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龙岩市2023~2024学年第一学期期末高一教学质量检查
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
3.已知a，b，，则下列结论正确的是（ ）
A.若且，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
4.若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A. B. C. D.
5.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德 皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年.
A.3 B.4 C.5 D.6
6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B.是奇函数
C.在上单调递增 D.
7.已知，，且，则的最小值是（ ）
A. B.4 C. D.5
8.已知函数若的值域为，则实数c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡上.
9.已知函数的图像由如图所示的两段线段组成，则（ ）
（第9题图）
A.
B.不等式的解集为
C.函数在区间上的最大值为2
D.的解析式可表示为：
10.下列命题正确的是（ ）
A.命题“，使得”的否定是“，都有”
B.若，则
C.在中，“”是“”的充要条件
D.若，则
11.已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知在上是单调函数，对任意满足，且.设函数，，则（ ）
A.函数是偶函数
B.若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为
C.函数的最大值为1
D.函数的图象关于直线对称
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数且，写出满足条件的的一个值______.
14.已知，则______.
15.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，其中，若，则______.
16.已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数a，b满足，若，则______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
在①角的终边与单位圆的交点为；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
已知，且，______.
（1）求的值；
（2）求的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18.（本题满分12分）
已知二次函数，对任意都有，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若对于，不等式恒成立，求x的取值范围.
19.（本题满分12分）
某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么
（1）10h后还剩百分之几的污染物；
（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）.
参考数据：，.
20.（本题满分12分）
已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）设函数，，若对任意，总存在使得，求实数b的取值范围.
21.（本题满分12分）
已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期与函数相同.
（1）求的单调递减区间；
（2）设函数，，证明：有且只有一个零点，且.
22.（本题满分12分）
已知函数，.
（1）若函数在为增函数，求实数k的取值范围；
（2）当时，，，函数在区间上的值域为，求实数a的取值范围.
龙岩市2023～2024学年第一学期期末高一教学质量检查
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B C C D A
8．解：函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意 ，又，则有，
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
于是，函数在上单调递增，
则，有，因此，
所以实数的取值范围是.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 BD ABD ACD BC
12．解：因为，所以的图象关于点对称，
又对任意，都有，所以当时，取得最大值.
因为在是单调函数，所以得，
所以，又因为函数在时取得最大值，
所以．
因为，所以，则.
因为函数，所以，
A．为奇函数，故A错误.
B. 函数在时取得最大值，又因为，周期，
所以时，函数在取得最大值，
则实数的取值范围为，故B正确．
C．，且，故C正确.
D．若的图象关于直线对称，
只要证对定义域内的都成立，取，，
但 所以，矛盾，
所以的图象不关于直线对称. 故D错误．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（写出或的其中一个值即可）
14．5
15． 或
16．
解：当时，，
当时，，可得，则；
当时，，则.
函数的定义域为，令时，，
得，所以函数是奇函数.
令得，，
又函数是奇函数，所以，所以.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）
解：选条件①：因为的终边与单位圆的交点为，
可得为锐角，所以， 1分
所以由三角函数的定义可得. 2分
选条件②：
因为为锐角，所以；1分
又因为，得. 2分
选条件③：因为，，
所以得
又因为锐角，所以， 1分
2分
（1） 4分
. 5分
（2），
. 7分
，. 10分
18．（本题满分12分）
解：（1）在中，，所以. 2分
又因为，所以函数的对称轴，
解得：， 4分
所以. 6分
（2）由（1）得，
若对于，不等式恒成立，
即对恒成立.
又因为，
令，
则在单调递增， 8分
只需，
所以， 10分
所以的取值范围是. 12分
19．（本题满分12分）
解：（1）∵，依题意得：当时，；当时，，
∴， 2分
即，所以， 4分
那么10小时后的污染物含量为，
故10小时后还剩81％的污染物. 6分
（2）令，得. ① 8分
又，得. ② 10分
由①②得.
故污染物减少50%需要花33小时. 12分
20．（本题满分12分）
解：（1）因为是偶函数，所以对于任意的实数，有，
所以对任意的实数恒成立， 2分
即恒成立， 5分
所以，即. 6分
（2）因为在上单调递增，
所以时，， 7分
时，. 8分
又因为对任意，总存在使得，
所以的值域是值域的子集，
即， 9分
解得：， 11分
所以实数的取值范围为. 12分
21.（本题满分12分）
解:（1）…1分
3分
因为函数最小正周期与函数相同,且函数的周期为,所以.又因为函数的图象关于直线对称,所以,
因为,所以,
所以. 4分
由,
所以函数的单调递减区间是 6分
（2）证明:①当时，函数
在(0,2]上单调递增，因为 7分
所以根据零点存在定理，使得
故在上有且只有一个零点. 8分
②当时,因为单调递增，单调递减，
9分
③当时, 因为单调递增，
所以，
综上：有且只有一个零点，且. 10分
因为，
所以，
在上单调递减， 11分
，. 12分
22. （本题满分12分）
解：（1）任取，则， 1分
， 3分
因为函数在上为增函数，且时，，
所以由可得,即， 4分
，，则，，
因此，实数的取值范围是. 5分
（2）当时，.
令，
因为在上单调递减，又在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 6分
因为在区间上的值域为
，
所以
即. 8分
令（因为，所以），
易知，关于的方程在上有两个不等实数根，
等价于关于的方程在有两个不等实数根，
（时，，） 10分
令，
则，解得，
所以的取值范围是. 12分

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