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第三章
多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
第1节 二维随机变量的联合分布
第2节二维随机变量的边缘分布
第3节 随机变量独立性
第1节 二维随机变量的联合分布
第5节 二维随机变量函数的分布
第4节二维随机变量的条件分布
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§3.5 二维随机变量函数的分布
一、二维离散型随机变量函数的分布
二、二维连续型随机向量函数的分布
问题：巳知二维随机变量 (X, Y) 的分布，
如何求出 Z=g (X, Y)的分布？
一、二维离散随机变量函数的分布
(1) 设(X, Y)是二维离散随机变量，则 Z = g (X, Y)是一维离散随机变量.
(2) 二维离散随机变量函数的分布是容易求的：
i) 对(X, Y)的各种可能取值对，写出 Z 相应的取值.
ii) 对Z 相同的取值，合并其对应的概率.
例1 已知(X,Y )的联合分布律
求 （1） Z = X+Y的概率分布
（2）Z = X2 - Y的概率分布
解 由(X,Y )分布得下表
P 1/10 2/10 3/10 4/10
Z -1 0 2 5
1/10 2/10 0
3/10 0 4/10
-1
2
0 1 3
X
Y
P
去掉表格中概率为0的值。将表格中相同函数值对应的概率求和。得到
(1)Z=X+Y的概率分布列为
例1 已知(X,Y )的联合分布律
求 （1） Z = X+Y的概率分布
（2）Z = X2 - Y的概率分布
解 由(X,Y )分布得下表
P 2/10 5/10 3/10
Z 0 1 4
1/10 2/10 0
3/10 0 4/10
-1
2
0 1 3
X
Y
P
去掉表格中概率为0的值。将表格中相同函数值对应的概率求和。得到
(2) 的概率分布列为
二、二维连续型随机向量函数的分布
已知(X,Y)的 f(x,y),求Z=g(X,Y)的概率密度fZ(z)
1. 分布函数法
其中D={(x,y)|g(x,y)≤z},且在f(x,y)的连续点处, 一维连续型随机变量Z=g(X,Y)的概率密度为
例2.设随机变量X和Y相互独立且均服从N(0,1),求
的概率密度.
解：由于X和Y独立且都服从N(0,1)，所以(X,Y)的联合密度为：
若z>0
所以，
设
分布函数为FZ(z).
若z≤0
例3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求随机变量Z=X+2Y的密度函数.
解 设Z=X+2Y分布函数为FZ(z).
当z≤0时, FZ(z)=0.
当z>0时,
2
x
O
y
x+2y=z
z
z/2
例3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求随机变量Z=X+2Y的密度函数.
当z>0时,
所以Z=X+2Y的密度函数为
2、卷积公式
已知（X,Y）的联合概率密度 f(x,y)，求Z =X+Y 的密度函数.
x+y=z
0
根据分布函数定义有
对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为
由对称性可得
卷积公式：若X，Y相互独立，则 f(x,y) =fX(x) ·fY(y),
代入上式, 可得
例4 设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X~N(0,1)，Y ～N(0,1)，求Z = X +Y 的概率密度.
解 由于X、Y互相独立, 由卷积公式
正态分布的可加性
（1）若
且X, Y相互独立，则有
（2）若
且X, Y相互独立，则有
z
1
z = x
z = x+1
x
2
1
例5 设X、Y的相互独立, 且都在[0,1]上服从均匀分布,
求Z=X+Y的分布。
例6 (最大值分布)设 X1, X2独立,
若记
Y =max (X1, X2,),在以下情况求Y的分布.
(1) 若Xi~ Fi (x) ,i=1,2.
三、最大值与最小值的分布
(2) 若Xi 同分布且Xi~ FX (x) ,i=1,2.
(3) 若Xi 是连续型且同分布其密度函数为fX (x) ,i=1,2.
解 (1)
解 (1)
(2)若Xi 同分布且Xi~ FX (x) ,则
(3) 若Xi 是连续型且同分布其密度函数为
f X(x) ,i=1,2. 对上式求导数得
例6 (最大值分布)设 X1, X2独立,
若记
Y =max (X1, X2,),在以下情况求Y的分布.
(1) 若Xi~ Fi (x) ,i=1,2.
(2) 若Xi 同分布且Xi~ FX (x) ,i=1,2.
(3) 若Xi 是连续型且同分布其密度函数为fX (x) ,i=1,2.
例7(最小值分布)设 X1, X2独立,
若记
Z =min (X1, X2),在以下情况求Z的分布.
(1) 若Xi~ Fi (x) ,i=1,2.
(2) 若Xi 同分布且Xi~ FX (x) ,i=1,2.
(3) 若Xi 是连续型且同分布其密度函数为fX (x) ,i=1,2.
解 (1)
解 (1)
(2)若Xi 同分布且Xi~ F (x) ,则
(3) 若Xi 是连续型且同分布其密度函数为
f (x) ,i=1,2, …n. 对上式求导数得
例7(最小值分布)设 X1, X2独立,
若记
Z =min (X1, X2),在以下情况求Z的分布.
(1) 若Xi~ Fi (x) ,i=1,2.
(2) 若Xi 同分布且Xi~ FX (x) ,i=1,2.
(3) 若Xi 是连续型且同分布其密度函数为fX (x) ,i=1,2.
作业：p-80 习题3.5
3, 6, 10
备用. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求随机变量Z=2X-Y的密度函数.
解 设Z=2X-Y分布函数为FZ(z).
1
2
x
O
y
2x-y=0
2x-y=z
2x-y=2
当z≤0时, FZ(z)=0.
当z≥2时, FZ(z)=1.
当0z/2
备用.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求随机变量Z=2X-Y的密度函数.
解 设Z=2X-Y分布函数为FZ(z).
当z≤0时, FZ(z)=0.
当z≥2时, FZ(z)=1.
当0所以得

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