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第六章
数理统计的基本概念
第六章 数理统计的基本概念
第1节 样本与统计量
第2节 抽样分布
第2节 抽样分布
第2节 抽样分布
二、正态总体的抽样分布
一、三大统计分布
定义5.4.1 设X1, X2,…, Xn, 独立同分布于标准正态
分布N(0,1) ， 2= X12+… Xn2 的分布称为自由度为n 的
2分布，记为 2 2(n) .
1. 2 分布（卡方分布）
(1) 定义
χ2分布是海尔墨特(Hermert)
和皮尔逊(K.Person)分别于1875和1900年导出的．
K.皮尔逊(k.Pearson,1857-1933)
英国著名统计学家， 是大样本理
论奠奠基者．
一、三大统计分布
(2) . (n)分布的概率密度
且 E( ) = n, D( ) = 2n
则
且它们相互独立，
若
o
(3). (n)分布的性质
1. 2 分布（卡方分布）
当 2 2(n) 时，对不同的α(0 1)和n，分位点 2(n)的值 可以从198-199页附表3 中查到.
(4) (n)分布的分位点
α= 0.05，n = 10，查
分布表得α分位点
1. 2 分布（卡方分布）
2 分布的双侧α分位点为
和
双侧α分位点为
例1．设 ， 简单随机样本,
试决定常数 ,
使 服从 分布.
解：因为
所以
故
定义 设随机变量X与Y独立且X N(0,1),
(1) t分布的定义
t 分布，记为t t(n) .
t分布是高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“学生”（student）为笔名的论文中首先提到的，因此又称为学生氏分布.
高塞特（W、S、Cosset，1876-1937）
美国人，t分布的发现者，1899年在一家酿
酒厂任酿酒技师，从事实验和数据分析工作. Cosset的t分布打开了人们的思路,开创了小样本方法的研究.
的分布为自由度为n的
Y 2(n), 则称
2. t分布
(2). t分布的概率密度
t(x;n)
n=4
n=10
n=1
注 (1)n=1的t分布就是标准柯西分布,其期望不存在; n>1时. t分布的期望存在且为0; n>2时, t分布的方差存在且为
(2)t分布的密度函数的图象与标
准正态分布的密度函数形状类似，
只是峰比标准正态分布低一些,
尾部的概率大一些.
(3). t分布的分位点
对给定 (0 1),自由度为 n 的 t 分布的 分位数
t (n)可以从200页的附表4中查到.
由于 t 分布的密度函数关于y轴 对称, 故其双侧α分位点为
思考题 设总体X服从标准正态分布， X1, X2,…, X5,为
来自总体X的简单样本，求常数C使统计量
服从t分布,自由度是多少.
答案:
譬如 n=10, =0.05，那么从附表4上查得其 分位数
t0.05(10)=
±t0.05/2(10)= ±t0.025(10)=
1.8125 ，其双侧分位点为
± 2.2281.
(1). F分布的定义
定义5.4.2 设U 2(n1), V 2(n2), U与V独立，则
称F =(U/n1)/(V/n2)的分布是自由度为n1与 n2 的F分布，
记为F F(n1, n2)，其中n1称为分子自由度， n2称为分母自由度.
F分布是以统计学家费史(R.A.Fisher）
姓氏的第一个字母命名的.
费歇(R.A.Fisher,1890-1962),英国统计学家,遗传学家,现代数理统计的主要奠基人之一。对数理统计有众多贡献,内容涉及假设检验,实验设计,方差分析等领域.
3. F分布
2. F分布的概率密度
3. F分布分位点
对于较小的 ,分位数F (n1, n2)可以从201-207页附表5中查到,而分位数
如取 n1=10, n2 =5, =0.05, 从附表5中查得
3. F分布
其双侧分位点为
例2 设总体X服从标准正态分布， X1, X2,…, Xn,为来自
总体X的简单样本，问统计量
服从何种分布.
解 因为
故
且 和 相互独立.
得
又
所以
1. 基本定理
定理5.4.1 设 X1,X2,…,Xn 是来自正态总体N( , 2)
的样本，其样本均值和样本方差分别为
(3) (n-1) S2/ 2 2(n-1)
则有
(1) 相互独立;
二、正态总体的抽样分布
例3 设总体X~N（12，4），抽取一个样本（X1，X2，…，X5）
求（1）P{ ＞13}；（2）P{| -12| ＞0.5}
解
∵X~N（12，4），∴ ~N(12,4/5), 且
（1）P{ ＞13}
（2）P{| -12| ＞0.5}
的概率不小于90%,则样本容量至少取多少
例4. 设
,为使样本均值大于70
解 设样本容量为 n , 则
故
令
得
即
所以取
2. 单个正态总体的抽样分布
若（X1，X2，…，Xn）是正态总体N(μ，σ2)的一个样本， 和 S 2 分别是样本均值和样本方差，则
证明2.
且与 相互独立
则
3. 两个正态总体的抽样分布
设 和 分别是
从总体 N(μ1,σ12)和 N(μ2,σ22)中所抽取的样本，它们
相互独立, 其样本均值和方差分别记为 和 则
２. 当σ12 =σ22 =σ2时，
3. 两个正态总体的抽样分布
２. 当σ12 =σ22 =σ2时，
证明1.由于
设 和 分别是
从总体 N(μ1,σ12)和 N(μ2,σ22)中所抽取的样本，它们
相互独立, 其样本均值和方差分别记为 和 则
2. 当σ12 =σ22 =σ2时，
证明2.当σ12 =σ22 =σ2时,由１得
与 相互独立
3. 两个正态总体的抽样分布
证明3.由于
所以
设 和 分别是
从总体 N(μ1,σ12)和 N(μ2,σ22)中所抽取的样本，它们
相互独立, 其样本均值和方差分别记为 和 则
例5.由正态总体N(30,9)抽取二个独立样本,样本均值分别为
样本容量分别为20,25,计算
解：
因而
所以
1.设随机变量X~t(n)(n>1), Y=1/X2,则（ ）.
3.设X1,X2,…,Xn为来自总体N(0,1）的样本，则
2.设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（ ）.
(A) X＋Y服从正态分布；
(B) X2＋Y2服从 分布；
(C) X2和Y2都服从 分布；
(D) X2/Y2服从 F分布.
( D )
一、单选题
二、填空题
1．设 ， 简单随机样本,
当常数a=( ),b=( ) ,
Y服从 分布.自由度为（ ）.
2．设 ， 简单随机样本,
Y服从 ( )分布.参数为（ ）.
则随机变量
3.设随机变量X和Y独立都服从N(0,32），而X1,,…,X9和Y1,,…,Y9为分别来自总体X和Y的样本，则统计量
服从( )分布.参数为（ ）.
4．从正态总体
中
为样本方差．则
抽取样本X1,X2,…,Xn ，
=( ).
5.设(X1,X2,…,Xn1)和(Y1,Y2,…,Yn2)分别是从总体N(μ1,σ2)
和 N(μ2,σ2)中所抽取的样本，它们相互独立则
=( ).
作业：131页
1,3,4,6

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