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第五章
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。
阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一
系列定律都称为大数定律。
论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一
分布的定理称为中心极限定理。
本章概述
第五章 大数定律和中心极限定理
第1节 大数定律
第2节 中心极限定律
第1节 大数定律
第1节 大数定律
一、切比雪夫不等式
二、大数定律
§5.1 大数定律
一 、切比雪夫不等式
(ε是任一正数)
1. 对于任何具有有限方差的随机变量 X ，都有
则
证明：(以连续型随机变量为例)设X的概率密度为f(x)，
1. 切比雪夫不等式等价形式
例1．估计
事件发生的概率．
解:
⒈ 证明大数定律；⒉ 估计事件的概率.
一 、切比雪夫不等式
2. 切比雪夫不等式的作用
例2．若在每次试验中，A发生的概率为0.5，进行1000次独立试验，估计 A 发生 400～600 次之间的概率.
解：因 X ～B(1000 , 0.5)，E(X)=500，D(X)=250,
所以 P{ 400 < X < 600 } = P{ | X-500 | < 100 }.
P{ | X-500 | < 100 }
大数定律使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。
人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值
的算术平均值具有稳定性，也就是说，无论个别测量
值如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无
关，几乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理
论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题。
阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一
系列定律都称为大数定律。
二、大数定律
1. 大数定律的一般形式
定义:设{Xk}是随机变量序列，数学期望E(Xk)
(k=1,2,...)存在，若对于任意ε >0，有
则称随机变量序列{Xn}服从大数定律.
下面研究随机变量序列{Xk}满足何条件时，{Xk}服从大数定律. 很遗憾不存在充分必要条件，下面寻求若干充分条件，从而得到不同的大数定律.
或
或，对于任意ε>0，当n充分大时，不等式
定理1 (切比雪夫大数定律) 如果X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量序列，每一个Xi都有数学期望E(Xi)和有限的方差D(Xi),且方差有公共的上界，即
则对于任意ε>0，有
依概率1成立.
二 、大数定律
意即，随机变量的算术平均值将比较紧密地聚集在它的数学期望附近.
切比雪夫
证:
又因
由切比雪夫不等式可得
所以，
切比雪夫大数定律表明, 相互独立的随机变量的算术平均值,
与其数学期望的差,
在n充分大时以概率1是一个无穷小量.
这意味着在n充分大时，
地聚集在它的数学期望附近.
因为X1,X2,…,Xn相互独立，所以
随机变量的算术平均值将比较紧密
说明：
① 在不变的条件下, 重复测量n次所得到的n个观察值,
x1,x2, …, xn, 可看作服从同一分布的n个相互独立的随机变量
X1,X2,…,Xn的试验值.
② n充分大时， x1,x2, …, xn的算术平均值与真值的误差
依概率1任意小.
推论 设随机变量X1,X2,…,Xn,…独立同分布，且有
E(Xk) =m，D(Xk) =s 2， k =1,2,…
则当n→∞时，对任意ε>0，有
这就是以频率定义概率的合理性依据.
定理2 (贝努里大数定律)设n重贝努里试验中事件A发生nA次, 每次试验事件A发生的概率p，则对任意ε>0 , 有
定义 (依概率收敛)设
是一个互相独立的
随机变量序列，
a是一个常数，若对于任意正数 ，有
则称序列
依概率(或依概率1)收敛于a .
贝努里
下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.
设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
定理3（辛钦大数定律）
辛钦
辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.
作业：113页
1,2
第2节 中心极限定理
一、独立同分布下的中心极限定理
二、二项分布的近似分布
在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态
分布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的
随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都
有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似
地服从正态分布.”
对某物的长度进行测量,有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素影响,使测量产生误差X1;观察时视线所产生的误差X2;心理和生理上的变化产生的测量误差X3;…显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即∑Xi.
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随
机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中
所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从
正态分布.
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们
发现，正态分布在自然界中极为常见.
中心极限定理从理论上揭示了上面结论的正确性.
一、独立同分布的中心极限定理
定理1 ( 林德贝格—勒维中心极限定理)
设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期望
为 , 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有
即
说明
（2）不论Xi具有怎样的分布，只要满足条件，当n很
大时，其和 就近似地服从正态分布。
即
（1） 当n很大时，
例1．设随机变量X1,X2,…,X20相互独立，都服从U(0,1)均匀分布, 令Y20 = X1+X2+…+X20，求P{Y20≤9.1}.
解：
P{Y20≤9.1}
依题意知, X1,X2,…,X20相互独立, 且E(Xi)=1/2,
D(Xi)=1/12， i=1,2,…,20，
由同分布中心极限定理得
例2 一盒同型号螺丝钉共有100个, 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率．
解 设一盒螺丝钉的重量为X，盒中第 i 个螺丝钉的重量为 Xi, i=1,2,…,100, 则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=100，D(Xi) =100，
由中心极限定理得，
= 0.02275
所求概率为：
三、二项分布的正态近似
定理2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设 n 为服从二项分布 B(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
当n充分大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
例3 一批种子，其中良种占1/6，在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？
解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数，则
X~B(6000, 1/6)
注 若X~B(n,p),则当n较大时，有
作业：116页
4, 6

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