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与特殊四边形有关的折叠问题
教材原题到重难考法
方法归纳
1. 折痕过对角线
基本折法：如图，P是矩形ABCD边AD上一点，当点P与点D重合时，将△ABP沿BP折叠得到△EBP，BE交CD于点H.
特殊结论：△BCH≌△PEH，PH＝BH，PE2＋EH2＝PH2.
2. 折痕过一顶点
基本折法：如图，点P是矩形ABCD的边AD上一点，将△ABP沿BP折叠得到△EBP，点E恰好落在CD边上．
特殊结论：一线三垂直，△PDE∽△ECB，(AD－PE)2＋DE2＝PE2.
拓展折法：
特殊结论：△PDE∽△DBC∽△BDA，DE2＋(AD－PD)2＝PD2.
例　
如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
　例题图
3. 折痕过两边
基本折法：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，沿EF将四边形ABFE折叠得到四边形A′B′FE，点B′恰好落在AD边上．
特殊结论：连接BE，△ABE≌△A′B′E.
当点B′与点D重合时，过点E作EG⊥BC于点G，连接BB′，则△EFG∽△BB′C；四边形BEB′F为菱形．
变式题
1. 折痕过一顶点，且折叠后一对应点落在对角线上
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是CD边上的一点，连接BP，将△PBC沿BP折叠得到△PBC′，若点C′恰好落在对角线BD上，则CP的长为________．
第1题图
2. 折痕过一顶点，且折叠后对应点落在边上
(一题多解法)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是CD边上的一点，连接BP，将△PBC沿BP折叠得到△PBC′，若点C′恰好落在边AD上，则CP的长为________．
第2题图
3. 折痕过一顶点，且折叠后对应点落在外部
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是CD上一点，连接BP，将△PBC沿BP折叠得到△PBC′，BC′交AD于点M，PC′交AD于点N，若NC′＝ND，则BP的长为__________．
第3题图
4. 折痕过邻边，且折叠后对应点落在矩形对角线上
如图，一张矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，P是CD边的中点，E是BC边上的一点，连接EP，将△PEC沿EP折叠得到△PEC′，若点C′恰好落在对角线AC上，则CE的长为________．
第4题图
5. 折痕过两边，且折叠后对应点落在顶点上
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，P分别在边BC，AD上，将矩形ABCD沿直线PE折叠．若顶点C恰好落在顶点A处，求折痕PE的长．
　第5题图
6. 折痕过两边，且折叠后对应点落在边上
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，P分别在边BC，AD上，将矩形ABCD沿直线PE折叠．若点C恰好落在AD边上的点C′处，且AP＝3PD，求cos ∠PC′E的值．
　第6题图
对接中考
1. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为(　　)
第1题图
A. 1 B. C. D. 2
2. 如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．
　第2题图
3. 如图，在矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
(1)求证：△ADE≌△CED；
(2)求证：△DEF是等腰三角形．
　第3题图
基础过关
1. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6.点P是边AD上一点，点Q是边BC上一点，连接PQ，将矩形纸片沿直线PQ折叠，使CQ落在直线AQ上，点C，D分别落在点C′，D′处，若DP＝1，则AC′的长为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第1题图　
2. 在矩形纸片ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF.若AB＝4，BC＝6，则CF的长是(　　)
A. 3 B. C. D.
第2题图
3. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE翻折，点B落在点F处，延长EF交CD于点P，若AB＝6，则DP的长为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第3题图
4. 如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为__________．
第4题图
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得点C落到矩形内点F的位置，连接AF，tan ∠BAF＝.
(1)求点F到AB的距离；
(2)求CE的长．
第5题图
6. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E在BC边上，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，延长AF交CD边于点G，延长AE，DC相交于点M，已知BE＝2CE.
(1)求证：△GAM是等腰三角形；
(2)求线段CG的长．
第6题图
7. 在 ABCD中，点F为BC边的中点，连接DF，将△CDF沿着DF翻折，点C落在点G处，连接BG并延长，交AD于点E.
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若DE＝5，△GDF的周长为20，求四边形BCDE的周长．
第7题图
与特殊四边形有关的折叠问题
例　解：是等腰三角形，理由如下：
如解图，由翻折的性质，得∠FBD＝∠DBC，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB＝∠CBD，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴FB＝FD，
∴△BFD是等腰三角形，即重合部分是一个等腰三角形．
例题解图
1. 　【解析】由折叠的性质得，PC′＝PC，∠PC′B＝∠C＝90°，∴∠PC′D＝90°，∵∠PDC′＝∠BDC，∴△PDC′∽△BDC，∴＝，∵在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，设DP＝x，则PC′＝PC＝6－x，∴＝，解得x＝，∴PC＝6－＝.
2. －　【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠A＝∠D＝90°，由折叠的性质可得BC′＝BC＝8，C′P＝CP，∠BC′P＝∠C＝90°，在Rt△ABC′中，AC′＝＝2，∴C′D＝AD－AC′＝8－2，∵∠ABC′＋∠AC′B＝90°，∠AC′B＋∠PC′D＝90°，∴∠ABC′＝∠PC′D，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABC′∽△DC′P，∴＝，即＝，解得C′P＝，则CP的长为－.
【一题多解】∵四边形ABCD为矩形，∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠A＝∠D＝90°，由折叠的性质可得BC′＝BC＝8，C′P＝CP，在Rt△ABC′中，AC′＝＝2，∴C′D＝AD－AC′＝8－2，在Rt△C′PD中，C′D2＋DP2＝C′P2，(8－2)2＋(6－C′P)2＝C′P2，解得C′P＝，即CP的长为－.
3. 　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝∠A ＝ 90°， CD＝BA＝6，BC＝AD＝8，由折叠的性质可知C′P＝ CP，∠C′＝∠C＝90°， BC′＝CB＝8，在△NDP和△NC′M中，，∴△NDP≌△NC′M(ASA) ，∴ NP＝NM , PD＝MC′ ，∴ DM ＝ C′P，设CP＝C′P＝x ，则PD＝MC′＝6－x，DM ＝x，∴AM＝8－x，BM＝8－(6－x)＝2＋x，在Rt△BAM中， BA2＋AM2＝ BM2，即62＋( 8－x )2＝( x＋2)2，解得x＝，∴ CP＝.∴在Rt△BCP中，BP＝＝＝.
4. 　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ECP＝∠B＝90°，根据折叠的性质得AC⊥EP，∴∠CEP＋∠ACB＝90°，∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠CEP＝∠BAC，∵∠ECP＝∠B＝90°，∴△CEP∽△BAC，∴＝，∵点P是CD的中点，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴＝，解得CE＝.
5. 解：如解图，过点P作PH⊥BC交BC于点H，
根据折叠得，∠AEP＝∠CEP，PD＝PD′，EC＝EA，CD＝AD′，
设PD＝PD′＝x，则AP＝8－x，
在Rt△AD′P中，由勾股定理得，AP2＝D′A2＋D′P2，
即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，
∴AP＝5，
∵∠APE＝∠PEC，
∴∠APE＝∠AEP，
∴AP＝AE＝EC＝5，
∴EH＝EC－HC＝2，
∴在Rt△EPH中，由勾股定理得，PE＝＝＝2.
第5题解图
6. 解：如解图，连接CP，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠C′PE＝∠CEP，
由折叠的性质可知∠C′EP＝∠CEP，
∴C′E＝CE，C′P＝CP，
∴∠C′PE＝∠C′EP，
∴C′E＝C′P，
∴C′P＝CE，
∴四边形CEC′P为菱形，
∴CP∥C′E，
∴∠PC′E＝∠DPC，
∵AP＝3PD，AD＝AP＋PD＝8，
∴PD＝2，
在Rt△PDC中，由勾股定理，得PC＝＝2，
∴cos ∠PC′E＝cos ∠DPC＝＝.
第6题解图
对接中考
1. D　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠EFD＝∠BEF＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B′处，∴∠BEF＝∠FEB′＝60°，BE＝B′E，∴∠AEB′＝180°－∠BEF－∠FEB′＝60°，∴B′E＝2AE，设BE＝x，则B′E＝x，AE＝3－x，∴2(3－x)＝x，解得x＝2，∴BE＝2.
2. 解：如解图，延长BF交CD于点H，连接EH.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠EAB＝90°，
∵△FBE由△ABE沿BE折叠得到，
∴EA＝EF，∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴∠D＝∠EFB＝∠EFH＝90°，
∵E为AD的中点，
∴EA＝ED，
∴ED＝EF，
在Rt△EDH和Rt△EFH中，
，
∴Rt△EDH≌Rt△EFH(HL)，
∴∠DEH＝∠FEH，
又∵∠AEB＝∠FEB，
∴∠DEH＋∠AEB＝∠FEH＋∠FEB＝×180°＝90°，
∴∠ABE＝∠DEH，
∵∠D＝∠BAE＝90°，
∴△DHE∽△AEB，
∴＝＝，
∴DH＝，
∵CH∥AB，
∴△HGC∽△BGA，
∴＝＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，
∴CG＝AC＝.
第2题解图
3. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
由折叠的性质可得BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD，
在△ADE和△CED中，
，
∴△ADE≌△CED(SSS)；
(2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
基础过关
1. A　【解析】∵PD＝1，AD＝6，∴PA＝6－1＝5.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC＝AD＝6，∴∠APQ＝∠CQP.由折叠的性质可知，∠CQP＝∠AQP，∴∠AQP＝∠APQ，∴AQ＝AP＝5.∵AB＝CD＝4，∠B＝90°，∴在Rt△ABQ中，由勾股定理得BQ＝＝＝3，∴CQ＝CB－BQ＝6－3＝3，由折叠的性质可知，QC＝QC′＝3，∴AC′＝AQ－QC′＝5－3＝2.
2. D　【解析】 如解图，连接BF，交AE于点O.∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，∴BE＝ EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF.∵点E为BC的中点，∴BE＝CE＝EF＝3，∴∠EFC＝∠ECF.∵∠BEF＝∠ECF＋∠EFC.∴∠AEB＝∠ECF，∴AE∥CF.∴∠BFC＝∠BOE＝90°.在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝＝5，∴BO＝＝＝，∴BF＝2BO＝.在Rt△BCF中，由勾股定理得CF＝＝＝.
第2题解图
3. B　【解析】 如解图，连接AP.∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质可知AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE，∴AF＝AD，∠AFP＝∠D＝90°.又∵AP＝AP，∴Rt△ADP≌Rt△AFP(HL)，∴DP＝FP.∵点E是BC的中点，∴EF＝BE＝CE＝BC＝3.设DP＝FP＝x，则EP＝x＋3，CP＝6－x.在Rt△PCE中，由勾股定理得PE2＝CE2＋CP2，∴(x＋3)2＝32＋(6－x)2，解得x＝2，∴DP＝2.
第3题解图
4. －3　【解析】如解图，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接CE.∵在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝∠ABC＝120°，∠HDC＝60°，CD＝AB＝6，AD＝CB＝8，∴DH＝DC·cos ∠HDC＝3.在Rt△DCH中，HC＝＝＝3.∵将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，且点A′恰好落在EC上，∴∠AEB＝∠CEB.又∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB，∴∠EBC＝∠CEB，∴CE＝BC＝8.设DE＝x，∴EH＝x＋3.在Rt△ECH中，EC2＝EH2＋HC2，即82＝(x＋3)2＋(3)2，解得x＝－3(负值已舍去)，∴DE的长为－3.
第4题解图
5. 解：(1)如解图，过点F作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N，则MN⊥AB，MN⊥CD.
由折叠的性质，得EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°.
∵tan ∠BAF＝，∴＝，设FM＝x，AM＝2x，则BM＝4－2x(其中0在Rt△BFM中，由勾股定理得x2＋(4－2x)2＝()2，
解得x1＝1，x2＝(舍去)，
∴FM＝1，
∴点F到AB的距离为1；
第5题解图
(2)由(1)知FM＝1，
∴AM＝BM＝2，FN＝－1.
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFM＋∠EFN＝90°.
∵MN⊥CD，
∴∠FNE＝90°，
∴∠EFN＋∠FEN＝90°，
∴∠BFM＝∠FEN.
∵∠BMF＝∠FNE＝90°，
∴△BMF∽△FNE，
∴＝，
即＝，解得EF＝，
∴CE＝.
6. (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，∴∠M＝∠BAE.
由折叠性质知∠BAE＝∠EAF，
∴∠M＝∠EAF，∴GA＝GM，
∴△GAM是等腰三角形；
(2)解：∵AB∥CD，
∴△CEM∽△BEA，
∴＝.
∵BE＝2CE，BC＝AB＝6，
∴CE＝2，BE＝4，
∴＝，∴CM＝3.
设CG＝x，则AG＝GM＝3＋x，DG＝6－x.
∵在Rt△ADG中，由勾股定理得AD2＋DG2＝AG2，
即62＋(6－x)2＝(3＋x)2，
解得x＝，∴CG＝.
7. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BF∥DE.
∵将△CDF沿着DF翻折，点C落在点G处，
∴CF＝GF，∠DFC＝∠DFG，
∵点F是BC边的中点，
∴BF＝CF.
∴BF＝GF，
∴∠EBF＝∠BGF.
∵∠DFC＝∠DFG＝∠GFC，
∠GFC＝∠EBF＋∠BGF，
∴∠EBF＝∠GFC，
∴∠EBF＝∠DFC，
∴BE∥DF.
∵BF∥DE，
∴四边形BFDE是平行四边形；
(2)解：由折叠的性质得GF＝CF，DG＝DC，
∵△GDF的周长为20，
∴GF＋FD＋GD＝20，
∴CF＋DF＋DC＝20.
∵四边形BFDE是平行四边形，DE＝5，
∴BE＝DF，BF＝DE＝5，
∴四边形BCDE的周长为BC＋CD＋DE＋BE＝BF＋CF＋CD＋DE＋DF＝5＋20＋5＝30.

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