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第二章
一维随机变量及其分布
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第二章 一维随机变量及其分布
第1节 随机变量及其分布函数
第2节 离散型随机变量
第3节 连续型随机变量
第4节 随机变量函数的分布
第4节 随机变量函数的分布
e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C
第4节 随机变量函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布
二、连续型随机变量函数的分布
设 y = g( x) 为 x的函数，X为随机变量。则 Y= g(X)
也是一个随机变量，且当X取值x时，Y 取值 y = g( x).
内容：已知 X 的概率分布，求其函数 Y = g(X)的概
率分布.
已知圆的直径X~ N（μ,σ2），求圆的面积：Y= 1/4πX2
的概率分布.
一、X为离散型随机变量
二、 X为连续型随机变量
一 、离散型随机变量函数的分布
若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且
它的取值为yk=g(xk), 其分布可以直接由X的分布求得.
例1 已知X的概率分布为
X -1 0 1 2 5
pk 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25
求 1）Y=2X+1 ；2）Z=X2-2 的概率分布
解 1）
Y -1 1 3 5 11
pk 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25
Y=2X+1 -1 1 3 5 11
X -1 0 1 2 5
例1 已知X的概率分布为
X -1 0 1 2 5
pk 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25
求 2）Z=X2-2 的概率分布
解 2）
Z -2 -1 2 23
pk 0.1 0.3+0.2 0.15 0.25
Z=X2-2 -1 -2 -1 2 23
X -1 0 1 2 5

则 Y y1 y2 … y k …
Pk p1 p 2 … pk …
即 若X的概率分布为 X x1 x2 … x k …
Pk p1 p 2 … pk …
2）若yk中有相同的情形，则应把那些相同的值加以合并，再根据加法定理把对应的概率pk相加。
一般地 1）若yk=g(xk)的值全不相同，则P{Y= yk}=P{X= xk}
例2. 设随机变量 X 具有密度
二、连续型随机变量函数的分布
1)求函数Y = X2 的概率密度.
2)求函数Y = 2X -1概率密度.
解 1）
先根据X 的取值范围及Y和X的函数关系确定Y的取值范围，易见
得
因此，当
所以只需要求出
时fY(y)表达式，先求Y的
分布函数
例2. 设随机变量 X 具有密度
1)求函数Y = X2 的概率密度.
设Y的分布函数FY(y) .
当
一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤：
10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y);
20 由 fY(y) =
1. 分布函数法
求出 fY (y).
二、连续型随机变量函数的分布
其中
例2. 设随机变量 X 具有密度
二、连续型随机变量函数的分布
2)求函数Y=g(X) = 2X -1概率密度.
解 1）
先根据X 的取值范围及Y和X的函数关系确定Y的取值范围，注意y=g(x)=2x-1是单调增加函数
得
因此，当
所以只需要求出
时fY(y)表达式，先求Y的
分布函数
即当X在[-2,2]取值时，Y=g(X)在[g(-2),g(2)]=[-5,3]取值.
例2. 设随机变量 X 具有密度
1)求函数Y=g(X) = 2X -1的概率密度.
设Y的分布函数FY(y) .
当
二、连续型随机变量函数的分布
（当g(x)严格单调时）
定理1 设 X ~ fX(x)>0，y = g(x) 是 x 的严格单调函数，
记 x = h(y) 为 y = g(x) 的反函数, 且h(y)连续且可导，则
Y = g(X)的密度函数为:
其中
若fX (x)在有限区间[a,b]以外等于0，则g(x)只需设
在[a,b] 上严格单调即可，此时
2. 公式法
由此得Y的概率密度函数为
同理可证当y=g(x)严格单调下降函数时,有
证明 不妨设y=g(x)严格单调上升函数,这时它的反
函数也是严格单调上升函数,于是
例3 设 , 求随机变量 （a,b均为常数,a≠0 )的概率密度.
解: 由于X～ N(μ,σ2 )，所以X的概率密度为
y=g(x)=ax+b在 (-∞,+∞)内单调、 可导，且
α=min{g(-∞),g(+∞)}= -∞ , β=max {g(-∞),g(+∞)}= +∞.
其反函数x=h(y)=(y-b)／a在(-∞,+∞)上单调、
可导，且h’(y)=1／a ，故Y=aX+b的密度函数为
即：
特别地，
例4.设X在(0,1)内服从均匀分布，求
的概率密度函数.
解：由于X在(0,1)内服从均匀分布，其概率密度为
在(0,1)单调减少，
反函数为
所以,
的概率密度为
解：X服从参数为2的指数分布
在(0,+ ∞)单调，
反函数为
所以,
的概率密度为
即 Y在(0,1)内均匀分布.
作业：47页
1，4，5
备用题. 设随机变量 X在[-1,2]均匀分布
求函数Y = X2 概率密度.
解:
当 y≤0时，FY (y)=0，
当 0则Y 的分布函数 FY (y)
由于 X~U[-1,2]，其密度为
当 1 ≤ y≤4时，
当 y≥4时，FY (y)=1.
故 Y的密度函数为
分布函数
随机变量
的概率分布
随机变量
的概率密度
分布函数
的性质
概率分布与
分布函数的关系
概率密度与
分布函数的关系
本 章 结 构 图
离散型
连续型
常见的
离散型分布
常见的
连续型分布
随机变量
随机事件
X( )
数值化
P{X x}
本 章 小 结
所有随机变量：分布函数
离散型：分布律
连续型：概率密度
随机变量的分类：
统计规律的描述：
随机变量概率的计算
常见随机变量的分布
随机变量函数的分布

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