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(共39张PPT)
第三章
多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
第1节 二维随机变量的联合分布
第2节二维随机变量的边缘分布
第3节 随机变量独立性
第2节二维随机变量的边缘分布
第5节 二维随机变量函数的分布
第4节二维随机变量的条件分布
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第2节二维随机变量的边缘分布
一、二维随机变量的边缘分布函数
二、二维随机变量的边缘分布列
三、二维随机变量的边缘密度函数
边缘分布
设(X,Y)是二维随机变量, (X,Y)作为一个整体，
有其分布,我们称为X和Y的联合分布, 而X和Y都是
一维随机变量，它们也有自身的概率分布，分别称
为关于X和Y的边缘分布.
在本节,我们主要讨论如何由联合分布来确定边
缘分布.
一、边缘分布函数
设(X, Y)的联合分布函数F(x, y)则 X 和 Y 的边缘分布
函数 FX(x) , FY(y) 则
x
y
x
x
y
y
例1 已知随机向量(X,Y)的联合分布函数为
求 (1) 联合密度函数f(x,y)；
(2)X,Y的边缘分布函数．(3) P{X>2}.
(1) f(x,y)
(2)
(3) P{X>2}=1-FX(2)
1
p.1 p.2 … p.j …
P{Y=yj}
p1.
p2.
pi.
p11 p12 … p1j …
p21 p22 … p2j …
pi1 pi2 … pij …
… …
x1
x2
xi
P{X=xi}
y1 y2 … yj …
X
Y
( i = 1,2, …) ( j =1,2, …)
例如
二、二维随机变量的边缘分布列
( i =1,2, …) ( j = 1,2, …)
设 (X, Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj}, 则
(X, Y) 的边缘分布列为
即
p1. p2. ··· pi. ···
pi.
x1 x2 ··· xi ···
X
p.1 p.2 ··· p.j ···
p.j
y1 y2 ··· yj ···
Y
二、二维随机变量的边缘分布列
你只要把每列的概率
相加放在该列的最下
面，就得到Y的边缘分布.
把每行的概率相加放在
该行的最右面，就得到
X的边缘分布.
例2 已知随机向量（X，Y）的联合分布如下表，求关于X 和Y 的边缘分布。
Y X 1 2 3
1 0.05 0. 1 0
2 0. 2 0. 3 0. 1
3 0 0.15 0. 1
Y X 1 2 3 pi.
1 2 3 0. 05 0. 2 0 0. 1 0. 3 0.15 0 0. 1 0. 1 0. 15
0. 6
0. 25
p.j 0. 25 0. 55 0. 2
把第一行和最后一行拿
出来就是Y的分布；把第一列和最后一列拿出来就X的分布。
三、二维随机变量的边缘密度函数
由于
所以
类似可得
设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
f(x,y),其关于X和Y的边缘密度函数,分别记为fX(x),fY(y).
例3 设(X,Y)的概率密度是
求 (1)两个边缘密度; （2）P{X<1/2}
解 首先注意f(x,y)的非零区域,见下图.
o
x
y
1
-1
(1) X的边缘密度函数
当x≤0或x≥1时,
当0故
例3 设(X,Y)的概率密度是
求 (1)两个边缘密度; （2）P{X<1/2}及P{Y>1/2}
o
x
y
1
-1
Y的边缘密度函数
当y≤-1或y≥1时,
当0≤y<1时，
故
当-1例3 设(X,Y)的概率密度是
求 (1)两个边缘密度; （2）P{X<1/2}
(2)
P{X<1/2}
或
P{X<1/2}
o
x
y
1
-1
例4 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1}
上的均匀分布，求X 的边缘密度f(x).
解 由题意得
x
y
-1
1
当|x|>1时，f(x, y)=0，所以 fX(x)=0
当|x|≤1时,
不是均匀分布
解 令
可见 X~ N(μ1,σ12 ) , Y~ N(μ2,σ22 ).
例5 设(X，Y)服从N(μ1,μ2 ,σ12,σ22,ρ)，求边缘密度.
既若(X，Y)~N(μ1,μ2 ,σ12,σ22,ρ),则
X~ N(μ1,σ12 ) , Y~ N(μ2,σ22 ).且两个边缘分布与第5
个参数无关, 由此得
正态分布的边缘分布仍为正态分布
边缘分布不能确定联合分布
联合分布比边缘分布包含更多的信息
( X, Y )联合分布
（X，Y）边缘分布
一般
F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
FX(x) = F（x,＋∞）
F Y(y) = F（＋∞, y）
离散型
P{X=xi ,Y=y j}= pi j
pi .=P{X= xi}=
p.j=P{Y= yj}=
连续型
i, j=1, 2, ...,
i=1, 2, ...,
j=1, 2, ...,
作答
( X, Y )联合分布
（X，Y）边缘分布
一般
F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
FX(x)=（ ）
F Y(y) =（ ）
离散型
P{X=xi ,Y=y j}= pi j
pi .=P{X= xi}=
p.j=P{Y= yj}=
连续型
i, j=1, 2, ...,
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
填空
填空
主观题
2分
练习 设二维随机变量的概率密度为
求（１）求边缘概率密度;
(1)解
当x>0时
当x≤0时
x
y
o
(1/2,1/2)
练习 设二维随机变量的概率密度为
求（１）求边缘概率密度;
x
y
o
作业：64页
2, 4，5
备用题P-65 5 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求C及X和Y边缘概率密度;
解 因为
得：
所以：
二维随机变量(X,Y)的概率密度为
当x>0时
当x≤0时
所以
当y>0时
当y≤0时
所以
第二章 矩阵
Probability theory and mathematical statistics
第三章 多维随机变量及其分布
公共数学系概率统计课程组
概率论与数理统计
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第三章 多维随机变量及其分布
第1节 二维随机变量的联合分布
第2节二维随机变量的边缘分布
第3节 随机变量独立性
第3节 随机变量独立性
第5节 二维随机变量函数的分布
第4节二维随机变量的条件分布
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第3节 随机变量独立性
一、随机变量独立性的定义
二、随机变量独立性的判定
设二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x，y)，边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，若对所有的 x，y 都有
则称随机变量X与Y是相互独立的.
即
引例. 同时投甲乙两枚筛子，X表示甲筛子出现的点数，Y 表示乙筛子出现的点数
显然，X与Y的取值互不影响，即有
一、随机变量的独立性定义
四、随机变量的独立性
定义 设两个随机变量X, Y, 若对任意的实数 x, y 有
F(x，y) = FX(x) FY(y)
P{X≤x, Y≤y} = P{X≤x} P{Y≤y}
则称随机变量X与Y是相互独立的。
1. (X, Y)是离散型
若(X,Y)的所有可能取值为(xi, yj) (i, j=1, 2, …), 则X与
Y相互独立的充分必要条件是对一切 i, j=1, 2,… , 有
P{X = xi，Y= yj}= P{X= xi}· P{Y= yj}
即
若(X, Y)是二维连续型随机变量，则X和Y相互独立的充分必要条件是
f(x,y) = fX(x)· fY (y)
几乎处处成立（在平面上除去面积为0的集合外，上式处处成立）.
2. (X, Y)是连续型
证明 充分性：若 f(x,y) = fX(x)· fY (y)，
则
必要性：若X、Y互相独立，则F(x,y)= FX(x)· FY(y)，
故 f (x,y) = fX(x)· fY (y)
即
(1) X 与Y是独立的其本质是：
注
任对实数a, b, c, d，有
(3) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
(2) 在X 与Y独立的前提下,边缘分布可以确定联合分布：
(4) 类似可定义n个随机变量X1, X2,…, Xn的独立性.
例1．已知X,Y的边缘分布列，且X与Y 相互独立，
X 1 2
pi · 1/3 2/3
Y 1 2 3
p· j 1/2 1/3 1/6
解：由独立性 p11= p1· p·1 = 1/6 ， p23= p2· p·3= 2/18
1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 2/6 2/9 2/18
X
Y
依次类推可得
求X和Y的联合分布列.
例2．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维
随机变量(X,Y)的联合分布及关于X和Y的边缘分布中
的部分数据，请补充下表：
1/24
1/4
3/4
1/12
1/3
1/2
3/8
1/4
例3.已知随机变量X和Y的概率分布为
(1)求X与Y的联合分布；(2）X和Y是否独立，为什么？
解（１）由P{XY=0}=1，得
P{XY≠0}=0
0=P{X=-1,Y=1}+ P{X=1,Y=1}
得：
P{X=-1,Y=1}=0,P{X=1,Y=1}=0
所以
0
0
1/4
1/4
0
1/2
2) 由于 0=P{X=1,Y=1}≠ P{X=1}P{Y=1}=(1/4)(1/2)
所以X和Y不独立.
例4 设(X,Y)的概率密度为
问X和Y是否独立？
解
即：
故X,Y 独立
例5 设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ), 求证X和Y相互独立的充要条件为参数ρ=0.
证明 因为X,Y的联合分布概率密度为
又因为关于X,Y的边缘概率密度函数分别为
所以
因此
(1)若ρ=0 ,则对于所有的x,y,有
f(x,y)= fX(x)fY(y)
即X和Y相互独立.
(2)如果X和Y相互独立, 则对于所有的x,y有
f(x,y)= fX(x)fY(y)
从而ρ=0.
例6 设随机变量X和Y相互独立且均在[0,1]上均匀分布，
求方程
有实根的概率．
解 由于X和Y均在[0，1]
上均匀分布，所以
由于X和Y相互独立，所以
要使方程
有实根，须
P{有实根的}=
作业：69页
4, 5, 6

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