资源简介

尺规作图
考点 　五种基本尺规作图
一、作一条线段等于已知线段
作图步骤
1. 作射线OP；
2. 以点O为圆心，a为半径作弧交OP于点A，则OA即为所求作的线段
原理：圆弧上的点到圆心的距离等于半径长
1. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝36°.
(1)请用尺规作图法，在边BC上找一点D，使BD＝BA；(不写作法，保留作图痕迹)
第1题图
(2)连接AD，求∠DAC的度数．
二、作一个角等于已知角
作图步骤
1. 在∠α上以点O为圆心，适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
2. 作射线O′A；
3. 以点O′为圆心，OP(或OQ)长为半径作弧，交O′A于点M；
4. 以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交步骤3中的弧于点N；
5. 过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求角
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等；两点确定一条直线
2. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝36°.
(1)请用尺规作图法，在边BC上找一点D，使∠BAD＝∠B；(不写作法，保留作图痕迹)
第2题图
(2)求∠DAC的度数．
三、作已知角的平分线
作图步骤
1. 以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
2. 分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；
3. 作射线OP，OP即为∠AOB的平分线
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线．
3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8.
(1)请用尺规作图法，作∠BAC的平分线，交BC边于点N；(不写作法，保留作图痕迹)
第3题图
(2)若AN＝3，求△ABC的周长．
四、作线段的垂直平分线
作图步骤
1. 分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点M，N；
2. 作直线MN，MN即为所求的垂直平分线
原理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
4. 如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3.
(1)请用尺规作图法，作边AB的垂直平分线，交BC于点G；(不写作法，保留作图痕迹)
第4题图
(2)连接AC，AG，求AC的长．
五、过一点作已知直线的垂线
情况1　过直线上一点作已知直线的垂线
作图步骤
1. 以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
2. 分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径向直线l的上方(或下方)作弧，交于点M；
3. 过点M，P作直线，直线MP即为所求垂线
原理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
5. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D.
(1)请用尺规作图法，在斜边BC上求作一点E，使DE⊥BD；(不写作法，保留作图痕迹)
第5题图
(2)若AB＝8，AD＝6，求点E到BD的距离．
情况2　过直线外一点作已知直线的垂线
作图步骤
1. 任意取一点M，使点M和点P在直线l的两侧；
2. 以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
3. 分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，在点M的同侧交于点N；
4. 过点P，N作直线，直线PN即为所求垂线
原理：圆弧上的点到圆心的距离等于半径长；到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
6. 如图，在 ABCD中，连接BD，已知AD＝10，sin ∠ADB＝.
(1)请用尺规作图法，过点C作BD的垂线交BD于点E；(不写作法，保留作图痕迹)
第6题图
(2)求BE的长．
真题演练
命题点1 根据尺规作图的痕迹、步骤计算
1. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE，BD.则∠EBD的度数为________．
第1题图
命题点2 尺规作图有关的证明及计算
2. 如图，在 ABCD中，∠DAB＝30°.
(1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．
　第2题图
3. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°.作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.
(1)若AE＝1，求△ABD的周长；
(2)若AD＝BD，求tan ∠ABC的值．
　第3题图
4. 如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
(1)请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若＝2，求的值．
　第4题图
基础过关
1. 如图是用直尺和圆规作∠DCG＝∠AOB的过程中，弧②是(　　)
A. 以点C为圆心，以CH长为半径画弧 B. 以点C为圆心，以EF长为半径画弧
C. 以点K为圆心，以CH长为半径画弧 D. 以点K为圆心，以EF长为半径画弧
第1题图　　　　
2.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接A D.若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为(　　)
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
第2题图
3. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求作：Rt△ABC的外接圆．作法：如图②，(1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；(2)作直线PQ，交AB于点O；(3)以点O为圆心，OA为半径作⊙O.⊙O即为所求作的圆．图①　图②第3题图
下列不属于该尺规作图依据的是(　　)
A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
4. 如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E.若AC＝5，CD＝6，则AE＝__________．　
第4题图
5. 如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB＝AC，CF∥BE.
(1)尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
第5题图
综合提升
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，点D为AC的中点，E为AB边上一点，连接DE.
(1)请用尺规作图法在BC上找一点F，使得∠B＋∠EDF＝180°；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，求证：2S四边形DEBF＝S△ABC.
第6题图
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7.学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分，她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论，请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O.(只保留作图痕迹)
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O.
求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.
第7题图
∴∠ECO＝__①__．
∵EF垂直平分AC，∴__②__．
又∵∠EOC＝__③__，
∴△COE≌△AOF(ASA).∴OE＝OF.
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线__④__．
尺规作图
1. 解：(1)如解图，点D即为所求；
第1题解图
(2)如解图，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA.
∵∠B＝40°，
∴∠BDA＝∠BAD＝70°，
∴∠ADC＝110°.
∵∠C＝36°，∴∠DAC＝34°.
2. 解：(1)如解图，点D即为所求(作法不唯一)；
第2题解图
(2)∵∠BAD＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°.
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝64°.
3. 解：(1)如解图，AN即为所求(作法不唯一)；
第3题解图
(2)∵AB＝AC，AN是∠BAC的平分线，
∴N是BC的中点，AN⊥BC.
∵BC＝8，
∴BN＝4，
∵AN＝3，
在Rt△ABN中，AB2＝AN2＋BN2，
∴AB＝＝＝5，
∴AC＝5，
∴△ABC的周长为5＋5＋8＝18.
4. 解：(1)如解图①，直线EG即为所求；
第4题解图①
(2)如解图②，
第4题解图②
∵∠ABC＝45°，EG垂直平分AB，
∴AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABC＝45°，
∴∠AGB＝∠AGC＝90°，
∴△AGB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AG＝BG＝2，
∵BC＝3，
∴CG＝，
∴在Rt△AGC中，AC＝＝＝.
5. 解：(1)如解图①，点E即为所求；
　
第5题解图①
(2)如解图②，过点D作DF⊥BC于点F，则∠DFB＝90°，
第5题解图②
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BD＝BD，
∴△BAD≌△BFD，
∴AD＝FD＝6，AB＝FB＝8，
∴BD＝10，
设ED＝x，
∵S△BDE＝BD·DE＝BE·DF，
∴BD·DE＝BE·DF，
∴10x＝6BE，
∴BE＝x，
∴EF＝x－8，
在Rt△DEF中，EF2＋DF2＝DE2，
即(x－8)2＋62＝x2，
解得x1＝x2＝，
∴点E到BD的距离为.
6. 解：(1)如解图，CE即为所求；
第6题解图
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝10，
∴AD＝BC＝10，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵sin ∠ADB＝
∴sin ∠CBD＝sin ∠ADB＝，
∴＝，
∴CE＝4，
∴在Rt△CEB中，BE＝＝＝2.
广东近6年真题
1. 45°　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠A＝30°，∴∠ABD＝(180°－∠A)＝75°.由作图痕迹可得点E在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE, ∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD－∠ABE ＝75°－30°＝45°.
2. 解：(1)如解图，DE即为所求；(3分)
第2题解图
(2)在Rt△ADE中，
∵∠DAB＝30°，AD＝4，
∴AE＝AD·cos ∠DAB＝4×＝2，
∵AB＝6，
∴BE＝AB－AE＝6－2，
∴BE的长为6－2.(9分)
3. 解：(1)如解图，依题意得AB＝CE，DF垂直平分BC，
第3题解图
∴DB＝DC，
∴C△ABD＝AB＋AD＋BD＝CE＋AD＋CD＝AE＝1；
(2)设AD＝x，则BD＝3x，
在Rt△ABD中，∠A＝90°，
∴AB＝＝2x，
由(1)得CD＝BD＝3x，
∴AC＝AD＋DC＝4x，
∴tan ∠ABC＝＝＝.
4. 解：(1)如解图，∠ADE即为所求；(3分)
第4题解图
(2)∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴＝，
∵＝2，
∴＝2.(6分)
基础过关
1. D
2. D　【解析】由作图痕迹可知，MN是AC的垂直平分线，∴点E是AC的中点，∠DEA＝90°，∴DE＝＝3.∵BD＝DC，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝6.
3. D　【解析】如解图，作直线PQ(两点确定一条直线)，连接PA，PB，QA，QB，OC，由作图步骤得，PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥AB且AO＝BO(与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).∵∠ACB＝90°，∴OC＝AB(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)，∴OA＝OB＝OC，∴A，B，C三点在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴⊙O为△ABC的外接圆．
第3题解图
4. 4　【解析】 由作图痕迹知AE⊥DC，AD＝AC.∵CD＝6，∴CE＝DE＝3.∵AC＝5，∴在Rt△AEC中，由勾股定理得AE＝4.
5. (1)解：作图如解图，射线AD即为所求；
第5题解图
(2)证明： ∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
又∵∠EAC是△ABC的一个外角，
∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B(或∠EAC＝2∠ACB).
又∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠DAE(或∠EAC＝2∠DAC)，
∴∠B＝∠DAE(或∠ACB＝∠DAC)，
∴BC∥AD，
又∵CF∥BE，即CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
6. (1)解：如解图，点F即为所求；
第6题解图
(2)证明：如解图，连接DB.
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，
∴BD＝AD，∠DBF＝∠A＝45°.
∵∠ABC＋∠EDF＝180°，
∴∠BED＋∠BFD＝180°.
∵∠BED＋∠AED＝180°，
∴∠BFD＝∠AED.
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD(AAS)，
∴S四边形DEBF＝S△BED＋S△BFD＝S△BED＋S△AED＝S△ABC，
∴2S四边形DEBF＝S△ABC.
7. 解：如解图，直线EF即为所求．
第7题解图
①∠FAO；②OC＝OA；③∠FOA；④被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．

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