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第二十一章 一次函数
第二十一章 一次函数
21.5 一次函数与二元一 次方程的关系
学 习 目 标
1、理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二
元一次方程组．（重点）
2、学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的
思想方法．
3、经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学
问题的辩证思想.（难点）
　　今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=1”.
二元一
次方程
一次函数
x+y=1
到我这里来
到我这里来
这是怎么回事？ x+y=1应该坐在哪里呢？
新课导入
1.二元一次方程x+y=1有无数组解，如：
x=-2
y=3
x=-1
y=2
x=0
y=1
x=1
y=0
x=2
y=-1
x=3
y=-2
以这些解为点的坐标，在直角坐标系中描点，你认为这些点在一条直线上吗？如果在一条直线上，它们在哪条直线上？请说明理由。
知识讲解
　观察与思考
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
(-2,3)
(-1,2)
(0,1)
(1,0)
(2,-1)
(3,-2)
图1
如图1，这些点在一条直线上，这条直线的表达式为y=-x+1
一、一次函数与二元一次方程组的关系
2.如图（2）在直角坐标系中，设点A的坐标为（-1,2），点B的坐标为（3，-2），经过点A，B画线.直线AB上的点C（x0,y0)中， x0,y0之间有怎样的数量关系？
x=x0
y=y0
是不是方程x+y=1的一组解？请说明理由
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
A
B
图2
因为过点A与点B的直线解析式为y=-x+1,所以直线AB上的点C（x0,y0)中， x0,y0之间的数量关系为y0=-x0+1，即有x0+y0=1，所以 是方程x+y=1的解
x=x0
y=y0
你认为一次函数和二元一次方程有什么联系与区别？
思考
方程
x+y=1的解
从数到形
在一次函数
y=－x+1的图象上
从形到数
二元一次方程与一次函数的关系
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 的图像相同.
2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（ ）
C
y=-2x+5
随堂训练
1.解方程组
2.请在同一直角坐标系内分别画出函数y=-x+5与y=2x-1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系．
解：利用消元法，解方程组得
二、一次函数与二元一次方程组的关系
　做一做
y
x
0
4
1
2
3
5
思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？
(2,3)
解：
x … 0 5 …
y=-x+5 … 5 0 …
x … 0 0.5 …
y=2x-1 … -1 0 …
1
2
3
4
5
解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值．
数
二元一次方程
组的解
两个一次函数所在直线的交点坐标
对应
形
确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
总结归纳
例1：用图象法解方程组
x
y
-2
2
-1
0
1
3
解：由
可得
由 可得
所以原方程组的解是
得l1，l2的交点坐标为（2，2）.
思考：
这种解法得到的解一定精确吗？
x … -2 0 …
y … 0 1 …
x … 0 1 …
y … -2 0 …
在同一直角坐标系中作出图象
列表：
描点、连线：
-1
-2
1
2
3
例题讲解
你认为求两个一次函数的交点问题有哪些方法？与同伴交流，并一起分析各种方法的利弊．
解法思路1：画出图像找出交点，确定交点坐标近似值．
(因作图误差可能有较大差别)
解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形的问题归结为数的解决，便捷准确)
1.以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数 的图像上。
2.方程组 的解是 ，由此可知一
次函数 与 的图像必有一个交点，
且交点坐标是 。
x-y=4
3x-y=16
y=2x-1
x=6
y=2
y=x-4
y=3x-16
(6，2)
当堂检测
3.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( )
D
4.已知一次函数y=ax+5和y=-x+b的图像交于点p(1,2)
(1)直接写出方程组
（2）求a,b的值
解：（1）
(2)将点P的坐标分别代入y=ax+5与y=-x+b得， a=-3，b=3
一次函数
与二元一次方程
二元一次方程的解与一次函数图象的关系
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
课堂小结

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