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2023-2024学年山东省青岛市城阳区九年级（上）期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程x2＝x的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝﹣1，x2＝0
2．三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为（ ）
A． B． C．（﹣6，0） D．（6，0）
4．如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（ ）
A．小鱼与大鱼的周长之比是1：2
B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2
C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍
D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b）
5．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x+2）2+2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+2
7．神奇的自然界处处蕴含着数学知识，如图，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
8．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2023年底某市汽车拥有量为25.6万辆．已知2021年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2021年底至2023年底该市汽车拥有量的年均增长率为x，那么根据题意列出的方程为（ ）
A．10（1+x）2＝25.6 B．10（1+2x）＝25.6 C．10（1﹣x）2＝25.6 D．10（1﹣2x）＝25.6
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O，E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．下列结论：①bc＜0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是﹣3≤x≤0；④a2﹣ab+ac＜0；⑤关于x的方程ax2+bx+c+4＝0无解；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．4cos30°﹣2tan45°＝ ．
12．如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为7m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是 m2．
13．已知正方形ABCD，分别以BC，DC为边长作等边△BEC和等边△DCF，连接EF，则∠CEF＝ °．
14．考察函数的图象，当y≥﹣1时，x的取值范围是 ．
15．直线y＝ax﹣6与抛物线y＝x2﹣4x+3只有一个交点，则a的值为 ．
16．△ABC中，，AB＝4，分别过点A，C作AB，BC边的垂线相交于点D，连接DB，则AD＝ ．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
17．如图，已知：△ABC．
求作：点N,使CN∥AB，且BN距离最短．
四、解答题（本大题共8小题，满分68分）
18．（1）解方程：x2+6x﹣3＝0；
（2）用配方法求二次函数y＝2x2+4x+5图象的对称轴和顶点坐标．
19．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这是大家耳熟能详的二十四节气歌，“二十四节气”是中华上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史沉淀．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大寒”的概率．（立春、立夏、秋分、大寒可以分别用A，B，C，D表示）
A B C D
20．大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离为4cm，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过3cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
21．如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度i＝0.75的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮AB的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
22．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个点，AE＝FC．
（1）判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）若四边形EGFH为矩形，求AE的长度．
23．【初建模型】如图①，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE．求证：BD＝CE．分析：要证明BD＝CE，我们可以通过 （只填序号）的方法证明
△ADB和△AEC全等即可．
①SSS ②ASA ③AAS ④SAS
【类比探究】如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE．请你写出BD与CE的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】如图③，在图②的基础上，延长BD，交AC于点F，交CE的延长线于点G，求sinG的值。
24．高台跃下，凌空旋转，天际中滑翔出优美曲线；跳台滑雪简称“跳雪”，运动员沿着助滑道飞速下滑，在起跳点腾空，身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡，主要考核运动员的飞行距离和动作姿势．在这项运动里，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过起跳点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．飞行中某一时刻当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，高出水平线的高度为60米．
（1）求抛物线l2所对应的函数表达式．
（2）若运动员在高出水平线10米的小山坡上着地，求此时运动员降落点到A点的水平距离．
（3）在（2）的条件下，当运动员滑行中与小山坡l1的竖直距离最大时，求运动员运动的水平距离．
25．如图①，已知在Rt△ABC中，BC＝5cm，AC＝12cm，以AC为边作正方形ACDE，点P从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s，点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另外两个点也停止运动．分别连接PQ，MD．设运动时间为t（s）（0＜t＜6.5），解答下列问题：
（1）是否存在某一时刻t，使点P在MD的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（2）当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？
（3）如图②，连接MQ，设四边形MQPD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
（4）当∠BQP＝45°时，求t的值．
2023-2024学年度第一学期期末质量监测
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D B D A D C
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
题号 11 12 13 14 15 16
答案 42 15 或 2或 3
三、作图题（本题满分4分）
17．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
正确作出平行线得2分，正确作出点N得3分，正确写出结论得4分．
四、解答题（本大题共6小题，满分68分）
18．（本小题满分8分）
解：（1）,
,
，
或，
； 4分
解：（2）
,
∴抛物线的对称轴为直线,顶点坐标为． 8分
19．（本小题满分6分）
2 1 A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中选择A和D的有2种，
（立春和大寒） 6分
20．（本小题满分6分）
解：（1）由题意设：,
把代入，得,
关于x的函数解析式为：； 2分
（2）把代入，得，
∴火焰的像高为． 4分
（3）时，
答：小孔到蜡烛的距离至少是 6分
21．（本小题满分8分）
解：延长交的延长线于点M,过点C作于点N, 1分
由题意得，
∴四边形是矩形
在中，设,由勾股定理得,
,
,
,
在中，，
答：摩天轮的高度约68米． 8分
22．（本小题满分8分）
解：（1）四边形是平行四边形
∵四边形是矩形，
,
分别是的中点，
,
,
,
,
,
即
又,
∴四边形是平行四边形 4分
（2）连接,在矩形中，，
,
,
又
∴四边形是平行四边形
当四边形为矩形时，
,
8分
23．（本小题满分10分）
【初建模型】④ 2分
【类比探究】
和都是等腰直角三角形，
，
，
,
，
；
即 6分
【拓展提升】
由（1）得：,
,
，
，
，
．
（方法不唯一，合理即可） 10分
24．（本小题满分10分）
解：（1）把代入,
；
解得
∴抛物线所对应的函数表达式； 3分
（2）,解得（舍去），
答：到A点的水平距离120米时，运动员在距地10米的小山坡上着地． 6分
（3）把代入
解得
答：当运动员与小山坡的竖直距离最大时，运动员运动的水平距离50米． 10分
25．（本小题满分12分）
解：（1）连接,
∵点P在的垂直平分线上，
1分
2分
解得（舍去）
答：不存在． 3分
（2）当时，
4分
当时，
过点Q作于点F
5分
当时，过点P作于点H
答：t的值为或时，为等腰三角形． 6分
（3）过点Q作于点G,
7分
8分
9分
（4）过点P作于点H,
, 10分
11分
12分

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