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2024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第一章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019·大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．（2016·安顺）已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
3．（2023·本溪）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·台州）如图，点 D在 △ABC的边BC上，点 P在射线 AD上（不与点 A，D重合），连接PB， PC．下列命题中，假命题是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
6．（2024八上·毕节期末）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、若，，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八上·长沙月考）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，.给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2023八上·泊头月考）如图，点P是内部的一点，点P到三边AB、AC、BC的距离．若，则 （　　）
A． B． C． D．
9．（2023八上·丰南期中）如图，“三等分角器”是由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连，并可绕点转动，点固定，，可在槽内滑动，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023八上·章贡期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，连接AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·江西）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为　 　cm．
12．（2023八上·杭州月考）如图，AE=AB，∠E=∠B，EF=BC，若∠EAB=52°，则∠EFA=　 　．
13．（2024八上·毕节期末）已知一张三角形纸片如图甲，其中，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为如图乙，再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为如图丙原三角形纸片中，的大小为　 　 ．
14．（2021八上·德州期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　 　°．
15．（2023八上·李沧期中）如图，在直角坐标系中，长方形的顶点分别在轴，轴上，点的坐标分别为为边上一点，点的坐标为，若是腰长为5的等腰三角形，则点的坐标是　 　．
16．（2023·泰安）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·长春期末）如图，，为上一点，，并且
（1）求证：；
（2）若，则＝　 　．
18．（2024八上·临江期末）如图，中，，点分别在边上，，．
（1）求证：平分；
（2）写出与的数量关系，并说明理由．
19．（2023八上·长沙月考）如图，的延长线于，于，若，.
（1）求证：；
（2）求证：平分.
20．（2016八上·萧山期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
21．（2023八下·九江期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转至处，分别延长与交于点，连接、．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
22．（2022八上·吉安开学考）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作EFBC交、于、．
（1）图①中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系．
（2）如图②，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？
（3）如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作OEBC，交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由．
23．（2023八上·长春汽车经济技术开发期中）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB，将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等。 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线MN的任意一点。 求证：。 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明。 请写出完整的证明过程
（1）定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
（2）定理应用：
如图②，在中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：．
（3）如图③，在中，，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E．若，，则DE的长为　 　．
24．（2024八上·伊通期末）在中，．
（1）如图①，如果，是中边上的高，并且，则　 　°；
（2）如图②，如果，是中边上的高，并且，则　 　°；
（3）由（1），（2）猜想：与之间有什么数量关系？请用式子表示：　 　；
（4）如图③，如果不是中BC边上的高，但仍有，请判断与之间是否仍然存在（3）中的数量关系 请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
∵BE是∠ABC的平分线
CE是外角∠ACM的平分线
∠EBM=∠ABC
∠ECM=∠ACM
则∠BEC=∠ECM-∠EBM=（∠ACM-∠ABC）=30°
故答案为：B.
【分析】根据角平分线与外角的性质，进行角度计算。
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得
，
解得 ，
①若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
②若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于点H，由作图轨迹可知，AD为∠BAC的角平分线，则HD=CD.
设BD=x，则HD=CD=3-x.
在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，∴AC=4，
∵Rt△ACD和Rt△AHD中，AD=AD，CD=HD，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH=AC=4
∴BH=AB-AH=1
在Rt△BHD中，∵BD2=BH2+DH2，即x2=12+（3-x）2，
化简得 x2=12+9-6x+x2
得6x=10，x=.
故本题选D.
【分析】根据轨迹能分析出这是角平分线的尺规作图轨迹，从而联系到角平分线的性质定理“角平分线上的点，到角两边的距离相等”，从而联想到作辅助线DH⊥AB，从而得到HD=CD的等量关系.设BD为x，利用的是Rt△BHD的三边勾股定理关系，建立方程求解，这也是直角三角形建方程的常规方法.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得GD平分∠CDA，
∴∠GDC=∠GDA，
∵，
∴∠DGC=∠GDA，
∴∠DGC=∠GDC，
∴DC=GC=3，
∴BG=5-3=2，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠GDC=∠GDA，进而根据平行线的性质得到∠DGC=∠GDA，从而得到∠DGC=∠GDC，再根据等腰三角形的性质即可得到DC=GC=3，进而即可求解。
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AP垂直平分BC，
∴PB=PC，此命题是真命题，故A不符合题意；
B、∵PB=PC，AD⊥BC，
∴AP垂直平分BC，
∴AB=AC，此命题是真命题，故B-不符合题意；
C、∵AB=AC，∠1=∠2
∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，
∴AP垂直平分BC，
∴PB=PC，此命题是真命题，故C不符合题意；
由PB=PC，∠1=∠2，不能证明AB=AC，此命题是假命题，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可对A，B，C作出判断；据此可得到是假命题的选项.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵，
∴∠DOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠DOB，
∴OD=BD，
∴AD+OD=AD+BD=AB=5；
同理可得：AE+OE=AE+EC=AC=4，
∴AD+DE+AE=AB+AC=5+4=9.
故答案为：A。
【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定证明OD=BD，OE=EC，再求三角形的周长即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为BF∥AC ，
所以∠C=∠FBD，
因为BC平分∠ABF，
所以∠FBD=∠ABD，
所以AC=AB，
所以△ABC是等腰三角形，
又因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD，
所以BD=CD，AD⊥BC，所以②③正确；
在△DCE和△DBF中
所以△DCE≌△DBF（ASA）
所以DE=DF，所以①正确；
因为△DCE≌△DBF，
所以CE=BF，
又因为AE=2BF，
所以AC=AE+CE=3BF，所以④正确；
所以正确结论为①②③④，共4个。
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的三线合一，可以得出BD=CD，AD⊥BC，然后根据ASA可以证明△DCE≌△DBF，即可得出DE=DF，AC=3BF，将结论进行对照即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解： ∵点P到三边AB、AC、BC的距离，
∴点P为△ABC内角平分线的交点，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCF=∠ACB，
∵∠BPC=130°，
∴∠PBC+∠PCF=180°-∠BPC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCF=2（∠PBC+∠PCF）=100°，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=80°.
故答案为：B.
【分析】易判断点P为△ABC内角平分线的交点，可得∠PBC=∠ABC，∠PCF=∠ACB，由三角形内角和定理可得∠PBC+∠PCF=180°-∠BPC=50°，从而得出∠ABC+∠ACB=100°，再利用三角形内角和定理即可求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据等腰三角形的性质得到，，进而结合题意得到，再结合三角形外角的性质进行角的运算即可求解。
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①△ABC和△DCE为等边三角形，A，C，E在同一直线上
∴AC=BC，EC=DC，
∴
∴AD=BE，①正确
②∵
∴
∵
∴
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°
∴△PCQ为等边三角形
∴PQ∥AE，②正确
③∵
∴
∴
∴
∴
∴CP=CQ，AP=BQ，③正确
④∵△ABC和△DCE为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴，④正确
故答案为：D
【分析】根据等边三角形性质，全等三角形的判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】2
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：很具平行线的性质知：∠ACB=∠α=60°，又因为∠A=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=BC，又BC=3-1=2，∴AB=2。
故第1空答案为：2.
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠α=60°，结合∠A=60°，可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AB=BC=2即可。
12．【答案】64°
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△AEF与△ABC中，
∵AE=AB，∠E=∠B，EF=BC，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF=∠BAC，AF=AC，∠C=∠EFA，
∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠FAC=∠EAB=52°，
∴∠C=∠EFA=（180°-∠FAC）=64°.
故答案为：64°.
【分析】首先由SAS判断出△AEF≌△ABC，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得∠EAF=∠BAC，AF=AC，∠C=∠EFA，进而根据角的和差推出∠FAC=∠EAB=52°，最后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求出∠C=∠EFA=（180°-∠FAC）=64°.
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：∠A=∠ADE，∠C=∠BED，
∵∠BED=∠A+∠ADE=2∠A，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°。
故答案为：36°。
【分析】根据轴对称的性质可得∠A=∠ADE，∠C=∠BED，根据三角形的外角性质可得∠BED=2∠A，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，根据三角形内角和定理建立方程求解。
14．【答案】60
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，E是的中点，
，，
，
是等边的边上的高，
垂直平分，
，
，
由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为，
此时有，
则，
故答案为：60．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
15．【答案】（－3，4）或（－2，4）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为（-7，0），点C的坐标为（0，4），
∴OC=4，BC=OA=7，BC∥x，∠OCB=90°，
∵点E为BC上的一点，
∴点E的纵坐标为4，
∵点D（-5，0），△ODE为腰长为5的等腰三角形，
∴DE=OD=5或OE=OD=5，如图，DE=OD=5，
作DF⊥x轴交BC于点F，则点F为（-5，4），DFE=90°，
∴CF=5，DF=4，
∴EF=3，
∴CE=CF-EF=5-3=2，
∴点E为（-2.4），
如图，OE=OD=5，∴CE=3，
∴点E（-3，4）
∴点E的坐标为（-2，4）或（-3，4）
故答案为：（-2，4）或（-3，4）.
【分析】根据题意分情况进行讨论，根据勾股定理求出答案即可。
16．【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：因为△A1OA2是等边三角形，所以OB=1，，∴A1、A2、A3、A4，......的横坐标依次为：1，2，3，4，......A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9，......的纵坐标依次为：所以，A2023的横坐标为2023，又∵2023÷3=674......1，所以A2023的纵坐标为，所以A2023的坐标为：。
故第1空答案为：。
【分析】根据已有的点的坐标，找出排列规律，然后根据规律，写出A2023的坐标即可。
17．【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
(SAS) ；
（2）
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2），，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据SAS证明；
（2）由等腰三角形的性质求出，由全等三角形的性质得出，再根据平角的定义求解即可．
18．【答案】（1）证明：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
平分；
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 如图，过点作于点， 根据AAS可证明 ≌，从而得出 ， 结合 ，， 即可得出 平分；
（2），首先根据AAS证明≌，可得AC=AF，由（1）知，≌，可得CE=BF，即可得出 ．
19．【答案】（1）证明：，
在和中，，
.
（2）证明：，，
，，平分
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意可以知道∠E=∠CFD=90°，然后根据直角三角形全等的判定定理证明Rt△DBE≌Rt△DCF。
（2）根据Rt△DBE≌Rt△DCF与到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可以得出证明AD平分∠BAC。
20．【答案】（1）解：AP=CQ．理由如下：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ
（2）解：∵等边△ABC和等边△BPQ中，
PB=PQ=4，PA=QC=3，
∵PQ2+CQ2=PC2，
∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．
21．【答案】（1）证明：由旋转得：，
，
，
在和中
，
()，
，
平分．
（2）解：由旋转得：，
，
由（1）得：，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
在中，
，
，
解得：．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ()， 再利用全等三角形的性质求出∠AFC=∠AFE，最后根据角平分线证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再利用三角形的面积公式求出CF=3，最后利用勾股定理计算求解即可。
22．【答案】（1）解：图中是等腰三角形的有：，共5个等腰三角形；的关系是．理由如下：
平分，平分，
，，
，
，；
即，，
（2）解：当时，（1）的结论仍然成立．
平分，平分，
，，
，
，，
即，；
（3）解：．理由如下：
平分，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；
（2）根据（1）的方法，即可求解；
（3）证明△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系，即可得出结论．
23．【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中，，
∴，∴；
（2）证明：如图2，连接OA、OB、OC，
∵直线m是边BC的垂直平分线，∴，
∵直线n是边AC的垂直平分线，∴，
∴，∵，∴；
（3）解：
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）如图③中，连接BD，BE．
∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，
∴DA=DB，EB=EC，
∴∠A=∠DBA=30°，∠C=∠EBC=30°，
∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°，∠BED=∠C+∠EBC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴AD=BD=DE=BE=EC，
∵AC=27，
∴DE=AC=9．
故答案为：9．
【分析】（1）证明△PAC≌△PBC即可解决问题．
（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．
（3）连接BD，BE，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，得出∠A=∠DBA=30°，∠C=∠EBC=30°，则∠BDE=∠A+∠DBA=60°，∠BED=∠C+∠EBC=60°，即可证明△BDE是等边三角形即可，进而可得DE=AC=9．
24．【答案】（1）15
（2）20
（3）
（4）解：仍然成立．理由如下：
∵，
∴．
∵，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)∵，，是中边上的高，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
(2)同理（1）可得，∴，，
∴，
故答案为：；
(3)猜想；
∵，是中边上的高，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为： 。
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，，根据，计算∠EDC的度数；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠CAD=40°，∠ADE=70°，再利用三角形高的性质求∠EDC的度数；
（3）规律：∠BAD=2∠EDC，利用等腰三角形的性质证明；
（4）根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求解。由得．由和得．由得．则，进而结论得证．
1 / 12024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第一章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019·大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
∵BE是∠ABC的平分线
CE是外角∠ACM的平分线
∠EBM=∠ABC
∠ECM=∠ACM
则∠BEC=∠ECM-∠EBM=（∠ACM-∠ABC）=30°
故答案为：B.
【分析】根据角平分线与外角的性质，进行角度计算。
2．（2016·安顺）已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得
，
解得 ，
①若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
②若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
3．（2023·本溪）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于点H，由作图轨迹可知，AD为∠BAC的角平分线，则HD=CD.
设BD=x，则HD=CD=3-x.
在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，∴AC=4，
∵Rt△ACD和Rt△AHD中，AD=AD，CD=HD，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH=AC=4
∴BH=AB-AH=1
在Rt△BHD中，∵BD2=BH2+DH2，即x2=12+（3-x）2，
化简得 x2=12+9-6x+x2
得6x=10，x=.
故本题选D.
【分析】根据轨迹能分析出这是角平分线的尺规作图轨迹，从而联系到角平分线的性质定理“角平分线上的点，到角两边的距离相等”，从而联想到作辅助线DH⊥AB，从而得到HD=CD的等量关系.设BD为x，利用的是Rt△BHD的三边勾股定理关系，建立方程求解，这也是直角三角形建方程的常规方法.
4．（2023·贵州）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得GD平分∠CDA，
∴∠GDC=∠GDA，
∵，
∴∠DGC=∠GDA，
∴∠DGC=∠GDC，
∴DC=GC=3，
∴BG=5-3=2，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠GDC=∠GDA，进而根据平行线的性质得到∠DGC=∠GDA，从而得到∠DGC=∠GDC，再根据等腰三角形的性质即可得到DC=GC=3，进而即可求解。
5．（2022·台州）如图，点 D在 △ABC的边BC上，点 P在射线 AD上（不与点 A，D重合），连接PB， PC．下列命题中，假命题是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AP垂直平分BC，
∴PB=PC，此命题是真命题，故A不符合题意；
B、∵PB=PC，AD⊥BC，
∴AP垂直平分BC，
∴AB=AC，此命题是真命题，故B-不符合题意；
C、∵AB=AC，∠1=∠2
∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，
∴AP垂直平分BC，
∴PB=PC，此命题是真命题，故C不符合题意；
由PB=PC，∠1=∠2，不能证明AB=AC，此命题是假命题，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可对A，B，C作出判断；据此可得到是假命题的选项.
6．（2024八上·毕节期末）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、若，，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵，
∴∠DOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠DOB，
∴OD=BD，
∴AD+OD=AD+BD=AB=5；
同理可得：AE+OE=AE+EC=AC=4，
∴AD+DE+AE=AB+AC=5+4=9.
故答案为：A。
【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定证明OD=BD，OE=EC，再求三角形的周长即可。
7．（2023八上·长沙月考）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，.给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为BF∥AC ，
所以∠C=∠FBD，
因为BC平分∠ABF，
所以∠FBD=∠ABD，
所以AC=AB，
所以△ABC是等腰三角形，
又因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD，
所以BD=CD，AD⊥BC，所以②③正确；
在△DCE和△DBF中
所以△DCE≌△DBF（ASA）
所以DE=DF，所以①正确；
因为△DCE≌△DBF，
所以CE=BF，
又因为AE=2BF，
所以AC=AE+CE=3BF，所以④正确；
所以正确结论为①②③④，共4个。
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的三线合一，可以得出BD=CD，AD⊥BC，然后根据ASA可以证明△DCE≌△DBF，即可得出DE=DF，AC=3BF，将结论进行对照即可得出答案。
8．（2023八上·泊头月考）如图，点P是内部的一点，点P到三边AB、AC、BC的距离．若，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解： ∵点P到三边AB、AC、BC的距离，
∴点P为△ABC内角平分线的交点，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCF=∠ACB，
∵∠BPC=130°，
∴∠PBC+∠PCF=180°-∠BPC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCF=2（∠PBC+∠PCF）=100°，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=80°.
故答案为：B.
【分析】易判断点P为△ABC内角平分线的交点，可得∠PBC=∠ABC，∠PCF=∠ACB，由三角形内角和定理可得∠PBC+∠PCF=180°-∠BPC=50°，从而得出∠ABC+∠ACB=100°，再利用三角形内角和定理即可求解.
9．（2023八上·丰南期中）如图，“三等分角器”是由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连，并可绕点转动，点固定，，可在槽内滑动，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据等腰三角形的性质得到，，进而结合题意得到，再结合三角形外角的性质进行角的运算即可求解。
10．（2023八上·章贡期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，连接AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①△ABC和△DCE为等边三角形，A，C，E在同一直线上
∴AC=BC，EC=DC，
∴
∴AD=BE，①正确
②∵
∴
∵
∴
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°
∴△PCQ为等边三角形
∴PQ∥AE，②正确
③∵
∴
∴
∴
∴
∴CP=CQ，AP=BQ，③正确
④∵△ABC和△DCE为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴，④正确
故答案为：D
【分析】根据等边三角形性质，全等三角形的判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·江西）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为　 　cm．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：很具平行线的性质知：∠ACB=∠α=60°，又因为∠A=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=BC，又BC=3-1=2，∴AB=2。
故第1空答案为：2.
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠α=60°，结合∠A=60°，可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AB=BC=2即可。
12．（2023八上·杭州月考）如图，AE=AB，∠E=∠B，EF=BC，若∠EAB=52°，则∠EFA=　 　．
【答案】64°
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△AEF与△ABC中，
∵AE=AB，∠E=∠B，EF=BC，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF=∠BAC，AF=AC，∠C=∠EFA，
∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠FAC=∠EAB=52°，
∴∠C=∠EFA=（180°-∠FAC）=64°.
故答案为：64°.
【分析】首先由SAS判断出△AEF≌△ABC，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得∠EAF=∠BAC，AF=AC，∠C=∠EFA，进而根据角的和差推出∠FAC=∠EAB=52°，最后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求出∠C=∠EFA=（180°-∠FAC）=64°.
13．（2024八上·毕节期末）已知一张三角形纸片如图甲，其中，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为如图乙，再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为如图丙原三角形纸片中，的大小为　 　 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：∠A=∠ADE，∠C=∠BED，
∵∠BED=∠A+∠ADE=2∠A，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°。
故答案为：36°。
【分析】根据轴对称的性质可得∠A=∠ADE，∠C=∠BED，根据三角形的外角性质可得∠BED=2∠A，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，根据三角形内角和定理建立方程求解。
14．（2021八上·德州期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　 　°．
【答案】60
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，E是的中点，
，，
，
是等边的边上的高，
垂直平分，
，
，
由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为，
此时有，
则，
故答案为：60．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
15．（2023八上·李沧期中）如图，在直角坐标系中，长方形的顶点分别在轴，轴上，点的坐标分别为为边上一点，点的坐标为，若是腰长为5的等腰三角形，则点的坐标是　 　．
【答案】（－3，4）或（－2，4）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为（-7，0），点C的坐标为（0，4），
∴OC=4，BC=OA=7，BC∥x，∠OCB=90°，
∵点E为BC上的一点，
∴点E的纵坐标为4，
∵点D（-5，0），△ODE为腰长为5的等腰三角形，
∴DE=OD=5或OE=OD=5，如图，DE=OD=5，
作DF⊥x轴交BC于点F，则点F为（-5，4），DFE=90°，
∴CF=5，DF=4，
∴EF=3，
∴CE=CF-EF=5-3=2，
∴点E为（-2.4），
如图，OE=OD=5，∴CE=3，
∴点E（-3，4）
∴点E的坐标为（-2，4）或（-3，4）
故答案为：（-2，4）或（-3，4）.
【分析】根据题意分情况进行讨论，根据勾股定理求出答案即可。
16．（2023·泰安）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：因为△A1OA2是等边三角形，所以OB=1，，∴A1、A2、A3、A4，......的横坐标依次为：1，2，3，4，......A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9，......的纵坐标依次为：所以，A2023的横坐标为2023，又∵2023÷3=674......1，所以A2023的纵坐标为，所以A2023的坐标为：。
故第1空答案为：。
【分析】根据已有的点的坐标，找出排列规律，然后根据规律，写出A2023的坐标即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·长春期末）如图，，为上一点，，并且
（1）求证：；
（2）若，则＝　 　．
【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
(SAS) ；
（2）
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2），，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据SAS证明；
（2）由等腰三角形的性质求出，由全等三角形的性质得出，再根据平角的定义求解即可．
18．（2024八上·临江期末）如图，中，，点分别在边上，，．
（1）求证：平分；
（2）写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
平分；
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 如图，过点作于点， 根据AAS可证明 ≌，从而得出 ， 结合 ，， 即可得出 平分；
（2），首先根据AAS证明≌，可得AC=AF，由（1）知，≌，可得CE=BF，即可得出 ．
19．（2023八上·长沙月考）如图，的延长线于，于，若，.
（1）求证：；
（2）求证：平分.
【答案】（1）证明：，
在和中，，
.
（2）证明：，，
，，平分
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意可以知道∠E=∠CFD=90°，然后根据直角三角形全等的判定定理证明Rt△DBE≌Rt△DCF。
（2）根据Rt△DBE≌Rt△DCF与到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可以得出证明AD平分∠BAC。
20．（2016八上·萧山期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
【答案】（1）解：AP=CQ．理由如下：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ
（2）解：∵等边△ABC和等边△BPQ中，
PB=PQ=4，PA=QC=3，
∵PQ2+CQ2=PC2，
∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．
21．（2023八下·九江期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转至处，分别延长与交于点，连接、．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：由旋转得：，
，
，
在和中
，
()，
，
平分．
（2）解：由旋转得：，
，
由（1）得：，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
在中，
，
，
解得：．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ()， 再利用全等三角形的性质求出∠AFC=∠AFE，最后根据角平分线证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再利用三角形的面积公式求出CF=3，最后利用勾股定理计算求解即可。
22．（2022八上·吉安开学考）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作EFBC交、于、．
（1）图①中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系．
（2）如图②，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？
（3）如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作OEBC，交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由．
【答案】（1）解：图中是等腰三角形的有：，共5个等腰三角形；的关系是．理由如下：
平分，平分，
，，
，
，；
即，，
（2）解：当时，（1）的结论仍然成立．
平分，平分，
，，
，
，，
即，；
（3）解：．理由如下：
平分，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；
（2）根据（1）的方法，即可求解；
（3）证明△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系，即可得出结论．
23．（2023八上·长春汽车经济技术开发期中）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB，将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等。 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线MN的任意一点。 求证：。 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明。 请写出完整的证明过程
（1）定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
（2）定理应用：
如图②，在中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：．
（3）如图③，在中，，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E．若，，则DE的长为　 　．
【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中，，
∴，∴；
（2）证明：如图2，连接OA、OB、OC，
∵直线m是边BC的垂直平分线，∴，
∵直线n是边AC的垂直平分线，∴，
∴，∵，∴；
（3）解：
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）如图③中，连接BD，BE．
∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，
∴DA=DB，EB=EC，
∴∠A=∠DBA=30°，∠C=∠EBC=30°，
∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°，∠BED=∠C+∠EBC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴AD=BD=DE=BE=EC，
∵AC=27，
∴DE=AC=9．
故答案为：9．
【分析】（1）证明△PAC≌△PBC即可解决问题．
（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．
（3）连接BD，BE，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，得出∠A=∠DBA=30°，∠C=∠EBC=30°，则∠BDE=∠A+∠DBA=60°，∠BED=∠C+∠EBC=60°，即可证明△BDE是等边三角形即可，进而可得DE=AC=9．
24．（2024八上·伊通期末）在中，．
（1）如图①，如果，是中边上的高，并且，则　 　°；
（2）如图②，如果，是中边上的高，并且，则　 　°；
（3）由（1），（2）猜想：与之间有什么数量关系？请用式子表示：　 　；
（4）如图③，如果不是中BC边上的高，但仍有，请判断与之间是否仍然存在（3）中的数量关系 请说明理由．
【答案】（1）15
（2）20
（3）
（4）解：仍然成立．理由如下：
∵，
∴．
∵，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)∵，，是中边上的高，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
(2)同理（1）可得，∴，，
∴，
故答案为：；
(3)猜想；
∵，是中边上的高，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为： 。
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，，根据，计算∠EDC的度数；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠CAD=40°，∠ADE=70°，再利用三角形高的性质求∠EDC的度数；
（3）规律：∠BAD=2∠EDC，利用等腰三角形的性质证明；
（4）根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求解。由得．由和得．由得．则，进而结论得证．
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