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第四章
随机变量的数字特征
怎样粗线条地描述r.v 的特性
简单明了、特征鲜明、直观实用
随机变量的概率特性
分布函数
密度函数
分 布 律
特点：
全面、详细、完整
不足：
复杂、重点不突出
问题
？
要求
随机变量的数字特征
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第四章 随机变量的数字特征
第1节 数学期望
第2节 方差
第3节 协方差和相关系数
第1节 数学期望
第4节 矩和协方差阵
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第1节 数学期望
一、数学期望的概念
二、几种重要分布的数学期望
三、随机变量函数的数学期望
四、数学期望的性质
一、数学期望的概念
引例 分赌本问题(17世纪)
甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲嬴2局、乙羸1局时，中止了赌博.问如何分赌本
1. 按已赌局数分：
则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3
2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分：
因为再赌二局必分胜负，共四种情况：
甲甲、甲乙、乙甲、乙乙
所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4
X 0 100
P 1/4 3/4
甲的“期望” 所得是：0 1/4 +100 3/4 = 75.
若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分，
则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100的随机变量，
其分布列为：
一、数学期望的概念
一、数学期望的概念
定义1 设离散随机变量X的分布列为
P{X=xi} = pi, i = 1, 2, ...
若级数
绝对收敛，则称该级数为X 的
数学期望 (Expected value)，记为
定义2 设连续随机变量X的密度函数为f(x),
若积分
绝对收敛，则称该积分为X 的
数学期望，记为
例1. 设随机变量 X 的概率密度为
求 E(X).
解: E(X)=
= 1.
例3 设随机变量X的概率分布为（二项分布），
（k = 0，1，2，…，n）
（0求E(X).
解
二、几种重要分布的数学期望
例4 设随机变量X的概率分布为
（泊松分布）
（k =0，1，2，…）
求 E(X).
例5 设随机变量X的密度函数为
其中 ＞0 (指数分布）
求E(X).
解
，（-∞＜x＜+∞)
例6. 设X～N（μ,σ2）概率密度为：
求E(X).
三、随机变量函数的数学期望
设 Y=g(X) 是随机变量X的函数, 若 E(g(X)) 存在, 则
若X是离散型;
若X是连续型.
（1）一个随机变量函数的期望公式
例7 设随机变量X的概率密度为
试求Y=|X|的数学期望.
解:
（2）二个随机变量函数的期望公式
设 Z=g(X,Y)是随机变量X,Y的函数, 若 E(g(X,Y)) 存在, 则
若(X,Y)是离散型;
若(X,Y)是连续型.
特别地
若(X,Y)是离散型;
若(X,Y)是连续型.
若(X,Y)是离散型;
若(X,Y)是连续型.
例8 设二维随机向量（X，Y）的概率密度为
试求 E(X)及E(XY).
解
2
y=2(1-x)
1
o
x
y
四、数学期望的性质
(1) E (C ) = C
(2) E (aX ) = a E (X )
(3) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
(4) 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
证明 (1) 把常数C看做以概率1取值C的随机变量，于是
若X1 ,X2 ,…Xn独立，则
(2) 不妨设X是连续型随机变量，密度函数为f(x)
四、数学期望的性质
(1) E (C ) = C
(2) E (aX ) = a E (X )
(3) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
(4) 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
证明 (3) 不妨设(X,Y)是连续型随机变量
若X1 ,X2 ,…Xn独立，则
四、数学期望的性质
(1) E (C ) = C
(2) E (aX ) = a E (X )
(3) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
(4) 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
若X1 ,X2 ,…Xn独立，则
证明 (4) 不妨设(X,Y)是连续型随机变量
例9 将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望.
解 引入随机变量
由于 X=X1+X2+…+XM ,于是
E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM).
i=1,2,…,M
得
i=1,2,…,M
例10(应用）设某商场某种商品的年需求量X(单位：吨)在区
间［10,30］均匀分布，商场每售出一单位商品可得利润500元。若供大于求，每单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，每单位获利300元。要使商场得到最大的收益，问应进货多少？（假设进货数为［10,30］中的一个整数。）
解设进货量为a, 利润为Y,则
由于X在[10,30]上均匀分布
所以
所以
当a=23.33时，E(Y)最大，故
进货23吨。
作业：92页
1, 4，5(1), 6(1)(2), 7
验血方案的选择
例10（应用）备用
为普查某种疾病, N个人需验血. 验血方案有两种：
分别化验每个人的血, 共需化验 N次；
分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若结果为阴性,
则只需化验一次; 若为阳性, 则对 k 个人的血逐个化验,
找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次.
设每人发病概率为 p, 且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.
解 只须计算方案(2)每个人所需化验次数X的期望.
则X的概率分布为：
X
pk
1/k
1+1/k
解 只须计算方案(2)每个人所需化验次数X的期望.
则x的概率分布为：
X
pk
1/k
1+1/k
所以每人平均验血次数为
因此，只要选择k使
或
方案(2)较方案(1)经济
例如,
因此，只要选择k使
方案(2)较方案(1)经济
或
而且可适当选择k使E(X)达到最小.
表一: p=0.1, 对不同的k, E(X)的值.
k
E(X)
2 3 4 5 8 10 30 33 34
0.69 0.604 0.594 0.610 0.695 0.751 0.991 0.994 1.002
表二: 不同发病率p时的最佳分组k0及其 E(X)的值.
p
k0
E(X)
0.14 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.01
3 4 4 5 6 8 11
0.697 0.594 0.534 0.466 0.384 0.274 0.204
练习题 游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早8点的第X分钟到底层候梯处，且在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候的数学期望.
解 若将等候时间记成Y,那么
Y就是到达时间X的函数.
又由于X在[0,60]上服从均匀分布,
其密度函数为

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