝＝＝2.
第7题解图

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