资源简介

(共19张PPT)
第一章
事件与概率
e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C
第一章 事件与概率
第一节 随机事件及其概率
第二节 概率的定义
第三节 概率的性质
第四节 条件概率与独立性
第五节 全概率公式与贝叶斯公式
第五节 全概率公式与贝叶斯公式
e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C
第五节 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
二、贝叶斯公式
一、 全概率公式
引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个
白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙
盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率．
解：设Ａ1=“从甲盒取出2个红球”，Ａ2＝“从甲盒取
出2个白球”, Ａ3＝“从甲盒取出1个白球1个红球 ”；
B=“从乙盒取出2个红球
A1, A２, A3 两两互斥，且A1 A２ A3 =Ω, 所以
B=ΩB=(A1 A２ A3 )B＝A1B A２B A3B
P(B)=P(A1B A２B A3B)=P(A1B)+P(A２B)+P(A3B)
= P(A1)P(B|A1 )+P(A２)P(B|A２)+P(A3)P(B|A3)
定义1 设事件A1，A2，…，An为样本
空间Ω的一组事件
（1） AiAj=Φ （i≠j）
则称A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分.
样本空间的一个划分（完备事件组）
（2）
如果
A1
A2
A3
An
…
…
如引例中的
A1=“从甲盒取出2个红球”，
A2＝“从甲盒取出2个白球”,
A3＝“从甲盒取出1个白球1个红球 ”；
A1，A2，A３就构成了一个完备事件组
全概率公式 :
设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的
一个划分，且P(Ai)>0, i =1,2, …，n．
则对任意事件B，有
A1
A2
A3
An
…
…
B
按概率的可加性及乘法公式有
证明 因为
例1．设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．
第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取
3球，求第二次比赛取得3个新球的概率．
全概率公式的应用
如果试验Ｅ有两个相关的试验E1,E2复合而成，Ｅ１有若
干种可能的结果，E2在E１的基础上也有若干种可能的结果，
如果求和Ｅ2的结果有关事件的概率，可以用全概率公式．
试验E１的几种可能的结果就构成了完备事件组．
解：Ai=“第一次比赛恰取出i个新球”（i=0,1,2,3 )；
B=“第二次比赛取得3个新球”．
显然A0,A1，A2，A3构成一个完备事件组，由全概率公式得：
例2.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概
率分别为0.3,0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为 0.25, 0.3,
0.1, 0, 求他迟到的概率．
解：设 A1＝“乘火车去”， A2＝“乘轮船去”，
A3＝“乘汽车去”， A4＝“乘飞机去”，
B＝“迟到”.
易见, A1∪A2∪A3∪A4=Ω，且两两互不相容，
由全概率公式得
=0.3×0.25＋ 0.2×0.3＋ 0.１×0.1＋ 0.4×0=0.145
例3. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为
0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并
设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一
零件，问是合格品的概率为多少？
解：令B=“取到的零件为合格品”，
Ai=“零件为第i台机床的产品”,i=1,2.
此时,全部的零件构成样本空间Ω， A1, A2为Ω的一个
划分,由全概率公式得:
二、 贝叶斯公式
引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有４个
白球，１个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙
盒任取2球，已知从乙盒取出2个红球,求从甲盒取出两
个红球的概率
解：设A1=“从甲盒取出2个红球”，A２＝“从甲盒取
出2个白球”, A3＝“从甲盒取出1个白球1个红球 ”；
B=“从乙盒取出2个红球
A1, A２, A3 两两互斥，且A1 A２ A3 =Ω, 所以
贝叶斯公式:
设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分，
且P(Ai)>0, i =1,2, …，n． 则对任意事件B，若P(B)>0
则
证明:由条件概率的定义及全概率公式有
贝叶斯公式的应用
(1) 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而
成，E１有若干种可能的结果，E2在E１的基础上也有
若干种可能的结果，如果已知和E2的结果有关某事件
发生了，求与试验E１的结果有关事件的概率，可以用
贝叶斯公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完备
事件组．
(2)如果把样本空间的一个划分A1,A2,…,An看作是导
致事件B发生的各种原因，如果B发生了，求P(Ai|B)
可以用贝叶斯公式.
例4 某商店从三个厂家购进一批灯泡，其中甲厂占
25%，乙厂占35%，丙厂占40%。各厂产品的次品率分别为5%, 4%, 2%. 如果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂生产的可能性大
解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设
Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”，
由题意得: P(A1)=0.25, P(A2)=0.35，P(A3)=0,4，
P(B|A1)=0.05， P(B|A2)=0.04, P(B|A3)=0.02.
= 0.3628
由Bayes公式得:
同理可得
由此可知：次品由乙厂生产的可能性大.
例5 从银行的大数据分析得：当某人信誉良好时，
按时还款率为90%，而当某人信誉不好时，其按时还款率
为30%. 统计表明，信誉良好人的概率为75%，试求某人
按时还款时，其信誉是良好的概率。
解 设A1=“某人信誉良好”, A2=“某人信誉不好”.
B=“按时还款”，
已知P(A1)=0.75，P(A2)=0.25 ；P(B|A1)=0.9，P(B| A2)=0.3．
需要求的概率为P(A1 |B). 由贝叶斯公式
P(A1)（0.75）, P(A2) （0.25） 通常称为验前概率.
P(A1|B)（0.9）, P(A2|B)（0.1） 通常称为验后概率.
例6 用甲态蛋白法检验肝癌. 令
A = “被检验者患有肝癌”,
B= “甲态蛋白检验结果为阳性”
已知某地区居民肝癌发病率P(A) = 0.0004，在普查
中发现某人的甲态蛋白检验结果为阳性，求这批人中真
正患有肝癌的概率P(A | B) .
解 由贝叶斯公式得
由过去的资料已知
练习： 已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率．
解:设A1= “产品是合格品” A2= “产品是不合格品”,
B= “检查认为是合格品” .
已知P(A1)=0.96，P(A2)=0.04 ；P(B|A1)=0.98，P(B|A2)=0.05．
需要求的概率为P(A1 |B). 由贝叶斯公式
练习 1.无线电通讯中,发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“.”和“-”.由于干扰,发出信号“.”时,收报台以概率0.98收到信号“.”,发出信号“-”时,收报台以概率0.99收到信号“-”.求在收报台收到信号“-”的条件下,发报台发出信号“-”的概率.
解:设A1= “发出信号“.” ” A2= “发出信号“-” ”,
B= “收到信号“-” ” .
由贝叶斯公式得
2.玻璃杯每箱20只，假设各箱中有0, 1, 2只残次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1. 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看４只，如果无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；
(2)在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品概率
解 设
‘顾客买下该箱’
‘箱中恰有i件残次品’，
作业：22页
1, 5, 7，8

展开更多......

收起↑