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19.4　综合与实践 多边形的镶嵌　　　
第19章 四边形
学 习 目 标
2
了解平面图形镶嵌的含义,掌握哪些平面图形可以镶嵌,镰嵌的理由及简单的嵌设计.
通过探索平面图形的镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌,并能运用这几种图形进行简单的设计.（重点）
经历探索多边形镶嵌的过程,进一步发展合情推理能力.（难点）
使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用,体会数学与现实生活的密切联系认识数学的应用价值.
1
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新课导入
知识讲解
探究一 平面镶嵌的定义
这种用形状相同或不相同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌.
生活中利用镶嵌组成的美丽图案
你注意到地砖的形状一般都是几边形吗？有没有正五边形地砖？你知道为什么吗？
下列各正多边形中,哪些能单独镶嵌平面，
哪些不能，为什么？
探究二：一种正多边形的镶嵌
正三角形为什么能镶嵌？
正方形为什么能镶嵌？
1
2
3
∠1+∠2+∠3=
正五边形可以镶嵌吗？
原来拼不了！为什么
正五边形不能密铺!
正多边形边数 拼图 每个内角的度数 每个内角与360°的关系 结论
能镶嵌
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
60°
90°
108°
108°
120°
3
6
4
5
6×60°= 360°
4×90°= 360°
4×108°＞ 360°
3×120°= 360°
3×108°＜ 360°
观察以下图形并思考在镶嵌时，
如何做到既无缝隙又不重叠
每个顶点处几个角的和为360°.
规律小结：
(1)如果正多边形能够镶嵌平面，那么共顶点的各个角的度数之和应等于360°.
(2)能单独用来镶嵌平面的正多边形的内角度数一定能整除360.
能用下列正多边形单独镶嵌平面吗？
试一试
(1)正八边形；
(2)正十边形；
(3)正二十边形.
能单独镶嵌平面的正多边形只有3种，
即等边三角形、正方形、正六边形.
综合上述研究，可得出以下结论：
探究三：普通多边形的镶嵌
形状、大小完全相同的任意
三角形可以镶嵌平面吗？
如图,四边形ABCD中,因为∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°,
所以四边形也可以作平面镶嵌.
A
B
D
C
四边形呢
形状、大小完全相同的任意四边形 可以镶嵌平面吗？
从而发现：
形状、大小完全相同的平面图形
能够镶嵌平面的有：
任意三角形、任意四边形
探究四：两种多边形的组合镶嵌
下列多边形组合，能够密铺平面的是：
（1）正三角形与正六边形；
（2）正三角形与正方形；
（3）正方形与正八边形；
（4）正六边形与正八边形；
（5）正三角形和正十二边形
当围绕一点拼在一起的几个正多边形
的内角和加在一起恰好组成一个周角时,就能镶嵌一个平面图形;那么哪些正多边形可以进行镶呢？
想一想：哪些正多边形可以组合镶嵌
正方形和正三角形的组合镶嵌
正六边形和正三角形的组合镶嵌
正六边形和正三角形的组合镶嵌
反思
1.镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2.多边形能否镶嵌的条件：
每个顶点处几个角的和为360°
试试看:
请你用两种或两种以上的多边形设计镶嵌图案.
请你欣赏多种正多边形的组合镶嵌平面
解：设在一个顶点周围有x个等边三角形，y个正方形，
则 x·60°+y·90°=360° 即2x+3y=12
这个方程的正整数解为：
x=3，
y=2.
所以用等边三角形和正方形做平面密铺在它的一个顶点周围3个等边三角形配2个正方形.
例1:用边长相同的等边三角形和正方形
做平面密铺，有几种可能？为什么？
关键：得到一个关于边数x，y的方程，
然后求出它的整数解。
解：设在一个顶点周围有x个正方形，y个正八边形，
则 x·90°+y·135°=360° 即2x+3y=8
这个方程的正整数解为：
x=1,
y=2.
所以用正方形和正八边形做平面密铺即在它的一个顶点周围1个正方形配2个正八边形.
用边长相同的正方形和正八边形
做平面密铺，有几种可能？为什么？
关键：得到一个关于边数x，y的方程，
然后求出它的整数解。
练一练
解：设在一个顶点周围有m个等边三角形，n个正六边形，
则 m·60°+n·120°=360°, 即m+2n=6.
这个方程的正整数解为：
m=4， m=2,
n=1. n=2.
所以用等边三角形和正方形做平面密铺在它的一个顶点周围4个等边三角形配1个正六边形或者2个等边三角形配2个正六边形.
例2:用边长相同的等边三角形和正六边形
做平面密铺，有几种可能？为什么？
关键：得到一个关于边数x，y的方程，
然后求出它的整数解。
或
2m+5n=12
m=1，
n=2.
m·60° +n·150° =360°
解：设在一个顶点周围有m个正三角形的角、
n个正十二边形的角，则有
∵m、n为正整数
∴方程的解为
练一练
如果用正三角形和正十二边形作平面镶嵌有几种可能的情形 为什么
正方形、正八边形的组合镶嵌
正三角形、正十二边形的组合镶嵌
1．用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多边
形能和正八边形密铺的是( )．
(A)正三角形 (B)正六边形
(C)正五边形 (D)正四边形
2．下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（ )
(A)正三角形和正五边形
(B)正六边形和正三角形
(C)正五边形和正八边形
(D)正八边形 和正三角形
3．用若干同样大小的正三角形能拼成的图形是（ ）
(A)正八边形 (B)正六边形
(C)正五边形 (D)正方形
D
B
B
随堂训练
4.如图，是正在铺设的人行道上地板砖的部分，是由正六边形和四边形镶嵌而成的图形，则图中的四边形ABCD中的锐角∠BAD的度数是 ．
解析：正六边形内角和 （6﹣2）×180°＝720°，
所以每个内角度数720°÷6＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°.
60°
5.若一个正多边形的每个外角都等于45°，则用这种多边形能铺满地面吗？（填“能”或“不能”）答： ．
不能
6.在数学活动课上，研究用正多边形镶嵌平面．请解决以下问题：
（1）用一种正多边形镶嵌平面
例如，用6个全等的正三角形镶嵌平面，摆放方案如图所示：
若用m个全等的正n边形镶嵌平面，求出m，n应满足的关系式；
（2）用两种正多边形镶嵌平面
若这两种正多边形分别是边长相等的正三角形和正方形，请画出两种不同的摆放方案；
（3）用多种正多边形镶嵌平面
若镶嵌时每个顶点处的正多边形有n个，设这n个正多边形的边数分别为x1，x2，…，xn，求出x1，x2，…，xn应满足的关系式．（用含n的式子表示）
解：（1）∵正n边形的内角和为：180°（n﹣2），
∴每个内角的度数为： ，
由题意得：m ＝360°，
整理得：m（n﹣2）＝2n，
即：2m+2n＝mn；
（2）边长相等的正三角形和正方形镶嵌平面，两种不同的摆放方案，如图所示：
（3）由题意得： + +…+ ＝360°，
整理得： + +…+ ＝2，
即： + +…+ ＝ ．
课堂小结
1.平面镶嵌的定义
2.镶嵌满足的条件
3.多边形的镶嵌 一种正多边形的密铺
两种正多边形的密铺

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