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第二章
一维随机变量及其分布
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第二章 一维随机变量及其分布
第1节 随机变量及其分布函数
第2节 离散型随机变量
第3节 连续型随机变量
第1节 随机变量及其分布函数
第4节 随机变量函数的分布
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第一节 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
二、随机变量的分布函数
一、随机变量的概念
为了便于研究随机试验，需要把试验结果数量化，因此需要引入随机变量的概念
例1. 从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验，观察发芽粒数.
显然Ω={0，1，…，20}，用变量X表示发芽粒数，则X的所有可
能取值为 0，1，…，20.
某些随机试验结果和实数之间存在着某种自然的联系：
又如：射击中靶次数；掷一枚匀质的骰子出现的点数；某网站的点击数等。
例2. 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况.
记ω1= {正面朝上}， ω2={反面朝上} .
X也是定义在Ω={ω1，ω2}上的函数，是随机变量.
在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.
ω.
X(ω)
R
一、随机变量的概念
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每
一个ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，
则称X(ω)为随机变量(Random variable)，并简记为X.
注意：
1.X是定义在Ω上的实值、单值函数。
2. 因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量X的取值也有一定的概率.
3. 随试验结果不同, X取不同的值，试验前可以知道
它的所有取值范围，但不知确定取什么值.
(4) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b}、……
均为随机事件.
若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或
可列个，则称 X 为离散随机变量 ( Discrete
random variable)
若随机变量 X 的可能取值是无穷多个并且是不可列，则称X是非离散型随机变量。而非离散型最常见和最重要的是连续随机变量 (Continuous random variable)
两类常见的随机变量
用随机变量表示随机事件
例3. 在灯泡寿命试验中，随机变量X 表示灯泡寿命，则“灯泡的寿命不低于1000小时”表示为{X≥1000} .
例4.上午 8:00～9:00 在某路口观察，令 Y表示该时间间隔内通过的汽车数，则 Y 就是一个随机变量．“通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆”这一随机事件可以表示为{50＜Y≤100} ．
例5. “正面朝上”可以表示为{X=1} .
一般地：{X=k} ，{X≤a} ，{a＜X≤b}等表示一个随机事件.
所谓随机变量就是对随机试验引入某个变量，并用这个变量的取值来描述试验结果。
（1）随机变量X可能取哪些值？
（2）随机变量X取某个值或取某个区间值的概率有多大？
对于一个随机试验，我们关心下列两件事情：
引入随机变量后, 上述说法相应变为下列表述方式：
（1）试验会发生一些什么事件？
（2）每个事件发生的概率是多大？
事件及
事件的概率
随机变量及其
取值规律
问题的提出：
对于离散型的随机变量，可讨论取一个值的概率；
对于非离散型的随机变量，转为讨论落入某一个区间
(a, b), (a, b], [a, b), (- ∞, b), (- ∞, b], (a,+∞), [a,+∞)的概率．
x
二、随机变量的分布函数
一般地，选定 {X≤x}区间，来讨论P{X≤x}问题.
二、随机变量的分布函数
定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F(x)=P{X≤x} ( -∞< x <+∞ )
为随机变量X的分布函数(Distribution function)。
随机变量的分布函数F(x)是关于自变量x的普通的函数，它不再是随机的! 通过它，我们就可以用高等数学的工具来研究随机变量.
注
x
二、随机变量的分布函数
利用分布函数可计算随机变量取值于某区间的概率
P{X≤b}=F(b)
P{X>a}=1 – P{X≤a}=1-F(a)
例1 设X的分布函数为
计算
解：
2.性质 设随机变量X的分布函数为F(x), 则
(1) 有界性：0≤F(x)≤1;且
(2) 单调性：F(x)是x的单调的不减函数;
(3) 右连续性：F(x0+0)=F(x0)，即F(x)是右连续函数.
当
当
随机变量的分布函数必满足性质(1)(2)(3)
注
性质(1)(2)(3)是分布函数的本质特征
满足性质 (1)(2)(3) 的F(x)必是某r.v.的分布函数
练习：下列函数哪一个是分布函数（ ）.
A
B
C
D
提交
单选题
1分
例2 设X的分布函数为
求（1）常数A,B；（2）
解 （1）由分布函数的性质知
得
解得 :
（2）
作答
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
练习 设X的分布函数为
（2）求
主观题
5分
例3 已知随机变量X在整个实数轴上取值，其分布函数为
解：
由分布函数的性质知
于是有
注:
(1)若分布函数中含有待定常数，可由
或F(x)的右连续性确定.
(2)若求有关事件的概率，可利用
例2 靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心
的距离，求X的分布函数。
解 若x<0，则{X≤x}是一个不可
能事件，于是
若0≤x≤2，由题意得:
为确定k，取值x=2则有
若x>2，则有
所以：
作业：28页
1， 4，6（2）

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