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第二章
一维随机变量及其分布
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第二章 一维随机变量及其分布
第1节 随机变量及其分布函数
第2节 离散型随机变量
第3节 连续型随机变量
第2节 离散型随机变量
第4节 随机变量函数的分布
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第二节 离散型随机变量
一、离散分布随机变量的概
率分布列
二、常见离散型随机变量的
分布
一、离散型随机变量的概率分布列
1.定义 设离散随机变量 X 的可能取值为：
x1，x2，……，xn，……
称 pi=P{X=xi}， i =1, 2, …… 为 X 的概率分布列.
(Probability distribution)
分布列也可用表格形式表示：
X x1 x2 …… xn ……
P p1 p2 …… pn ……
或记成
2.概率分布列的基本性质
(规范性)
(1) pi 0，(非负性)
求离散随机变量的分布列方法：
(1) 确定随机变量的所有可能取值;
(2) 计算每个取值点的概率.
例1 ：已知随机变量X的概率分布为：
求常数a.
解：由概率分布的性质得：
得 15a= 1, 即
例2 一批零件有9件正品，3件次品，安装机器
时，从中任取一个，直到取到正品，就下列两种取样
方式a)放回取样；b)不放回取样，计算抽取次数Ｘ的
概率分布．
解： a)放回取样 X可取1，2，3，… ，概率分布为：
b)不放回取样 X可取1，2，3，4，概率分布为：
利用概率分布计算相关事件的概率
例3 随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
Pk 1/3 1/6 1/2
试求
已知离散型随机变量X的概率分布列，可以计算出X取任何值以及取值于任何区间的概率值，如
若I是一个区间，则
解
解: (1) 当x<0时，
F(x)=P{X≤x}＝Ｐ(Φ)=0
当0≤x<1时，
F(x)=P{X≤x}＝P{X=0}=1/3
当1≤x<2时，
F(x)=P{X≤x}
＝P{X=0}+P{X=1}=1/3+1/6=1/2
当2≤x时，
即
F(x)=P{X≤x}
＝P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1
3.离散型随机变量的分布函数
例4 随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
Pk 1/3 1/6 1/2
试求（1）X的分布函数F(x)，并作出F(x)的图形；
其图像为
F(x)的图形是如图所示阶梯形曲
线，在X=0，1，2处有跳跃点，
跳跃距分别为1/3, 1/6, 1/2．
o
1
2
y
x
1/2
1/3
1
3.离散型随机变量的分布函数
例4 随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
Pk 1/3 1/6 1/2
试求（1）X的分布函数F(x)，并作出F(x)的图形；
1/6
1/2
1
1/3
A
B
C
D
提交
3.离散型随机变量的分布函数
练习 设随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
Pk 1/3 1/6 1/2
试求 F(1)=( ).
单选题
1分
例5．设离散型随机变量X的分布函数为
求 (１)X 的概率分布；
（2）P{１≤X＜5}；
解：(1) P{X=0}=F(0)-F(0-0)
=0.3-0=0.3
P{X=1}=F(1)-F(1-0)
=0.5-0.3=0.2
P{X=3}=F(3)-F(3-0)
=0.9-0.5=0.4
P{X=5}=F(5)-F(5-0)
=1-0.9=0.1
(2) P{１≤X＜5}
=F(5-0)-F(1-0)
=0.9-0.3=0.6
小结：离散型随机变量的分布列与分布函数的关系
分布函数
分布列
这是因为
小结：离散型随机变量的分布函数的图像
F(x)的图形是阶梯形右连续的曲线，在x = xk (k=1,2,…)处具有跳跃间断点，其跳跃值为
二、常见的离散型随机变量的分布
1、 0-1分布
定义: 如果随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，其概率分布为
( 0＜p＜1，p+q=1)
即
X
P
1 0
p q
则称 X 服从0-1分布，(p为参数),记作 X～ B (1 , p ).
0-1分布也称为伯努利分布。
背景：样本空间只有两个样本点的情况都可以用0-1分布
来描述。如种子发芽与否、产品质量是否合格、某
实验是否成功等。
特别地 ：当 n=1时，二项分布退化为0-1分布.
2 、 二项分布
则称 X 服从参数为 n，p的二项分布, 记作X~B(n, p).
定义：如果随机变量X的概率分布为
( 0＜p＜1，p+q=1)
背景：用来描述n重伯努利概型，在n重伯努利试验中，用随机变量X表示在n次试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p).
例6. 某车间有10台同类型的机床，每台机床电动机功率为10千瓦，已知每台机床开动率为1/5,且开动与否是相互独立的. 现供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作(即电力够用)的概率有多大？
解:“电力够用”其含义是“同一时刻开动的机床数不
超过5台”，由题意知，每台机床开动的概率1/5,不开动的
概率为4/5，设X表示在任一时刻开动着的机床数，且
X~B(10, 1/5) ，那么在任一时刻开动着的机床不超过5台
概率为
解: 将每次射击看成是一次伯努利试验，X表示在400次射击中
击中的次数，则X~B（400，0.01）其分布律为
于是所求的概率为
例7. 某人进行射击，其击中率为0.01，独立射击400次，试求至少命中1次的概率。
≈0.9820
在二项分布B(n, p)中，当n值较大，而 p值较小时，有一个很好的近似计算公式，这就是著名的泊松定理。
泊松（Poisson）定理
设随机变量Xn（n=1，2，3…）服从二项分布，其概率分布为：
（k=0,1,2,…,n）
则有
从而 n较大，p较小时，有
这里概率Pn与 n有关. 如果lim npn=λ＞0（λ为常数），
n→∞
其中，
证明从略.
小概率事件原理：某事件在一次试验中发生的可能性很小，但只要重复次数足够大，那么该事件的发生几乎是肯定的。
解 因为
P { X = 0 } ≈ e -4，
于是
因此
P { X ≥1 } ≈ 1 - e –4
≈ 1 - 0.0183=0.9817
例7’ 利用近似公式计算例7中的概率P{X ≥1}。
3 、泊松分布
则称X服从参数为λ的泊松分布，记为 X~P(λ).
定义: 如果随机变量X的概率分布为
(其中λ＞0是常数)
查表：课本196页附表1 泊松分布表，对于给定的λ，可查
(1)一段时间内：售票口排队人数；某机场降落的飞机数；某超市的顾客数；保险公司理赔数等
(2)稀有事件（地震、特大洪水、草坪中的杂草等）发生次数.
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松（Poisson）首先提出的．泊松分布举例：
解：设X表示呼叫数，由题意知X ～P(3)，则
（3）P{X=2} = P{X ≥2}－P{X ≥3}
= 0.80085－0.57681 = 0.22404
（2）P { X ＜6 } =1－P{X ≥6}=1－0.08392 = 0.91608
（1）P { X ≥ 6 }
（1）呼叫次数不小于6；
（2）呼叫次数小于6；
（3）呼叫数恰好为2.
例8. 某人电话在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3的泊松分布，求下列事件的概率:
解：设 X表示同时发生故障的台数，则X～B(100, 0.01)
由于n较大，p较小，可用泊松分布作近似计算,其中 λ=np
λ=1, 所求事件概率为
例9.某厂有同类设备100台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01, 现有3名工人共同维修这些机器，求发生故障不能及时维修的概率．
4. 几何分布
定义: 若X的概率分布为
则称X服从参数为p的几何分布，记作X～ G(p).
背景：若X表示一个无穷次伯努利试验序列中，事件A首次发生所需要的次数，则X服从参数为p的几何分布.
注：几何分布的无记忆性。
　 如果在前m次试验中A没有出现，那么从m+1次起到首次出现A所进行的实验次数Y也还是服从几何分布，与前面的失败次数m无关，形象化地说，就是把过去的经历完全忘记了。
例10 某人向一目标射击,每次命中率为0.9,命中为止，求射击次数的概率分布。
解 设X表示所需的射击次数，则X的概率分布为
填表
作答
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
名称 参数 参数记号 概率分布列
0-1分布
二项分布
珀松分布
主观题
5分
作业：34页
1, 2, 5, 6

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