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第七章
参数估计
第七章 参数估计
第1节 点估计
第2节 区间估计
第2节 区间估计
第2节 区间估计
一. 区间估计的概念
二. 枢轴量法
三. 单个正态总体参数的置信区间
四. 两个正态总体下的置信区间
区间估计：就是用样本来确定一个区间，使这个区间以很大的概率包含所估计的未知参数，这样的区间称为置信区间.
设总体X的分布中含有未知参数θ , 若由来自总体X的一个样本确定的两个统计量：
对给定的a (0 < a < 1)，有
一、参数的区间估计法
则称随机区间 是θ 的置信概率为1- a 的置信区间，
分别称为置信下限和上限，1-a 称为
置信水平.
这里置信水平1- 的含义是指在大量使用该置信区
间时，至少有100(1- )%的区间含有θ.
引例. 设总体X～N(μ,σ2), σ2 已知，X1,X2,…，Xn是一
个样本，对于给定的置信水平1-α,求μ的置信区间.
如σ2＝4 ,样本的一组观测值为，14.85 13.01 13.50
14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 13.28 (n=10),取
α＝0.1,求出置信区间.
构造含有 和待估参数μ的样本函数，且其分布已知
(应与μ无关). 选择具有这样的特性的样本函数
分析: 因
是μ的一个点估计, μ的区间估计应为在
附近的的一个区间,如何得到这样的区间？自然会想到
引例. 设总体X～N(μ,σ2), σ2 已知，X1,X2,…，Xn是一
个样本，对于给定的置信水平1-α,求μ的置信区间.
如σ2＝4 ,样本的一组观测值为，14.85 13.01 13.50
14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 13.28 (n=10),取
α＝0.1, 求出置信区间.
解: 由于
对于给定的置信水平1-a，通过下式
确定μ的范围，即
得μ的置信水平1-α置信区间为
引例. 设总体X～N(μ,σ2), σ2 已知。X1,X2,…，Xn是一
个样本，对于给定的置信水平1-α,求μ的置信区间.
如σ2＝4 ,样本的一组观测值为，14.85 13.01 13.50
14.93 16.97 13.80 17.95 13.37 16.29 13.28 (n=10),取
α＝0.1,求出置信区间.
μ的置信水平1-α置信区间为
取α＝0.1, 查表得
对于给定的样本值
可以算得
从而得到μ的置信水平0.9的一个
置信区间为( 13.665, 15.745).
⒈ 选取枢轴量
选取样本(X1,…,Xn)的一个函数G=g(X1,…,Xn;θ)，其中只含所求置信区间的未知参数θ，且分布已知．
⒉ 确定分位点
对于给出的置信水平1-a，确定g(X1,…,Xn;θ)的双侧分位点．
求置信区间的方法
⒊ 变换不等式
利用不等式变形得到未知参数θ 的置信区间．
三. 单个正态总体参数的置信区间
若 X~N（μ, σ2）, X1, X2, …, Xn,是样本,有
故对给定的置信概率1- α，有
由此可得总体均值μ的1－α置信区间为：
1 . σ2 已知, μ的1- α置信区间
枢轴量
例2 设总体为正态分布N( ,1)，为 得到的置信水
平为0.95的置信区间长度不超过1.2的，样本容量应为
多大？
解：由题设条件知 的0.95置信区间为
其区间长度为 ，它仅依赖于样本容量n
现要求
即有
现1- = 0.95, 故u /2=1.96, 从而n (5/3)2 1.962 = 10.67 11.
即样本容量至少为11时才能使得 的置信水平为0.95的
置信区间长度不超过1.2.
1. 基本定理
定理5.4.1 设 X1,X2,…,Xn 是来自正态总体N( , 2)
的样本，其样本均值和样本方差分别为
(3) (n-1) S2/ 2 2(n-1)
则有
(1) 相互独立;
预备知识、正态总体的抽样分布
预备知识. 单个正态总体的抽样分布
若（X1，X2，…，Xn）是正态总体N(μ，σ2)的一个样本， 和 S 2 分别是样本均值和样本方差，则
证明2.
且与 相互独立
则
2 . σ2 未知, μ的1- α置信区间
故对给定的置信概率1－α，由
由此可得总体均值μ的1－α置信区间为：
枢轴量
例3设某种产品的长度服从N( , 2) ,现从这批产品中随
机抽取6件,测得其长度(单位:厘米)如下：
14.50 15.21 15.33 15.01 15.12 15.13
分别在下面两种情况下，求该批产品平均长度的置信区间，
置信水平为 0.95．
(1) 2=0.04 ; (2) 2 未知.
解:经过对样本计算得
于是平均长度的0.95置信区间为（单位：厘米）
这里n=6,α=0.05.
(1) 2=0.04 ;查书后的附表2得
例3设某种产品的长度N( , 2) ,现从这批产品中随机
抽取6件,测得其长度(单位:厘米)如下：
14.50 15.21 15.33 15.01 15.12 15.13
分别在下面两种情况下，求该批产品长度的置信区间，
置信水平为 0.95．
(1) 2=0.04 ; (2) 2 未知.
解:经过对样本计算得
于是平均长度的0.95置信区间为（单位：厘米）
这里n=6,α=0.05.
(2) 2 未知，查书后的附表4得
4 .μ未知，σ2 的置信区间
σ2 的1-α置信区间为：
3 .μ已知,σ2 的置信区间
例4 某厂生产的零件重量服从正态分布N( , 2)，
现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量
为（单位：克）
45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6
试求总体标准差 的0.95置信区间。
解：由数据可算得s2 =0.0325，(n-1)s2
从而 的0.95置信区间为(0.1218，0.3454).
这里 =0.05，
查表知 2 0.975(8) =2.1797， 20.025(8)=17.5345，
代入公式可得 2的0.95置信区间为
条件 枢轴量 置信区间
μ
σ2
σ2已知
μ已知
μ未知
σ2未知
四. 两个正态总体下的置信区间
(一) 1 - 2的置信区间
设总体 X ~ N (μ1,σ12) Y ~ N (μ2,σ2 2) 相互独立
则
分别是来自总体X和Y的样本
（1）
（2）若σ 12 ＝ σ22 ＝ σ2
3. 两个正态总体的抽样分布
２. 当σ12 =σ22 =σ2时，
证明1.由于
设 和 分别是
从总体 N(μ1,σ12)和 N(μ2,σ22)中所抽取的样本，它们
相互独立, 其样本均值和方差分别记为 和 则
２. 当σ12 =σ22 =σ2时，
证明２.当σ12 =σ22 =σ2时,由１得
与 相互独立
由
得
1. σ 12、σ22均已知时
2. σ 12=σ22 = σ2未知时
由
得
例5 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似
的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲
品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田
的亩产量（单位：千克/亩）分别为：
甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615
乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426
假定每个品种的亩产量均服从正态分布且方差相等，
试求这两个品种平均亩产量差的置信区间 （取 =0.05）.
解：以x1 , …, x8记甲品种的亩产量， y1 , …, y10记乙品种
的亩产量，由样本数据可计算得到
=569.3750，s12 =2140.5536，n1=8
=487.0000，s22=3256.2222，n2=10
已知二个品种亩产量的方差相同, 则可采用二样本t区间. 此处
故 1 - 2的0.95置信区间为
3. 两个正态总体的抽样分布
证明3.由于
所以
设 和 分别是
从总体 N(μ1,σ12)和 N(μ2,σ22)中所抽取的样本，它们
相互独立, 其样本均值和方差分别记为 和 则
(二) 12/ 22的置信区间
枢轴量
由
给出 12/ 22的如下的置信区间
例6 有两位化验员A，B，他们独立地对某种聚合物的
含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测定值的方差
分别是
设 与 分别是A，B所测量的数据总体（设为正态分布）
的方差，求方差比 的0.95置信区间．
解:
由 ，故置信区间
作业：147页
1, 4, 5, 6

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