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第四章
随机变量的数字特征
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第四章 随机变量的数字特征
第1节 数学期望
第2节 方差
第3节 协方差和相关系数
第2节 方差
第4节 矩和协方差阵
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第2节 方差
一、方差的概念
二、重要分布的方差
三、方差的性质
一、方差的概念
引例：从甲，乙两车床加工的零件中各取5件，测
得尺寸如下： (单位：cm)
甲：8，9，10，11，12； 乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4
已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm, 问那一台车床好？
以X甲 ，X乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度.
易得：E(X甲) =E(X乙)＝10，
但甲和乙零件的质量有显著差异，甲加工的零件只
有１件合格，乙加工零件全合格。
10
8
11
9
12
10
考虑 E(|X-E(X)|)
E[X-E(X)]2
定义1 若 E(X E(X))2 存在，则称 E(X E(X))2 为 X 的方差 (Variance)，记为
D(X)= E(X E(X))2
一、方差的概念
(2) 称
X = (X)=
(1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.
方差越大, 则随机变量的取值越分散.
为X 的标准差 (Standard deviation) .
标准差的量纲与随机变量的量纲相同.
连续型随机变量
离散型随机变量
方差的计算
方差常用计算公式
= E(X2)- E 2 (X)
证明：
= E[X2 -2X·E(X)+ [E(X)]2]
= E(X2)- 2E(X)·E(X)+ [E(X)]2
D(X)= E[X - E(X)]2
一、方差的概念
例1 设随机变量X的概率密度函数为
求D(X).
解: E(X)=
所以
例2 设随机变量X的概率分布为（二项分布），
（k = 0，1，2，…，n）
求 D(X).
解: 由上节知
所以 D(X)=E(X2)- E2(X)= n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq
二、几种重要分布的方差
例3 设随机变量X的概率分布为
（泊松分布）
（k =0，1，2，…）
求 D(X).
解 由上节知：
D(X)=E(X2)- E 2(X)
二、几种重要分布的方差
例4 设X ～U[a,b] 概率密度为：
均匀分布
二、几种重要分布的方差
例5 设随机变量X的密度函数为
其中 ＞0 (指数分布）
求D(X).
解：由上节知
故
二、几种重要分布的方差
，（—∞＜x＜+∞)
例6 设X～N（μ,σ2）概率密度为：
二、几种重要分布的方差
写出下列常见分布的期望和方差
作答
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
常见分布 记号 期望 方差
0-1分布
二项分布
泊松分布
均匀分布
指数分布
正态分布
主观题
10分
性质1 D(C)= 0
性质2 D(CX)= C 2 D(X)
性质3 D(X+C)= D(X)，D(aX+b)= a2 D(X)
性质4 　若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有
D(X+Y)= D(X)+D(Y)
性质5 D(X)= 0 的充要条件是P{ X = E(X)} =1
推广 若X1,X2,…,Xn相互独立，则
D(X1+X2+…+Xn) =
方差的性质 （下设a，b，c均为常数）
三、方差的性质
证明：(2) D(CX) = E {[CX － E(CX)]2}
= C2 E{[X － E(X)]2} = C2 D(X)
(3) D(X+C)= E{[(X+C)－E(X+C)]2}
= E{[X – E(X)]2}= D(X)
(4) D(X+Y) = E{[(X+Y)－E(X+Y)]2}
= E{[X－E(X)]+[Y－E(Y)]}2
= E{[X－E(X)]2}+ E{[Y－E(Y)]2}
+ 2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
= D(X)+D(Y) + 2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
而
E{[X－E(X)] [Y－E(Y)]}
= E[XY － E(X)Y － E(Y)X + E(X)E(Y)]
= E(XY)－E(X)E(Y)－E(X)E(Y)+E(X)E(Y)
= E(XY)－ E(X)E(Y)
由于X,Y相互独立，故有　E(XY)= E(X)E(Y)
从而有 E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}= 0,
于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y)．
练习：若X，Y相互独立，证明
D(X－Y)= D(X)+D(Y)
设 D(X)>0, 令
求 E(Y); D(Y).
称 Y 为 X 的标准化.
例7
解：
例8．设 X ~B( n ,p) ，求E(X)，D(X) ．
D(X)=D(X1+X2+…+Xn)
令
i=1,2,…,n
显然 Xi 均服从(0-1)分布,
从而 E(Xi)= p, D(Xi) = pq, （i =1，2，…，n）
且 X1，X2，…，Xn相互独立。
于是 E(X)= E(X1+X2+…+Xn)
= E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)= np
=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)= npq
解：
则 X= X1+X2+…+Xn
例9(应用题）设某商场某种商品的年需求量X(单位：吨)在区
间［10,30］均匀分布，商场每售出一单位商品可得利润500元。若供大于求，每单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，每单位获利300元。要使商场得到最大的收益，问应进货多少？（假设进货数为［10,30］中的一个整数。）
解设进货量为a, 利润为Y,则
由于X在[10,30]上均匀分布
所以
所以
当a=23.33时，E(Y)最大，故
进货23吨。
验血方案的选择
例10（应用题）
为普查某种疾病, N个人需验血. 验血方案有两种：
分别化验每个人的血, 共需化验 N次；
分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若结果为阴性,
则只需化验一次; 若为阳性, 则对 k 个人的血逐个化验,
找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次.
设每人发病概率为 p, 且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.
解 只须计算方案(2)每个人所需化验次数X的期望.
则X的概率分布为：
X
pk
1/k
1+1/k
解 只须计算方案(2)每个人所需化验次数X的期望.
则x的概率分布为：
X
pk
1/k
1+1/k
所以每人平均验血次数为
因此，只要选择k使
或
方案(2)较方案(1)经济
例如,
因此，只要选择k使
方案(2)较方案(1)经济
或
而且可适当选择k使E(X)达到最小.
表一: p=0.1, 对不同的k, E(X)的值.
k
E(X)
2 3 4 5 8 10 30 33 34
0.69 0.604 0.594 0.610 0.695 0.751 0.991 0.994 1.002
表二: 不同发病率p时的最佳分组k0及其 E(X)的值.
p
k0
E(X)
0.14 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.01
3 4 4 5 6 8 11
0.697 0.594 0.534 0.466 0.384 0.274 0.204
作业：98页
1, 2(1), 4, 6

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