资源简介

　图形的对称、平移与旋转
1. 下列图形中，是轴对称图形的是______，是中心对称图形的是___________________，
既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝ 30°，AB＝6，E，F分别为AB，AC上的点，连接EF，且EF∥BC，将△ABC沿EF折叠，点A 的对应点A′恰好落在BC边上，连接AA′.
　第2题图
(1)∠EA′F ＝________，∠A′EF ＝________，∠AFA′＝________；
【解题依据】此问应用到的折叠的性质为________________；
(2)AA′与BC之间的位置关系为________；
【解题依据】此问应用到的折叠(或轴对称)的性质为________________；
(3)A′E＝________，A′F＝________；
【解题依据】此问应用到的折叠的性质为________________；
(4)△A′EF的周长为________，四边形A′FAE的面积为________．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，DE与AC交于点G，连接AD，AD＝2，BC＝4.
　第3题图
(1)∠F＝________，∠DEF＝________；
【解题依据】此问用到的平移的性质为________________；
(2)四边形ACFD的形状为________；
【解题依据】此问用到的平移的性质为________________；
(3)AD，BC，BF的数量关系为________；
【解题依据】此问用到的平移的性质为________________；
(4)点E到AC的距离为________．
4. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，连接CE.
　第4题图
(1)∠B＝________，∠ACB＝________；
【解题依据】此问用到的旋转的性质为________________；
(2)∠BAD＝________＝________°；
【解题依据】此问用到的旋转的性质为________________；
(3)AB＝________，AC＝________；
【解题依据】此问用到的旋转的性质为________________；
(4)请写出图中的全等三角形和相似三角形：________________．
知识逐点过
考点1 　图形的对称
1. 轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
图形
判断方法 (1)有对称轴——直线；(2)图形沿某条直线折叠，折叠前后的图形能够完全重合 (1)有对称中心——点；(2)图形绕某一点旋转180°，旋转前后的图形完全重合
将下列常见图形代表的序号填在对应横线上：a.等腰三角形，b.等边三角形，c.平行四边形，d.菱形，e.矩形，f.正方形，g.正五边形，h.正六边形，i.圆．(1)轴对称的图形有：①________________________；(2)中心对称的图形有：②________________________；(3)既是轴对称又是中心对称的图形有：③________________________
2. 轴对称与中心对称
轴对称 中心对称
图形
性质 (1)成轴对称的两个图形是全等图形；(2)对称点所连线段被对称轴垂直平分 (1)成中心对称的两个图形是全等图形；(2)对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
作图方法 (1)找出原图形的关键点，作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点；(2)根据原图形依次连接各对应点即可
考点2 　图形的折叠
实质 折叠的实质是轴对称变换
性质 1. 位于折痕两侧的图形关于折痕对称；2. 折叠前后的两部分图形④________，对应边、角、周长、面积都分别⑤________；3. 折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分
考点3 　图形的平移
概念 在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移
要素 一是平移方向，二是平移距离
性质 1.平移前后，对应线段⑥________、对应角⑦________；2．各对应点所连接的线段⑧________(或在同一条直线上)且相等，对应点的距离⑨________平移的距离；3．平移前后的图形全等
考点4 　图形的旋转
概念 在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，原图形上一点A旋转后成为A′，这样的两个点叫做对应点
要素 旋转中心、旋转方向和⑩________
性质 1.对应点到旋转中心的距离 ________；2．对应点与旋转中心连线所成的夹角等于 ________；3．旋转前后的图形 ________
真题演练
命题点1 对称图形的识别
1. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为(　　)
2. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(　　)
3. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)
A. 圆 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形
命题点2 图形的折叠
拓展训练
4. 如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是CD上一点，连接AE，把正方形纸片折叠，使点A落在AE上的点G处，折痕为BF，且BF与AE交于点H.
(1)求证：AF＝DE；
(2)当E为CD的中点时，求AG的长．
　第4题图
命题点3 图形的旋转
拓展训练
5. 如图，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转得到矩形HBEF，点E在AD上，连接CE，CH.
(1)求证：CE平分∠BED；
(2)若BC＝4，∠EBC＝30°，求CH的长度．
　第5题图
教材原题到重难考法
图形的旋转
例　△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形．
例题图
变式题
1. 结合旋转性质，判断四边形形状
如图，在△ABC中，AC＝AB，P是BC上一点，且BP＝AP，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ.
(1)求证：AQ∥BC；
(2)连接PQ，判断四边形ABPQ的形状，并说明理由．
　第1题图
2. 将等腰三角形改为等腰直角三角形
如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P在BC上，将△ABP绕点A沿逆时针方向旋转90°后，得到△ACQ，连接PQ.
(1)求∠PCQ的度数；
(2)若BC＝4，CP＝3BP，求PQ的长．
　第2题图
基础过关
1. 下列图形中，能由图形a通过平移得到的是(　　)
第1题图
ABCD
2. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是(　　)
ABCD
3. “二十四节气”作为农耕社会生产生活的时间指南，是中国古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶，是中华民族悠久历史的重要组成部分．下列有关节气的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
ABCD
4. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 12
第4题图
5. 如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是(　　)
A. ∠CAE＝∠BED B. AB＝AE C. ∠ACE＝∠ADE D. CE＝BD
　　　
第5题图　　　
6. 如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为(　　)
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
第6题图
7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′(点A′与点C重合)，则点B′的坐标是(　　)
A. (3，3) B. (3，3) C. (3，6) D. (6，3)
第7题图　
8. 如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A′EBC的周长为__________．
第8题图
9. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于点F，点G，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为__________．
第9题图
10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为__________．
第10题图
11. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
第11题图
综合提升
12. 将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，点D与边AB的中点重合，将△DEF绕着点D旋转．
(1)如图①，如果∠EDF的边DE经过点C，另一边DF与边AC交于点G，求GC的长；
(2)如图②，如果∠EDF的边DF，DE分别交边BC于点M，N，设CN＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式．
图①
　　
图②
第12题图
图形的对称、平移与旋转
1. ②③④，①②④，②④.
2. (1)90°，30°，120°；
【解题依据】折叠前后两部分图形对应角相等；
(2)AA′⊥BC；
【解题依据】折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分(对称点的连线被对称轴垂直平分)；
(3)3，；
【解题依据】折叠前后两部分图形对应边相等；
(4)3＋3，3.
3. (1)30°，60°；【解析】由平移的性质得∠F＝∠ACB＝30°，∠DEF＝∠B＝90°－∠ACB＝60°.
【解题依据】平移前后，对应角相等；
(2)平行四边形；【解析】由平移的性质得AD＝CF，AD∥CF，∴四边形ACFD是平行四边形．
【解题依据】平移前后，对应点所连接的线段平行(或共线)且相等；
(3)BF＝BC＋AD；【解析】由平移的性质得AD＝CF，∴BF＝BC＋CF＝BC＋AD.
【解题依据】平移前后，对应点所连线段相等；
(4)1.【解析】∵AD＝2，∴BE＝2，又∵BC＝4，∴CE＝2，∴E为BC的中点，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴AB＝2，又∵AB∥DE，∴EG为△ABC的中位线，∴EG＝AB＝1.
4. (1)∠ADE，∠AED；
【解题依据】旋转前后对应角相等；
(2)∠CAE，90；
【解题依据】对应点与旋转中心连线所成的夹角等于旋转角；
(3)AD，AE；
【解题依据】对应点到旋转中心的距离相等；
△ABC≌△ADE，△ABD∽△ACE.
知识逐点过
①a，b，d，e，f，g，h，i　②c，d，e，f，h，i
③d，e，f，h，i　④全等　⑤相等　⑥相等　⑦相等　⑧平行　⑨等于
⑩旋转角度　 相等　 旋转角　 全等
真题演练
1. A　2. C　3. D
4. (1)证明：由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH＋∠ABH＝90°，
又∵∠FAH＋∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE(ASA)，
∴AF＝DE；
(2)解：∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝4，
∴AF＝DE＝4，
在Rt△ABF中，BF＝＝4，
由折叠可得BF垂直平分AG，
∴AH＝HG，BF⊥AG，
∵S△ABF＝AB·AF＝BF·AH，
∴AH＝＝＝，
∴AG＝2AH＝.
5. (1)证明：∵矩形ABCD绕点B旋转得到矩形HBEF，
∴BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED；
(2)解：如解图，作CG⊥BE于点G，设BE与HC交于点M，
第5题解图
∵∠EBC＝30°，BC＝4，
∴GC＝2，BG＝2，
∵CE平分∠BED，CG⊥BE，CD⊥ED，
∴CG＝CD，
又∵∠HBM＝∠CGM＝90°，∠HMB＝∠CMG，CD＝AB＝BH，
∴GC＝BH，
在△HBM与△CGM中，
，
∴△HBM≌△CGM(AAS)，
∴MG＝BM＝BG＝，CM＝HM，
∴在Rt△MGC中，MC＝＝＝，
∴CH＝2MC＝2.
教材原题到重难考法
例　解：画出旋转后的图形如解图．
例题解图
1. (1)证明：由旋转的性质得∠BAP＝∠CAQ，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AP＝BP，
∴∠B＝∠BAP，
∴∠CAQ＝∠ACB，
∴AQ∥BC；
(2)解：四边形ABPQ是平行四边形，理由如下：
由旋转的性质得AP＝AQ，
∵AP＝BP，
∴BP＝AQ，
∵AQ∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形．
2. 解：(1)∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACB＝45°，
∵将△ABP绕点A沿逆时针方向旋转90°后，得到△ACQ，
∴∠ABP＝∠ACQ＝45°，
∴∠PCQ＝∠ACB＋∠ACQ＝45°＋45°＝90°；
(2)∵BC＝4，CP＝3BP，
∴BP＝，CP＝3，
由旋转得△ABP≌△ACQ，
∴CQ＝BP＝，
在Rt△PCQ中，PQ＝＝2.
基础过关
1．B
2. C　【解析】 A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
3. B　【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 是轴对称图形，不是中心对称图形 ×
B 既是轴对称图形，又是中心对称图形 √
C 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 ×
D 是轴对称图形，不是中心对称图形 ×
4. B　【解析】用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，将△ABE平移到△DCF，故平移后点A与点D重合，则△ABE的平移距离为AD＝a＝4.
5. A　【解析】 A．由旋转可知∠ACB＝∠AED，∴∠CAE＋∠AEC＝∠AEC＋∠BED，即∠CAE＝∠BED；B.由旋转可知AB＝AD，但不一定等于AE；C.∠ACE＝∠BAC＋∠ABC＝∠BAC＋∠ADE，∴∠ACE＞∠ADE；D.CE不一定等于BD.故选A.
6. B　【解析】 如解图，设EG与FH交于点O.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，∴AD∥GE∥BC，AB∥FH∥CD，∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，∴四边形EFGH为菱形，∴S菱形EFGH＝GE·FH＝×2×4＝4.
第6题解图
7. B　【解析】如解图，延长B′C交x轴于点D.∵四边形OABC是菱形，点B在x轴的正半轴上，OB平分∠AOC，∠AOC＝60°，∴∠COB＝∠AOB＝30°，∠CBA＝60°.∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，则∠OB′C＝∠C′B′C＝30°，∠B′OD＝60°，∴∠B′DO＝90°.在Rt△CDO中，OC＝B′C＝2，∴CD＝OC＝，OD＝CD＝×＝3，∴DB′＝3，∴B′(3，3).
第7题解图
8. 16　【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠AED＝∠A′ED.由折叠得∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，AE＝A′E，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′D＝A′E，∴AB－AE＝CD－A′D，∴A′C＝BE，∴四边形A′EBC是平行四边形，∴四边形A′EBC的周长＝2(A′C＋A′E)＝2(A′C＋A′D)＝2CD＝16.
9. 　【解析】 ∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵△BDE与△B′DE关于DE对称，∴∠B＝∠B′.∴∠A＝∠B′.又∵∠AFD＝∠B′FG，∴△ADF∽△B′GF，∴＝，即＝，∴GF＝，∴CG＝AC－AF－GF＝16－8－＝.
10. 2　【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，点E为AB的中点，∴AE＝2，DE＝2.∵△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF＝DE＝2.
11. 解：(1)如解图①，△A1B1C1即为所作；
第11题解图①
(2)如解图②，△A2B2C2即为所作；
第11题解图②
(3)∵AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，∴AB＝BC.
∵()2＋()2＝10＝()2，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB·BC＝.
根据旋转可知，∠ACA2＝90°，
∴S扇形ACA2＝2＝，
∴△ABC在旋转过程中扫过的面积为S＝S△ABC＋S扇形ACA2＝.
12. 解：(1)∵△ABC≌△FDE，
∴∠GDC＝∠B.
∵点D是边AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴∠DCB＝∠B，
∴∠GDC＝∠DCB，∴BC∥DG，
∴∠AGD＝∠ACB＝90°.
∵AD＝CD，∴GC＝AC＝4.
(2)如解图，连接CD.
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝10，
∵点D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴BD＝CD＝AB＝5，
∴∠B＝∠DCN.①
∵∠CND＝∠B＋∠BDN，∠BDM＝∠MDN＋∠BDN，且∠B＝∠MDN，
∴∠CND＝∠BDM.②
由①②可得△DNC∽△MDB，
∴＝，即＝，
∴y＝.
第12题解图

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