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第四章
随机变量的数字特征
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第四章 随机变量的数字特征
第1节 数学期望
第2节 方差
第3节 协方差和相关系数
第3节 协方差和相关系数
第4节 矩和协方差阵
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第3节 协方差和相关系数
一、协方差
二、相关系数
？
如何描述两个随机变量之间的关系
若(X,Y)的全部可能取值坐标如图a,b,c, X与Y的关系各是什么
1.定义 若E(X-E(X))(Y-E(Y))存在，则称其为随机
变量X与Y的协方差. 记为Cov(X,Y)即
Cov(X,Y) = E(X-E(X))(Y-E(Y))
一、协方差
Cov(X,Y)>0, 称X和Y正相关, 表示X和Y有同时增加或减少趋势.
Cov(X,Y)<0, 称X和Y负相关, 表示X增大而Y减少,或Y增大而X减少趋势.
Cov(X,Y)=0, 称X和Y不相关.
协方差常用计算公式
Cov(X,Y)=E(XY )－E(X)E(Y)
例1.
求Cov(X,Y)
Y 1 2 3
1 0 1/6 1/12
2 1/6 1/6 1/6
3 1/12 1/6 0
X
1/2
1/4
1/4

解：
E(X) = 2 , E(Y) = 2；
Cov(X,Y) = 23/6 – 4 = － 1/6 ;
E(XY) =
例2 设二维(X,Y)随机变量的密度函数为
求
解 因为
o
x
y
y=x
2. 协方差的性质
(1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X).
(5) 若 X 与 Y 独立，则Cov(X, Y) = 0.
(3) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) .
(6) D(X Y) = D(X)+ D (Y) 2 Cov(X, Y)
(2) Cov(X, a) = 0.
(4) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z).
例2．已知D(X)= 2，D(Y)= 4，Cov(X,Y)= -2，
求 D(3X-4Y+8).
解： D(3X-4Y+8 )
= D(3X-4Y )
=D(3X) + D(4Y) - 2Cov(3X,4Y)
= 9D(X) + 16D(Y) –24Cov(X,Y)
= 18 + 64 + 48 = 130
若X，Y相互独立，
D(3X-4Y+8 ) = D(3X) + D(4Y) = 82
二、相关系数
协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间
的联系,但它要受到X与Y量纲的影响.取不同的量纲,
会得到不同的协方差. 令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*
Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先
对X与Y进行标准化,以便消除量纲的影响.
再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.
1.相关系数的定义
对于随机变量X和Y,若D(X)≠0, D(Y) ≠0则称
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）.
2.相关系数的性质
(1)
(2)
X 与 Y 几乎处处有线性关系。

P{Y=aX+b}=1, 且
时，a>0;
时，a<0.
引理 ( 柯西--许瓦兹不等式) 若X和Y的方差存在,则
[Cov(X, Y) ]2 D(X)D(Y).
于是，判别式
△= 4[Cov(X,Y)]2 – 4D(X)·D(Y)≤0
证明：若D(X)=0, 显然成立; 若D(X)≠0考虑实变量
t的二次函数
因 q(t) ≥0，D(X)>0，
即 方程 q(t)= 0 或者没有实根或者有重根，
即
2.相关系数的性质
证明：由柯西--许瓦兹不等式得.
所以
(2)
X 与 Y 几乎处处有线性关系。

P{Y=aX+b}=1
证明：充分性.若Y=aX+b (X=cY+d也一样), 则
(1)
证明：必要性.记
因为
所以当
由此得
或
即
所以当
由此得
或
Y与X几乎处处负相关.
Y与X几乎处处正相关.
相关系数ρ刻划了随机变量X和Y的线性相关程度.所以也称为线性相关系数.
当ρ = 0时 , 称X与Y不相关.不相关指的是没有线性关系,也可能有其他的函数关系.
当ρ = 1时 , 称X与Y完全正相关.当ρ = -1时 , 称X与Y完全负相关
当0<| ρ |<1时 , 称X与Y有“一定程度”的线性关系.当|ρ |越接近与1时 , 称X与Y线性程度越高,反之越弱.
o
x
y
o
o
o
x
x
x
y
y
y
0<ρ<1
-1<ρ<0
ρ =1
ρ =-1
相关情况示意图
对应 的(X,Y).
示例 相关系数的直观演示
例4.
求
解：
E(X) = 2 , E(Y) = 2；
E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2；
D(X) =1/2 D(Y) = 1/2
E(XY) =
Cov(X,Y) = 23/6 – 4 = - 1/6 ;

Y 1 2 3
1 0 1/6 1/12
2 1/6 1/6 1/6
3 1/12 1/6 0
X
1/4
1/2
1/4
例5 设二维(X,Y)随机变量的密度函数为
求
解 因为
o
x
y
y=x
例5 设二维(X,Y)随机变量的密度函数为
求
解 因为
o
x
y
y=x
例6．设（X,Y）服从二维正态分布，求X,Y的相关系数.
解：X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度 fX(x), fY(y) 如下：
若（X,Y）服从二维正态分布，则X、Y相互独立与不相关是等价的.
由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
故X，Y不相关.
请看下例.
3.相关性与独立性的关系
例5. 设X~N(0, 1), 而Y=X2，求X，Y的相关系数.
解：
因而ρ=0，
即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
X与Y独立
X与Y一定不相关.
X与Y不相关
X与Y独立
例6．(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关也不相互独立.
因fX(x)fY(y)≠f(x,y)，
故X与Y不相互独立.
证明：(1) 因为
同样 E（Y）=0
于是 ρXY= 0 ，所以 X与Y不相关。
(2)
然而对下述情形，独立与不相关等价
若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立
X与Y不相关
但若X与Y独立，则X与Y一定不相关.
由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.
相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.
2.将一枚不均匀硬币投掷n次，以Ｘ和Ｙ分别表示出现正面和反面的次数，则X和Y的相关系数为（ ）
（Ａ）－１; （Ｂ）０; （Ｃ） ; (D) 1 .
思考题
1.如果存在常数
使
且
的相关系数 为（ ）.
（A）1； （B）–1； （C）
（D）
3. 随机变量
且相关系数
则（ ）
§4.4 矩和协方差矩阵
X的k 阶原点矩：E(Xk) ， k = 1, 2, ….
X的k 阶中心矩：E[X E(X)]k ， k = 1, 2, ….
显然，期望是X的一阶原点矩，
方差是X的二阶中心矩.
X和Y的k+l 阶混合原点矩：
X和Y的k+l 阶混合中心矩：
协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
协方差矩阵的定义
将二维随机变量（X1 , X2）的四个二阶中心矩
排成矩阵的形式:
称此矩阵为（X1 , X2）的协方差矩阵.
这是一个
对称矩阵
例7: 设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求X和Y的协方差矩阵.
解 因为
所以X和Y的协方差矩阵为
作业：104页
3, 4, 6,11

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