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第一章
事件与概率
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第一章 事件与概率
第一节 随机事件及其概率
第二节 概率的定义
第三节 概率的性质
第二节 概率的定义
第四节 条件概率与独立性
第五节 全概率公式与贝叶斯公式
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第二节 概率的定义
一、概率的古典定义
二、概率的几何定义
三、概率的统计定义
四、概率公理化定义
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.
事件的概率
概率是随机事件
发生可能性大小
的度量
事件发生的可能性
越大，概率就
越大！
事件发生的可能性
最大是百分之百，此时
概率为1.
0≤P(A)≤1
我们用P(A)表示事件A发生的概率，则
事件发生的可能性
最小是零，此时
概率为0.
概率曾经的定义
古典定义
几何定义
统计定义
主观定义
都有局限性
1933年前苏联数学家柯尔莫哥诺夫首次提出
概率的公理化定义
一、概率的古典定义
1. 古典概型
若试验E具有以下两个特征：
(1)试验所有可能的结果 (样本点)为有限个，
即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；
(2) 每个样本点的出现是等可能性的，
即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。
则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。
它是概率论发展初期的主要研究对象，因此称为古典概型.
由于它既简单，又概括了许多实际问题，所以至今仍在概率
论中有着重要的地位及广泛的应用。
2. 概率的古典定义
定义1.2.1 设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为：
Ω={ω1，ω2，…，ωn}
A={ωi1，ωi2，…，ωik}
则随机事件 A 的概率定义为：
法国数学家拉普拉斯（Laplace）在1812年把此式作为概率
的一般定义，现在通常称它为概率的古典定义，这是因为它只
适合于古典概型场合。
一、概率的古典定义
3. 事件概率的计算步骤
(1) 指出样本点；
(2) 计算样本空间中样本点的总数n；
(3) 指出事件A；
(4) 计算事件A中包含的样本点个数k；
(5) 计算事件A的概率P(A)。
一、概率的古典定义
例1. 10件产品中有3件次品，现从中任取5件。问
5件中恰有2件次品的概率？
解：10件产品中任取5件的一个组合，是一个样本点，因此，样本点总数为
设A=“5件中恰有2件次品”，则A包含的样本点总数为
从而，P(A)=
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，从
中任抽n个球，则这n个球中恰有k白球的概率是
例2. 一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第1卷放在最左边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成12345的概率？
设A=“第1卷放在最左边”,B=“从左到右正好按
卷号排成12345”。则A包含的基本事件总数为1*4!，B
包含的基本事件总数为1。
从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。
解：5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个
基本事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空
间中的基本事件总数)为5！。
例3（分球入盒）设有n个球，随机的放到N个盒子中去，(n≤N)，求下列事件的概率。(1)A=“指定的n个盒子中各有一个球”；(2)B=“恰有n个盒子各有一个球”。
解： n个球放入的N个盒子有Nn 种，即Ω中的基本事件总数为 Nn 种
(1)指定的n个盒子各放入一个球，共有n!放法，所以
(2)因为盒子没有指定，这n个盒子可以从N个盒子
中任意选取，共有CNn种选法，即B中的基本事件数
为CNn ×n!，于是
（可化为分球入盒的问题）
（１）生日问题：a) 宿舍住着6名同学，求6个人生日的月份互不相同的概率；b)一个班有30名同学，求至少有2人的生日在同1天的概率.
（２）抽签问题：设有a个白球，b个黑球，由a+b个同学依次抽１个，求第k个人抽到黑球的概率．
提示：把学生看作球，月份或天看作盒子，可化为
分球入盒问题。
提示：将a+b个人看作a+b 个盒子． 将a+b个球放入a+b盒中，每盒１个．问题化为，求第k个盒放入的是黑球的概率．
二、概率的几何定义
若试验E具有以下两个特征：
(1) 试验的样本空间Ω充满某个区域，其度量大小可用
SW表示；
(2)落在 中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量
SA有关，与子区域的位置无关.
定义1.2.2 设E为几何概型，样本空间Ω（可以是一维，也可以是二维、三维）的度量是SΩ；事件A为Ω的某个子区域，其度量为SA，则事件A的
概率定义为
Ω
A
则称这类随机试验的数学模型为几何概型。
例4（约会问题）甲、乙两人约定6-7点会面，约定先到者应等候另一人15分钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。
解 设x为甲到达的时间 (0≤x≤60)，y为乙到达的时间(0≤y≤60)。（x, y）的所有可能结果是边长为60的正方形，即
即
15
15
60
60
O
x
y
要使两人能会面，必有
其面积
这是一个几何概型问题，由等可能性知
其面积
例5 把长为1
的棒任意折成三段，求它们可以构成
三角形的概率.
解 设
‘A=三段可构成三角形’，又三段的长分别为
样本空间为
发生
,其面积为
o
1
x
y
则
即
1/2
1/2
其面积为
所求的概率为
即
即 fn(A)＝
三、概率的统计定义
（2）频率值依赖于具体的试验．
1. 频率定义
定义 如果在n次重复试验中事件A发生了
nA次，则称比值 nA/n 为事件A在n次试验中发
生的频率，记为fn(A).
（1）频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.
（3）事件出现的频率具有稳定性．
在大量次重复试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.
频率稳定性
例5 投硬币，观察其结果。
实 验 者
n
nH
fn(H)
蒲 丰
4040
2048
0.5070
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
定义1.2.3 在不变的一组条件下，重复进行n次
（大量）试验，随机事件A在大量重复试验中发生的
频率的稳定值 p 称为随机事件A的概率，记为P(A)，
即P(A) = p.
频率的性质：
⑴ 0≤fn (A)≤1; ⑵ fn (Ω) =1；
⑶ 若A1，A2，…，An 是两两互不相容的事件，
概率有哪些性质？先考察一下频率的性质.
2. 概率的统计定义
定义1.2.4 设E是随机试验，Ω是它的样本空间.对于E的每一事件A对应于一个实数P(A),称P(A)为事件A的概率，若P(A)满足下列三个条件：
(1) 0≤P(A)≤1;
(2) P(Ω)=1;
(3) 对于两两互不相容的可数个事件A1，A2，…，有
以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可加性.
四、概率的公理化定义
作业：
10 页: 3,4,6
备用题 例5 从5双不同的手套中任取4只，
（1）求四只都不配对的概率；
（2）恰有一双配对的概率.
解 设A＝“求四只都不配对”
B=“恰有一双配对”,则
例6 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：
（1）每组有一名运动员的概率；
（2）3名运动员集中在一个组的概率。
解:设A=“每组有一名运动员”;
B=“3名运动员集中在一组”
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：
例7 设两船到达同一码头的时间是随机的. 两船到达
后需在码头停留的时间分别是 1 与 2 小 时, 试求一昼
夜内, 任一船到达时, 需要等待空出码头的概率.
解 设船 1 与船 2 到达码头的瞬时为 x 与 y ，
0 x < 24 ， 0 y < 24
设 事件A 表示“任一船到达时需要等待空出码头”.
x
y
24
24
y = x
y = x + 1
y = x - 2

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