资源简介

正余弦定理解三角形
①余弦定理
②正弦定理
③判断三角形形状
④解三角形面积问题
⑤正余弦定理的综合应用
一、余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的推论
；；
二、利用余弦定理解三角形
（1）解三角形
一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
（2）余弦定理在解三角形中的应用
①已知三角形的三边解三角形
连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角.
②已知两边和它们的夹角解三角形
用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角.
③已知两边及其中一边的对角解三角形
例如：已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角.
三、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
四、三角形面积公式
三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
【常用结论】
1.解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
解题策略
1.已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出的两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出的两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出的两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.
2.已知三边解三角形的步骤
(1)分别用余弦定理的推论求出两个角.
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
【例1】中，，则（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意，.
故选：C.
【例2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，设,利用余弦定理求解.
【详解】解：在中，，
设,
由余弦定理得，
因为，
所以，
故选：C
【例3】的三内角所对边分别为，若，则角的大小（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【详解】解：由余弦定理得，
因为，所以.
故选：B
一、单选题
1．（2024·全国·高一假期作业）在中，已知，则角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理的推论即可求解.
【详解】由及余弦定理的推论，得，
因为，
所以.
故选：B.
2．（2024·全国·高一假期作业）在中，若，则角的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用余弦定理求得，即可求解.
【详解】因为，由余弦定理可得，
因为，所以.
故选：C.
3．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理可得.
【详解】由余弦定理得．
故选：A
4．（2024·全国·高一假期作业）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理求解即可；
【详解】在中，由余弦定理得：
整理得，，解得：或.
检验或满足题意，
故选：C.
5．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，，则最长边（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据题意利用余弦定理直接求解即可
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，，
化简得，解得或，
因为是最长的边，所以，
故选：B
6．（2024·全国·高一假期作业）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据二倍角公式求出，再结合余弦定理求即可.
【详解】由题意得，，
由余弦定理得，，
所以.
故选：D
二、多选题
7．（2024·全国·高一假期作业）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】AB
【分析】由余弦定理解三角形.
【详解】，，，由余弦定理，有，
得，即，解得或.
故选：AB
8．（2024·全国·高一假期作业）钝角的内角、、的对边分别为、、，若，，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】分析可知为钝角，利用余弦定理结合三角形三边关系可得出的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为，，且，则，
因为为钝角三角形，故为钝角，
且，解得，
由三角形三边关系可得，则，故，
故选：BC.
三、填空题
9．（2024·上海·高一假期作业）在中，已知，且，则的值为 .
【答案】4或8
【分析】利用余弦定理可得答案.
【详解】由，得，
利用余弦定理可得，
即，解得或；
故答案为：4或8.
10．（2024·上海·高一假期作业）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 .
【答案】
【分析】利用余弦定理可得答案.
【详解】由，得，
由余弦定理得，则，所以.
故答案为：.
11．（2024·全国·高一假期作业）已知中，角的对边分别为，，则角 ．
【答案】
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】因为，则，即，
可得，
且，所以.
故答案为：.
12．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．

【答案】
【分析】在中，由余弦定理求得，然后结合等腰三角形、直角三角形求得结论．
【详解】在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，所以，
又是等边三角形，所以，，
由勾股定理可得，，所以的周长为．
故答案为：.
四、解答题
13．（2024·上海·高一假期作业）在中，已知，，. 求、及.
【答案】，，或，，
【分析】根据余弦定理求出，再由余弦定理求角即可得解.
【详解】由余弦定理，得，
即，所以或.
①当时，，所以，
从而；
②当时，，所以，
从而.
14．（2024·全国·高一假期作业）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，再结合余弦定理和，可求出角；
（2）由结合余弦的二倍角公式可求出，再利用余弦定理得，由结合余弦定理得，两式结合化简可证得结论.
【详解】（1）解：因为，
所以由余弦定理得，
所以，得，
因为，所以，得，
所以由余弦定理得，
因为，所以；
（2）证明：因为，所以，
化简整理得，
，解得或（舍去），
所以由余弦定理得，所以，
因为，
所以由余弦定理得，
整理得，
所以，
所以，得，所以.
解题策略
1.解决已知两角及一边类型的解题方法
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
2.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
①由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数;
②在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表:
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a=b 无解 无解 一解
absin A 两解
a=bsin A 一解
a【例1】在中，，，，则角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理求得，从而求得.
【详解】由正弦定理得，
由于是钝角，所以是锐角，所以，所以.
故选：A
【例2】在中，角的对边分别为，已知，则角（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理即可得解.
【详解】在中，，
由正弦定理可得，可得，
又，
或.
故选：C.
【例3】在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【详解】由正弦定理和可得.
因为所以，所以，
因为，所以为.
故选：A
一、单选题
1．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】由正弦定理知：得.
故选：B
2．（2023下·广东佛山·高一校考期中）的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】由同角的平方关系和正弦定理求解.
【详解】由得.
由正弦定理得.
故选：A
3．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）中，，，，则角C的大小为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】利用正弦定理及三角形的性质计算即可.
【详解】由正弦定理可知，
因为，所以，
故.
故选：A
4．（2023下·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）在中，已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理，可求角.
【详解】在中，已知，，，
则由正弦定理可得，即，求得，
，或．
再由，以及大边对大角可得．
故选：C
5．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理得到，再根据同角三角函数关系计算得到答案.
【详解】由题可得，，由正弦定理可得，所以，
又，故，.
故选：C
6．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）在中，若，，，则可能是（ ）
A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°
【答案】B
【分析】利用正弦定理可求的值，故可得正确的选项.
【详解】由正弦定理可得，故，
故，而，故或，
故或，
故选：B.
7．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）记的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
【详解】由，
由正弦定理得，即，
，，
所以.
故选：A
8．（2023下·福建泉州·高一校考期中）若的外接圆半径，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理求得.
【详解】由，则为锐角，所以，
由，则为锐角，所以，
则，
可得：．
故选：D
二、多选题
9．（2023下·广西玉林·高一校考阶段练习）设的内角的对边分别为．若，，则角可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由正弦定理结合边的大小关系得出结果.
【详解】已知，，
由正弦定理，得，即
又，则,
所以或.
故选：AC.
10．（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）中，内角A，B，C对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ABD
【分析】根据正弦定理结合三角函数的图象与性质一一计算即可判定.
【详解】易知，
对于A，由正弦定理可知
由正弦函数的图象与性质可得或，
又，则A有两个解，即A正确；
对于B，同上或,
又，则B有两个解，即B正确；
对于C，同上得，且，
故C只有一解，即C错误；
对于D，如下图所示，则易知，即此时有两解，即D正确.

故选：ABD
11．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由正弦定理得，A选项正确.
B选项，由正弦定理得，
而当时，则或，则或，
所以B选项错误.
C选项，由正弦定理得，
所以，所以C选项正确.
D选项，，由正弦定理得，
所以D选项正确.
故选：ACD
三、填空题
12．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在中，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】设外接圆半径为，则由正弦定理可得：
故答案为：
13．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）在中，，则 .
【答案】
【分析】先根据正弦定理得到三边的比例，再根据余弦定理求出角，进而可得.
【详解】因为，
由正弦定理得，
不妨设，则，，
由余弦定理得：，
因，所以，
，
故答案为：
14．（2023下·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若满足的三角形有两个，则边长a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据正弦定理，三角形有两个解，则满足，代入即可求得边长的取值范围.
【详解】如图，，垂线段，
由正弦定理知，三角形有两个解，则满足，即.
故答案为：.
15．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理以及图形的几何关系求解.
【详解】设△的外接圆为,的外接圆半径为,
在△由正弦定理得,在中由正弦定理得,
又∵,∴，
∴,
故答案为：.
解题策略 判断三角形形状问题
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
①△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或 c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且 b2+c2>a2且c2+a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2+b2④若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=.
【例1】已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.
【详解】由，得，
整理得，则，
因为，所以，
又由及正弦定理，得，化简得，
所以为等边三角形，
故选：B
一、单选题
1．（2024·全国·高一假期作业）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】由余弦定理化角为边得，即可判断三角形形状.
【详解】因为，所以由余弦定理得，
所以，所以，所以为等腰三角形.
故选：A.
2．（2024·全国·高一假期作业）在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据正弦定理得到边的关系，再利用余弦定理判断即可.
【详解】设中，角对应的边分别是，
由正弦定理得:，即，
所以，
因为，所以为钝角，即为钝角三角形.
故选:C.
3．（2024·全国·高一假期作业）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形
【答案】B
【分析】由正弦定理可得或；或，利用三角形的性质验证得，可得结论.
【详解】因为，由正弦定理可得，即，
因为，为三角形的内角，所以或，即或，
同理可得或；
当时，不可能成立（三内角和不等于），
当时，也不可能成立，
所以只有，即为等边三角形．
故选：B
4．（2024·全国·高一假期作业）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.
【详解】因为，所以，整理得，
又，所以，
即，即，
又，所以，得，
因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形.
故选：D
5．（2023下·浙江嘉兴·高一校联考期中）若，且，那么是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用结合余弦定理可得出，即可得出结论.
【详解】因为，则，可得，
由余弦定理可得，因为，所以，，
因为，则，整理可得.
所以，为等边三角形.
故选：A.
6．（2023下·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）在中，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由正弦定理及倍角公式得到，结合，解得或，得到答案.
【详解】由正弦定理得，
即，故，
因为，且属于三角形内角，所以，所以或，
解得或，
所以为等腰或直角三角形.
故选：C
7．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理的边角关系，将已知条件化为，结合三角形内角性质确定关系，即可得三角形形状.
【详解】由题设，则，
又，则，故，即.
所以一定是等腰三角形.
故选：A
8．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）在中，内角、、的对边分别为、、，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得出，求出、，利用正弦型函数的基本性质可得出、的关系，即可得出结论.
【详解】因为，则，
因为中至少有两个锐角，则、中至少一个为锐角，
不妨设为锐角，则，从而可知为锐角，
由正弦定理可得，即，
因为、，则、，
所以，或，即或，
因此，为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
解题策略
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【例1】在中，已知，，，则的面积为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面积公式计算．
【详解】因为中，已知，，，
所以，由余弦定理得，
解得或2，
所以的面积或．
故选：B.
一、单选题
1．（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知中，，且的面积为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】因为中，，且的面积为
.
所以，所以或.
故选：B.
2．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用三角形的面积公式求解.
【详解】因为，
所以，解得，
即，
故选：A.
3．（2023下·甘肃武威·高一校联考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理求出，再利用三角形面积公式即可得到答案.
【详解】因为，
由余弦定理得，所以，
所以的面积.
故选：A.
4．（2023下·全国·高一随堂练习）记的内角所对的边分别为，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理求出，再根据面积公式列式可求出结果.
【详解】由，得.
设边上的高为，
因为，所以，
即边上的高为.
故选：D
5．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.
【详解】因为的面积为，，
所以，即.
所以，
所以.
故选：D.
6．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）在中，角的对边分别为的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合正弦定理，和余弦定理求出，进而得到，应用面积公式即可.
【详解】由，得，
，，
，
即，解得，
，，，
.
故选：C
7．（2023下·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圆直径.
【详解】由得，
，
即：，可得.
又因为，可得．
又已知，，
由余弦定理得
，
解得.
则外接圆直径.
故选：D.
8．（2024上·宁夏石嘴山·高一统考期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，如图中阴影部分所示．若弧田所在圆的半径为，为圆心，弦的长是3，则弧田的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到，再利用扇形面积公式与三角形面积公式即可得解.
【详解】依题意，，，
所以，
因为，所以，
故的弧长为，
则扇形的面积为，的面积为，
所以弧田的面积为．
故选：D.
二、填空题
9．（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则 .
【答案】
【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】因为的面积为，
所以，
于是有，
由余弦定理可知：，
故答案为：
10．（2023下·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且面积为，若，则 ．
【答案】3
【分析】由面积得，再结合，求出值，再利用余弦定理求出即可.
【详解】，解得：；
又，代入，得：或；
根据余弦定理得：，解得：.
故答案为：3．
11．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为 ．
【答案】
【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据余弦定理可得，进而可得的面积.
【详解】由，结合正弦定理可得，故，
故，因为，故，又，故.
由余弦定理，则，解得.
则.
故答案为：
12．（2023下·广东东莞·高一校考期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，，则△ABC外接圆的半径为 ．
【答案】
【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，求解角，再根据正弦定理求半径.
【详解】因为，
所以，即，所以，
由为三角形内角得，因为a＝1，
由正弦定理得，所以．
故答案为：
三、解答题
13．（2023下·全国·高一随堂练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件由正弦定理得，可求；
（2）由的面积得，余弦定理求，可得的周长.
【详解】（1）由正弦定理得，则.
（2），得，
由余弦定理，
即，则，所以，
的周长为.
14．（2023·江苏·高一专题练习）的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案.
（2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可.
【详解】（1）向量与平行，所以，
由正弦定理可知：，
，，所以，，可得；
（2），，由余弦定理可得：，可得，
解得或（舍），
的面积为．
15．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
(1)求B；
(2)若，且的面积为，求b.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出，从而求出；
（2）由三角形面积公式求出，结合，求出，由余弦定理求出答案.
【详解】（1），由正弦定理得，
即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2）由（1）得，
所以的面积为，得，
由及正弦定理，得，
所以.
由余弦定理，得，
所以.
16．（2023上·江西宜春·高一江西省丰城中学校考期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，及，得，转化为，得.
（2）由及（1）得，得，求出b，计算三角形面积.
【详解】（1）由正弦定理，得，
即，
所以，
从而，
因为，所以．
（2）因为，
由（1）知，，解得，所以，
所以，，，
所以的面积为．
解题策略
(1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.
(2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.
【例1】在中，内角，，的对边分别是，，，则，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用正弦定理可得，代入已知可得，再由余弦定理可得所求角.
【详解】解：在中，因为，
所以，由正弦定理可得，
又因为，
所以，
由余弦定理可得，
由，可得，
故选：B.
一、单选题
1．（2023下·江苏宿迁·高一校考阶段练习）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦边角关系及已知设，应用余弦定理求即可.
【详解】由正弦边角关系知：，令，
所以.
故选：A
2．（2023下·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）已知的角的对边分别为，且满足，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得，利用余弦定理可构造方程求得的值.
【详解】由正弦定理得：，
，又，，，
由余弦定理得：，解得：（舍）或.
故选：B.
3．（2023下·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理角化边，再利用余弦定理可得答案.
【详解】因为，
所以，由正弦定理得，
即，
由余弦定理得．
因为，
所以．
故选：B.
4．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）记的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
【详解】由，
由正弦定理得，即，
，，
所以.
故选：A
5．（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，，的面积为2，则三角形外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式，求得，再由余弦定理求得，结合，即可求解.
【详解】由三角形的面积公式，可得，解得，
又由，可得，
由正弦定理，所以.
故选：C.
6．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）在中，角的对边分别为的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合正弦定理，和余弦定理求出，进而得到，应用面积公式即可.
【详解】由，得，
，，
，
即，解得，
，，，
.
故选：C
7．（2023下·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圆直径.
【详解】由得，
，
即：，可得.
又因为，可得．
又已知，，
由余弦定理得
，
解得.
则外接圆直径.
故选：D.
8．（2023下·天津·高一天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）下列结论正确的个数为（ ）
①在中，若，则；
②在锐角中，不等式恒成立；
③在中，若，，则为等腰直角三角形；
④在中，若，，面积，则外接圆半径为.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据大边对大角、余弦函数的单调性可判断①；由余弦定理可判断②；由余弦定理、正弦定理可判断③；由三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理可判断④.
【详解】对于①：在中，若，根据大边对大角则，
因为，在上单调递减，所以，故选项①正确；
对于选项②：在锐角三角形中，，即，
故不等式恒成立，故选项②正确；
对于选项③：在中，，
由余弦定理可知：，因此有
可得
，
即，因为，所以，
因此，所以或，即，或（舍去），
，所以，故③正确．
对于选项④：在中，若，，三角形面积，
所以，解得，
所以，
由正弦定理，故选项④正确．
故选：D．
二、多选题
9．（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）对于，下列说法错误的有（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
【答案】AC
【分析】对于A：根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B：根据正弦定理即可判断证明；对于C：利用余弦定理即可得解；对于D：根据正弦定理去判断即可．
【详解】对于选项A：因为在三角形中，，
故若，则或，可得或，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A不正确，
对于选项：若，则，由正弦定理可得成立．故B正确；
对于选项C：由余弦定理可得：，
即，只有一解，故C错误；
对于选项D：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以C为钝角，即是钝角三角形，故D正确；
故选：AC．
10．（2023下·全国·高一随堂练习）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（ ）
A．已知且 B．已知且
C．已知且 D．已知且
【答案】AC
【分析】利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状.
【详解】对于A、因为，所以，由余弦定理得，，
又，所以，所以，所以，所以，
所以为等边三角形..故A正确；
对于B，因为，，所以或，
当时，，所以，所以为等边三角形；
当时，，所以为等腰三角形.故B错误；
对于C，因为且，所以；所以，所以，
又，所以，所以为等边三角形.故C正确；
对于D，因为；所以，即，所以，
所以或，所以或，
当时，，所以，所以为等边三角形；
当时，，所以，，所以为直角三角形.故D错误.
故答案为：AC.
三、填空题
11．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为 ．
【答案】
【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据余弦定理可得，进而可得的面积.
【详解】由，结合正弦定理可得，故，
故，因为，故，又，故.
由余弦定理，则，解得.
则.
故答案为：
12．（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为 ．
【答案】
【分析】根据正弦定理边角互换与余弦定理化解原式，求解出角A，最后根据正弦定理求出的外接圆的半径.
【详解】由正弦定理得，则
，
所以的外接圆的半径为．
故答案为：.
13．（2023下·广西钦州·高一统考期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则 .若，，则 .
【答案】
【分析】设的外接圆半径为，由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；利用二倍角的余弦公式求出的值，利用余弦定理可求得的值.
【详解】设的外接圆半径为，则
，
由二倍角的余弦公式可得，
由余弦定理可得，故.
故答案为：；.
14．（2023下·湖南岳阳·高一校联考阶段练习）已知中，，，的对边分别为a，b，c，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为 ．（只要写出一个正确答案的序号即可）
【答案】②或③
【分析】对于①，可利用余弦定理进行判断，对于②，可数形结合，根据b与csinB、c的关系进行判断；对于③，利用三角形面积公式即可求解并判断．
【详解】对于①：根据余弦定理可求边a只有一解，故三角形只有一解；
对于②：如图，

∵，故以A为圆心，b=4为半径的圆弧与BD有两个交点，即三角形有两解．
对于③：或，故三角形有两解．
综上，答案为②或③
故答案为：②或③
15．（2023下·江西九江·高一统考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据正弦定理边角化得，进而可得，由余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】由正弦定理可得,
由于，所以，
由得，
故,
所以，
故的面积为,
故答案为：
四、解答题
16．（2023下·河南·高一校联考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点是边的中点，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理化简条件，利用余弦定理求出，即可得出答案；
（2）利用余弦定理列出方程求解即可.
【详解】（1）由题意及正弦定理知，
，
，
，．
（2）因为点是AC边的中点，，
两边同时平方可得：
，，，
，
即，解得（舍）或 .
故边的值是2.
17．（2023下·全国·高一随堂练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角的大小；
(2)若，，的面积为，求a，c的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）直接利用正弦定理结合三角恒等变换得到，得到答案.
（2）利用面积公式得到，根据余弦定理得到，解得答案.
【详解】（1），故，
即，整理得到，
，，
故，，
故.
（2），故，
，
故，
又，解得，.
18．（2023下·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）在中，角、、的对边分别为，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）若，由正弦定理角化边可得，结合及预习定理即可求解；
（2）一方面：由，结合三角函数平方关系可以求出，结合三角形面积公式可知只需求出即可；
另一方面：由（1）中分析可知，所以由余弦定理并结合，，即可求出；结合以上两方面即可求解.
【详解】（1）若，所以由正弦定理可得，
又因为，所以，
由余弦定理可知.
（2）一方面：由题意，且，
所以解得，由可知只需求出即可；
另一方面：由（1）中分析可知，又因为，，
且由余弦定理有，
所以有，
整理得，解得或；
结合以上两方面有：的面积为或.
19．（2023下·广东珠海·高一统考期中）在中，内角、、所对的边分别是、、，且
(1)求角；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及辅助角公式求解；
（2）利用余弦定理和面积公式求解.
【详解】（1）因为
由正弦定理得
因为,
所以，
所以
因为，
所以，
所以，所以，
因为
所以，.
（2）因为，，
由余弦定理得：
，即，
因为，所以，
所以，所以.正余弦定理解三角形
①余弦定理
②正弦定理
③判断三角形形状
④解三角形面积问题
⑤正余弦定理的综合应用
一、余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的推论
；；
二、利用余弦定理解三角形
（1）解三角形
一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
（2）余弦定理在解三角形中的应用
①已知三角形的三边解三角形
连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角.
②已知两边和它们的夹角解三角形
用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角.
③已知两边及其中一边的对角解三角形
例如：已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角.
三、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
四、三角形面积公式
三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
【常用结论】
1.解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
解题策略
1.已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出的两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出的两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出的两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.
2.已知三边解三角形的步骤
(1)分别用余弦定理的推论求出两个角.
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
【例1】中，，则（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意，.
故选：C.
【例2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，设,利用余弦定理求解.
【详解】解：在中，，
设,
由余弦定理得，
因为，所以，故选：C
【例3】的三内角所对边分别为，若，则角的大小（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【详解】解：由余弦定理得，
因为，所以.故选：B
一、单选题
1．（2024·全国·高一假期作业）在中，已知，则角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高一假期作业）在中，若，则角的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高一假期作业）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
5．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，，则最长边（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2024·全国·高一假期作业）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2024·全国·高一假期作业）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2024·全国·高一假期作业）钝角的内角、、的对边分别为、、，若，，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2024·上海·高一假期作业）在中，已知，且，则的值为 .
10．（2024·上海·高一假期作业）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 .
11．（2024·全国·高一假期作业）已知中，角的对边分别为，，则角 ．
12．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．

四、解答题
13．（2024·上海·高一假期作业）在中，已知，，. 求、及.
14．（2024·全国·高一假期作业）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求证：.
解题策略
1.解决已知两角及一边类型的解题方法
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
2.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
①由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数;
②在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表:
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a=b 无解 无解 一解
absin A 两解
a=bsin A 一解
a【例1】在中，，，，则角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理求得，从而求得.
【详解】由正弦定理得，
由于是钝角，所以是锐角，所以，所以.
故选：A
【例2】在中，角的对边分别为，已知，则角（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理即可得解.
【详解】在中，，
由正弦定理可得，可得，
又，
或.
故选：C.
【例3】在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【详解】由正弦定理和可得.
因为所以，所以，
因为，所以为.
故选：A
一、单选题
1．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·广东佛山·高一校考期中）的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
3．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）中，，，，则角C的大小为（ ）
A． B．
C． D．或
4．（2023下·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）在中，已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）在中，若，，，则可能是（ ）
A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°
7．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）记的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·福建泉州·高一校考期中）若的外接圆半径，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023下·广西玉林·高一校考阶段练习）设的内角的对边分别为．若，，则角可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）中，内角A，B，C对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在中，若，，则的值为 ．
13．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）在中，，则 .
14．（2023下·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若满足的三角形有两个，则边长a的取值范围是 .
15．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为
解题策略 判断三角形形状问题
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
①△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或 c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且 b2+c2>a2且c2+a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2+b2④若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=.
【例1】已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.
【详解】由，得，
整理得，则，
因为，所以，
又由及正弦定理，得，化简得，
所以为等边三角形，
故选：B
一、单选题
1．（2024·全国·高一假期作业）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．（2024·全国·高一假期作业）在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．（2024·全国·高一假期作业）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形
4．（2024·全国·高一假期作业）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．（2023下·浙江嘉兴·高一校联考期中）若，且，那么是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．（2023下·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）在中，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）在中，内角、、的对边分别为、、，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解题策略
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【例1】在中，已知，，，则的面积为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面积公式计算．
【详解】因为中，已知，，，
所以，由余弦定理得，
解得或2，
所以的面积或．
故选：B.
一、单选题
1．（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知中，，且的面积为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
2．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．
3．（2023下·甘肃武威·高一校联考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·全国·高一随堂练习）记的内角所对的边分别为，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
6．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）在中，角的对边分别为的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024上·宁夏石嘴山·高一统考期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，如图中阴影部分所示．若弧田所在圆的半径为，为圆心，弦的长是3，则弧田的面积是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则 .
10．（2023下·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且面积为，若，则 ．
11．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为 ．
12．（2023下·广东东莞·高一校考期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，，则△ABC外接圆的半径为 ．
三、解答题
13．（2023下·全国·高一随堂练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
14．（2023·江苏·高一专题练习）的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
15．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
(1)求B；
(2)若，且的面积为，求b.
16．（2023上·江西宜春·高一江西省丰城中学校考期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
解题策略
(1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.
(2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.
【例1】在中，内角，，的对边分别是，，，则，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用正弦定理可得，代入已知可得，再由余弦定理可得所求角.
【详解】解：在中，因为，
所以，由正弦定理可得，
又因为，
所以，
由余弦定理可得，
由，可得，故选：B.
一、单选题
1．（2023下·江苏宿迁·高一校考阶段练习）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）已知的角的对边分别为，且满足，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）记的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，，的面积为2，则三角形外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）在中，角的对边分别为的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023下·天津·高一天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）下列结论正确的个数为（ ）
①在中，若，则；
②在锐角中，不等式恒成立；
③在中，若，，则为等腰直角三角形；
④在中，若，，面积，则外接圆半径为.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）对于，下列说法错误的有（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
10．（2023下·全国·高一随堂练习）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（ ）
A．已知且 B．已知且
C．已知且 D．已知且
三、填空题
11．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为 ．
12．（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为 ．
13．（2023下·广西钦州·高一统考期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则 .若，，则 .
14．（2023下·湖南岳阳·高一校联考阶段练习）已知中，，，的对边分别为a，b，c，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为 ．（只要写出一个正确答案的序号即可）
15．（2023下·江西九江·高一统考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为 ．
四、解答题
16．（2023下·河南·高一校联考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点是边的中点，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边的值.
17．（2023下·全国·高一随堂练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角的大小；
(2)若，，的面积为，求a，c的值．
18．（2023下·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）在中，角、、的对边分别为，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的面积.
19．（2023下·广东珠海·高一统考期中）在中，内角、、所对的边分别是、、，且
(1)求角；
(2)若，，求的面积.

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