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第三章
多维随机变量及其分布
第1节 二维随机变量的联合分布
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第1节 二维随机变量的联合分布
一、二维随机变量的联合分布函数
三、连续型随机变量联合密度函数
二、离散型随机变量的联合分布列
一、二维随机变量的联合分布函数
引例:
1.子弹在靶上落点的位置必须用两个坐标X和Y来描述；
2. 在研究儿童的发育情况，考虑身高X、体重Y两个随机变量 .
3.考察炼出钢的质量，要考虑硬度X，含硫量Y，含碳量Z等随机变量.
特点: 试验结果需要用两个或两个以上的随机变量才
能描述 .
为n维(或者n元)随机变量或随机向量.
定义 若
是定义在同一个
样本空间
上的n个随机变量，则称
对于多维的随机变量,我们主要讨论二维随机变量,
二维随机变量常记为(X,Y)
一、二维随机变量的联合分布函数
定义 设(X, Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y,二元函数
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P｛X≤x,Y≤y｝
称为二维随机向量(X, Y)的分布函数, 或称为随机
变量X和Y的联合分布函数.
一、二维随机变量的联合分布函数
几何意义 F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
y
o
(x, y)
(X, Y )
计算概率： 对于任意的x1＜x2，y1＜y2，
P｛x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2｝
＝F（x2, y2）-F(x2,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)
y
x
o
x1
x2
y1
y2
(X, Y )
(x2 , y2)
(x2 , y1)
(x1 , y2)
(x1 , y1)
联合分布函数的基本性质
(2) (单调性) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调不减.
(1) (有界性) 0 F(x, y) 1，且
F( , y) = F(x, ) =0，
F(+ , + ) = 1.
(3) (右连续性) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续.
(4) (非负性)当x 1二、离散型随机变量联合分布列
1.定义 若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对，
则称(X, Y)为二维离散随机变量.
称
pij = P｛X=xi, Y=yj｝， i, j=1, 2, ...,
为(X,Y) 的概率分布列或随机变量 X与Y 的联合概率分布列，
其表格形式如下:
Y
X
y1 y2 … yj …
x1
x2
…
xi
…
p11 p12 … p1j …
p21 p22 … p2j …
… … … … …
pi1 pi2 … pi j …
… … … … …
2. 联合分布列的基本性质
(1) (非负性) pij 0, i, j = 1, 2,…
(2) (规范性) pij = 1.
3. 确定联合分布列的方法
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对.
(2) 计算取每个数值对的概率.
(3) 写出概率分布列或列出概率分布表.
例1. 设袋中共有3红，2蓝，4白球，现从中任取2只，以X，Y 记录取得的红、蓝色球数，求解下列问题.
解: 令X 表示取出的红球数，Y表示取出的蓝球数，
（X,Y）的所有可能取值为（0, 0）,（0,1）,（0, 2),
（1, 0）,（1,1）,（2, 0）依古典概型得
（i=0,1,2; j=0,1,2; 且i+j≤2）
如
(1) 求(X,Y)的概率分布
(2) P{X+Y=1}
(3) P{X+Y≤1}
(4) P{X=0}
Y 0 1 2
X
0
1 0
2 0 0
得X和Y的联合分布表为
(2) P{X+Y=1}
=P{X=1，Y=0}+P{X=0，Y=1}
(3) P{X+Y≤1}
= P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}
(4) P{X=0}
= P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2} = 5/12
= P{X=0，Y<+∞}
解 由题意知，｛X=i，Y=j｝的取值情况是：i=1,2,3,4，
且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公
式求得 ( X,Y ) 的分布律。
例 2 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数值。试求 ( X,Y ) 的概率分布列及P｛X=Y｝.
(X,Y)的联合概率分布表为
Y
X
1 2 3 4
1
2
3
4
三、连续型随机变量的概率密度函数
则称(X, Y)为二维连续型随机向量，f(x, y)为(X,Y)的概率密度函数，或X
和Y的联合分布密度.
1.定义 设 (X,Y)的分布函数为F(x, y)，如果存在非负可积函数 f(x, y)，使得对于任意实数x, y有
f(x, y) 示意图
f(x, y)
2.性质
40 设 G 是平面上的一个区域，点 (X,Y)落在
G 内 的概率为：
例3 已知二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率
密度，
解 （1）因为
所以
求 (1)k ; (2)F(x,y); (3)P{0（3）记D = {（x , y）| 0＜x＜1,0＜y＜1}，则
当x>0,y>0 时
（4）记D={(x,y) | x>0,y>0,x+y ≤ 1}，则有
x+y=1
两个重要分布
1 均匀分布
（1） 设平面区 D 的面积为 A ，若随机向量(X,Y)的概率密度为
则称随机向量(X,Y)在区域 D上服从均匀分布。
（2）若区域 D内任一部分区域 D1，其面积为 A1，则有
例4 设(X,Y)在区域D上服从二维均匀分布，其中区域D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域，求（1）二维随机变量(X,Y)的概率密度；
（2）P{Y -X}.
解: 1)
区域D的面积
随机变量（X,Y）的概率密度
直线 y=-x与区域D的边界交点坐标为 o(0,0),
2)
设
D1面积
若二维随机向量(X,Y)的（联合）概率密度为
其中μ1 ， μ2，,σ1，σ2，ρ均为常数，且σ1＞0，σ2 ＞0，|ρ|＜1， 则称(X,Y)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二维正态分布，记为：
(X,Y)~ N（μ1, μ2 ;σ12 ,σ22 ;ρ）
2 二维正态分布
若二维随机向量(X,Y)的(联合)概率密度为
例如. 若(X,Y)~ N（1，3；16，25；0），则其密度为
2 二维正态分布
(X,Y)~ N（μ1, μ2 ;σ12 ,σ22 ;ρ）
作业：57页
1, 4(1),(2)(3), 5, 8
0
1
1
(x,y)
0
1
1
(x,y)
0
1
1
(x,y)
(1) 当0≤x≤1， 0≤y≤1时
(2) 当0≤x≤1， y>1时
(3) 当x>1, 0≤y≤1 时
0
1
1
(x,y)
(4) 当x>1, y>1 时
(5) 其它时
即：

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