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第二章
一维随机变量及其分布
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第二章 一维随机变量及其分布
第1节 随机变量及其分布函数
第2节 离散型随机变量
第3节 连续型随机变量
第3节 连续型随机变量
第4节 随机变量函数的分布
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第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的概率密度
的定义
三、几种常见的连续型随机变量
的分布
二、连续型随机变量的概率密度
的性质
引例 靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心
的距离，求X的分布函数。
解 若x<0，则{X≤x}是一个不可
能事件，于是
若0≤x≤2，由题意得:
为确定k，取值x=2则有
若x>2，则有
所以：
易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
其中
引例中随机变量X具有下列特点：
一是X可在某个区间内连续取值，
二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示，
具有这些特点的随机变量，即为连续型随机变量.
引例 靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心
的距离，求X的分布函数。
§2.3 连续型随机变量
一、定义： 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，使得
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度.
(1) f(x)≥0
曲线下x轴上所围面积为1
若某函数满足这两条则一定可作为某连续型随机变量的概率密度函数.
注
二、性质：
二、性质：
(4) 在f(x)的连续点处有：
(5) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0.
由性质(5)可得
§2.3 连续型随机变量
例1.设随机变量X的密度函数为
求 (1)常数A;
解: (1)由于f(x)是一个密度函数,
解得 A=2/3
注:(1)若概率密度中含有待定常
数，可由 确定.
(2)X取值于某区间的概率等
于其密度函数在对应区间的积分.
§2.3 连续型随机变量
例2.设连续型随机变量X的概率密度为
求分布函数F(x)．
当0≤x＜1时，
当1≤x＜2时，
当x≥2时,
例3 设连续型随机变量的分布函数为
(1)：求X的密度函数f(x)。
(2): P{1解：
(2): P{1A
B
C
D
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练习 下列函数可作为概率密度函数的为（ ）
单选题
1分
(一) 均匀分布
如果随机变量X的概率密度为
分布函数为
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布, 记为X～U[a,b].
三 、常见连续型随机变量的分布
(一) 均匀分布
如果随机变量X的概率密度为
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布, 记为X～U[a,b].
得：X 落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关．
三 、常见连续型随机变量的分布
例4.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
解：由于X服从均匀分布，故X的概率密度为
从而， P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤-3}
方程有实根等价于4X2-36≥0 , 即X≥3或X≤-3.
(二) 指数分布
其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的指数分布, X～E(λ).
若随机变量X的密度函数为
三 、常见连续型随机变量的分布
(二) 指数分布
分布函数为
指数分布常用来作各种“寿命”的分布，如电子元
件的寿命、动物的寿命等；某一事件发生的等待时间，
如电话的通话时间等都服从指数分布．
三 、常见连续型随机变量的分布
指数分布的应用
注：指数分布的无记忆性。
例5 设随机变量X表示一种电灯泡的使用寿命，其分布密度
求电灯泡使用超过100小时的概率。
解:方法１:设X表示灯泡的寿命，则X服从λ＝1/100
的指数分布
方法2：
(三)正态分布
1. 定义 若X的概率密度为
分布函数
F(x)
x
其中μ,σ2(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss）分布,记作 X～ N(μ,σ2)
f(x)
0
x
正态概率密度函数的几何特征
(6) 固定σ，改变μ值，曲线 f(x)形状不变，仅沿 x 轴平移. 可见μ确定曲线 f(x)的位置.
(7) 固定μ，改变σ值，则σ愈小时， f(x)图形的形状愈陡峭，X 落在μ附近的概率越大.
当m = 0, s = 1时，称为标准正态分布. 记作X～N(0 , 1) .
-x
x
1-Φ(x)
Φ(-x)
⑷ 标准正态分布的特点
⑶ 标准正态分布
标准正态分布的密度函数
标准正态分布的分布函数
若X服从标准正态分布.
即 X～N(0 , 1) ，则
事件概率的计算
若a>0 , 则
例如：查表
Φ（2.35）
= 0.9906
Φ（-1.64)
=1-Φ(1.64)
=1-0.9495=0.0505
4. 标准正态分布概率的查表计算
4) P{|X| >1.54}
例6 设X～N（0，1）计算
解(1)P{X≤2.35}
(2) P{-1.64 ≤X＜0 .82}
= Φ（0.82）- [1-Φ(1.64)]
3) P{|X| ≤1.54}
(1) P{X ≤2.35}；
(2) P{-1.64 ≤X＜0 .82}；(3) P{|X| ≤1.54}.
(4) P{|X| >1.54}
=Φ（2.35）
= Φ（0.82）- Φ（-1.64)
=Φ（1.54）- Φ（-1.54)
=2 Φ（1.54）-1
= 1- P{|X| ≤1.54}
=1－0.8764
= 0.9906
= 0.7434
= 0.8764
=0.1236
5. 一般正态分布概率的查表计算
1）正态分布的标准化
2）
X～ N（μ,σ2）
解：(1) P{X＞-2}=1 - P{X≤-2} =
=0.9332
=1－Φ(-1.5)= Φ(1.5)
=0.0730
=1- [Φ(1.5) - Φ(- 2.5) ]
= 2-Φ(2.5) - Φ(1.5)
(3) P{|X|＞4} = 1-P {|X|≤4} = 1 - P {- 4≤X≤4}
(2)
=0.9772－0.6915=0.2857
例7. 设X ~ N (1，4)，求：
(1) P{X＞-2}；(2) P{2＜X＜5}；(3) P{|X|＞4}.
例8 设X ~ N (μ,σ2)，
求P{|X-μ|＜σ}，P{|X-μ|＜2σ}，P{|X-μ|＜3σ}
解 P{|X-μ|＜σ}= P{μ-σ＜X＜μ+σ}
类似可得
设
求得概率值
正态r.v的值几乎都落在 内
3σ原则：
例9 设X～N（25，36），试求满足
P{|X-25|≤c}= 0.9544的常数 c
解 ∵ P {|X-25|≤c}
∴ C=12
A
B
C
D
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练习. 设随机变量
且
则( ).
单选题
1分
作业：43页
1, 3, 4, 5, 7,9

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