资源简介

(共30张PPT)
第六章
数理统计的基本概念
第六章 数理统计的基本概念
第1节 样本与统计量
第2节 抽样分布
第1节 样本与统计量
第1节 样本与统计量
一、总体 个体 样本
二、统计量
三、常用统计量分布
问题提出：教师给学生数学兴趣小组布置一个题目
（限时完成）.
探究2019级经管类专业高等数学成绩分布规律：
要求：
（1）估计高数成绩的平均分，方差.
（2）估计高数成绩的不及格率.
（3）高数成绩的分布服从何种分布？
（4）……
如何做？
第一步：先把问题抽象成一个数学问题.
本例先抽象为关于一个随机变量分布规律的研究.
一. 总体与个体
1.总体：研究对象的全体称为总体 ,用X表示，它是一个随机变量.总体分为有限总体和无限总体．
2.个体：组成总体的每个研究对象（或每个基本单位）称为个体.
注：在本例中，关心每个学生高数成绩(数量指标X)
和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个学生
具有的数量指标的全体就是总体.
2019级经管学生
高数成绩
该级学生高数成绩的全体就是总体
由于抽到哪个学生是随机的，所以相应的高数成绩取值也有随机性.从而可以把高数数量指标看
作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指
标在总体中的分布．
这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.
例如:在本例中，关心的数量指标就高数成绩X，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或
用其分布函数F(x)表示.
高数成绩X可用一概率分布来刻划
F(x)
2019级经管学生高数成绩的全体就是总体
问题提出：教师给学生数学兴趣小组布置一个题目
（限时完成）.
探究2019级经管类专业高等数学成绩分布规律：
要求：
（1）估计高数成绩的平均分，方差.
（2）估计高数成绩的不及格率.
（3）高数成绩的分布服从何种分布？
（4）……
如何做？
第一步：先把问题抽象成一个数学问题.
本例抽象为高数成绩X（随机变量，总体）分布规律的研究.
第二步：通过抽样，获得总体（高数成绩X）信息.
3.样本
样本：
从总体X中按一定的规则抽出的一部分个体称为样本，用 X1，X2，…，Xn 表示. 样本中的个体称为样品.
样本容量：
样本中所含样品的个数称为样本容量，用
n 表示.
根据 n 的大小样本有大样本、小样本之分.
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若
干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程
为 “抽样”
从2019级经管学生中抽取30个，观察其高数成绩
样本容量为30
79，58，64，50，63，88，34，51，46，55，76，50，43，80，51
91，81，75，61，53，55，51，65，44，71，82，69，58，51，62
样本具有二重性：
一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无
法预知它们的数值，因此，样本是随机变量，用大写
字母
另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测
值，因此，样本又是一组数值。此时用小写字母
表示.
表示.
独立性，总体中每一个个体是否被抽到相互独立。样品的取值---- X1,X2,…Xn 相互独立．
要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很好地代表总体。通常对抽样有如下二个要求：
随机性，总体中每一个个体都有同等机会被选
入样本---- Xi 与总体X有相同的分布．
简单随机样本
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本，也简称样本．
简单随机样本可以通过放回抽样来得到．
本例中，可以采用学号随机产生容量是30的简单随机样本.
简单随机样本（简称样本）：具有下列性质
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与总体X有相同的分布.
设总体X具有分布函数F(x), X1,X2,…Xn 为取自该总体的容量为n的样本，则样本联合分布函数为
简单随机样本的分布
简单随机样本 X1,X2,…Xn 可以看成是独立同分布的随机变量，其共同分布即为总体分布．
是一堆“杂乱无章”的数据
设 是来自总体 的样本
对样本的一些认识
是对总体进行推断的依据
包含了有关总体的“信息”
在观察前 是一组独立同分布r.v
在观察后 是一组具体的数据
从2019级经管学生中随机抽取30个，观察其高数成绩
79，58，64，50，63，88，34，51，46，55，76，50，43，80，51
91，81，75，61，53，55，51，65，44，71，82，69，58，51，62
从总体 抽取样本
怎样集中、提炼出有用的信息
统计推断的基础：
收集数据
“杂乱无章”的数据
包含了各种有用的“信息”
问
？
下面的量能较好地反映高数整体信息
根据抽样得到高等数学30个学生成绩单如何提炼出反应整体成绩分布的有用信息？
例
分析
通过构造样本函数，加工提炼出有用信息
二、统计量
从总体 抽取样本
统计推断的基础：
收集数据
统计量
设
为来自总体
的样本
为 元函数，若
不含任何未知参数，则
称
为统计量.
数据的加工整理：
二、统计量
例
设
为来自总体
的样本,其
中 均未知，判断下列哪些是统计量：
设(X1,X2,…,Xn )为来自总体X的简单随机样本.
式中的n－1称为 S 2 的自由度(式中含有独立变量的个数)，S 称为样本标准差，又称为标准误.
1.样本均值:
1. 最常用的两个统计量
2.样本方差:
注（1）对于得到一组样本观测值 ,可得到样本均值和样本方差的观测值
（2）称
为偏差平方和.
探究2019级经管学生高等数学成绩分布规律：
要求：
（1）估计高数成绩的平均分，方差.
（2）估计高数成绩的不及格率.
从2019级经管学生中抽取30个，观察其高数成绩
79，58，64，50，63，88，34，51，46，55，76，50，43，80，51
91，81，75，61，53，55，51，65，44，71，82，69，58，51，62
思路：（1）首先计算样本的均值和样本的方差
高数成绩的平均分估计值是61.9，方差估计值是210.64.
（2）首先计算样本中的不及格率（成绩小于45分）10%，
所以高数成绩不及格率的估计值为10%。
说明了什么？
思考
定理6.1.2
问题提出：教师给学生数学兴趣小组布置一个题目
（限时完成）.
探究2019级经管专业高等数学成绩分布规律：
要求：
（1）估计高数成绩的平均分，方差.
（2）估计高数成绩的不及格率.
（3）高数成绩的分布服从何种分布？
如何得到高数成绩X的分布函数信息
2.经验分布函数
0 当 x x(1)
Fn(x) = k / n 当 x(k) x x(k+1) , k=1,2,…,n-1
1 当 x x(n)
设 x1,x2,…,xn 是取自总体分布函数为F(x)的样本，若
将样本观测值由小到大进行排列,为x(1), x(2), …, x(n)，则
称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，用有序样本定义如下函
数
则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足
Fn( ) = 0 和 Fn( ) = 1,
由此可见，Fn(x)是一个分布函数，并称Fn(x)为经验分布函数．
例1 从2019级经管学生随机抽取5个，其高数成绩79，58，64，50，64写出高数成绩X的经验分布函数.
x(1)= 50, x(2)= 58, x(3)= 64, x(4)= 64, x(5)=79
解：这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本：
其经验分布函数为
由贝努里大数定律：只要n相当大,Fn(x)依概率收敛于F(x)
0 x < 50
0.2 50 x < 58
Fn(x) = 0.4 58 x < 64
0.8 64 x < 79
1 x 79
更深刻的结果.
定理1（格里纹科定理）设x1,x2,…,xn是取自总体分
布函数为F(x)的样本, Fn(x)是其经验分布函数，当
n 时，有
P sup Fn(x) F(x) 0 = 1
格里纹科定理表明，当n 相当大时，经验分布
函数是总体分布函数F(x)的一个良好的近似。经典
的统计学中一切统计推断都以样本为依据，其理由
就在于此．
即：经验分布函数Fn(x)是总体分布函数F(x)的一个良好
的近似．即样本容量很大时，样本能很好的拟合总体．
这是数理统计进行推断的理论基础．
下图中画出100个轴承的直径的样本的经验分布函数
F100(x)与其相应总体的正态分布函数F(x)．
3.其他统计量
样本矩：
k 阶原点矩：
k 阶中心矩：
三、分位点
(1)定义 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，对给定 实数 (0 1),称满足
P{X>x }=1-F(x )=
的数x 是X的上侧 分位点，
或称上侧 分位数；
称同时满足 P{X<λ1}=F(λ1)= /2
和 P{X>λ2}=1-F(λ2)= /2
的数λ1和λ2为X的双侧分位点或双侧
分位数.
易见
由对称性可知
(2) 标准正态分布的分位点
标准正态分布的上侧α分位点记为
和
P{X＞u0.05}=0.05, 即 P{X≤u0.05}=0.95, 查表得：u0.05=1.645 .
P{X＞u0.01}=0.01, 即 P{X≤u0.01}=0.99, 查表得：u0.01= 2.33 .
例如：
197页
其双侧α分位点分别为
x
0
u1-a/2
ua/2
P{|X|＞u0.05/2}=0.05, 即 P{X≤u0.05/2}=1-0.05/2=0.975,
查表得：u0.05/2=1.96 .
引言 数理统计及其应用领域
随机现象（试验）
概率论
数理统计
概率论与数理统计包括概率论和数理统计两个数学分支，它们是从不同的角度研究随机现象的统计规律性。
概率论 第1章-第5章
数理统计 第6章-第8章
１．概率论的主要研究内容。
概率的定义、性质与计算
随机现象数量化描述及其刻划
2．数理统计的主要研究内容
如何有效的采集数据
如何分析带有随机性质的数据
数理统计是研究怎样有效的收集、整理和分析带有随机性质的数据，以便对所研究的问题作出推断和预测。
3.概率论与数理统计的关系
概率论是数理统计的理论基础；数理统计是概率论的应用.
4.概率论与数理统计的区别
概率论是在（总体）X分布已知的情况下，研究
X的性质及统计规律性．
数理统计是在（总体） X分布未知（或部分未知）的情况下，对总体X的分布作出推断和预测.
总体Ｘ
样本
采集数据
抽样
统计量
进行加工
对总体Ｘ作
出推断
对统计量
分析
数理统计以概率论为基础,研究如何搜集资料,并对
统计资料进行整理和分析,对整体的某些性质作出推断．
数理统计内容丰富,应用广泛．本书介绍了数理统
计初步知识：
参数估计；假设检验；【方差分析；回归分析】．
作业：p-123习题6.1
2, 3

展开更多......

收起↑