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第一章
事件与概率
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第一章 事件与概率
第一节 随机事件及其概率
第二节 概率的定义
第三节 概率的性质
第三节 概率的性质
第四节 条件概率与独立性
第五节 全概率公式与贝叶斯公式
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第三节 概率的性质
一、概率的常用性质
二、概率性质的应用
一、概率的性质
性质1
因为
由可列可加性
故
性质2. （有限可加性）若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则
由可列可加性有
性质3. 对于任一事件A，有
证明:因
则有
于是有
则 P (A-B) = P (A) - P (B).
B
Ω
A
证明： 由于
A = B ∪(A－B) 且B (A－B) = Φ,
P(A) = P(B)+ P(A－B),
于是 P(A-B) = P(A)-P(B).
性质4.
设A，B是两事件，若
推论(单调性).若 则P(A)≥P(B).
P (A-B) = P (A) - P (AB).
性质5.
对任意两个事件A，B,有
证明： A－B=A-AB 且
于是 P(A-B) = P(A-AB)=P(A)-P(AB).
性质6. 对任意两个事件A、B，有
证明：
推论(半可加性) P(A∪B ）≤ P(A)+P(B).
且
设随机事件A1，A2，A3 ，则
Ａ1
A2
A3
一般地 设A1，A2，…，An 是 n 个随机事件， 则




<


<
<

=
=
+
-
=
n
n
j
i
n
n
k
j
i
j
n
i
i
n
i
i
k
j
i
i
A
A
A
P
A
A
P
A
P
A
P
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
U
例1.已知
解：
由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B) P(A B)
= 0.4+0.3 0.6=0.1
所以 P(A B) = P(A) P(AB) = 0.3
P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A B)=0.6， 求 P(A B).
解：因为A, B, C 都不出现的概率为
= 1 P(A) P(B) P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC) P(ABC)
例2 已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/12, 求 A, B, C 都不出现的概率.
= 1 1/4 1/4 1/4+0+1/12+1/12 0 =1 7/12 = 5/12
例3.设A、B为两个随机事件,且P(A) = p,P(B) = q, P(AB) = r,求下列各事件的概率：
(2)
(3)
解: (1)
例4 从 1, 2, ……, 9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.
解：因为 “乘积能被10整除” 意味着：
“取到过5”(记为A) 且 “取到过偶数” (记为B)。
因此所求概率为 P(AB).
利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式
例5. 求证
证明: 由于
且 与 互不相容，于是
作业：
12 页: 3,4,7

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